【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 形式就可以看個(gè)八九不離十了，比如給出的冪級(jí)數(shù)帶階乘而不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則應(yīng)該用公式 4，因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的變形變不掉階乘和 n)1(? ；若題目給出的冪級(jí)數(shù)不帶階乘而且是交錯(cuò)級(jí) 數(shù)，則必從 3 兩式中選擇公式，其它情況也類似。 對(duì)于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對(duì)來說更為簡(jiǎn)單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開）、四則運(yùn)算（用于展開、求和）、逐項(xiàng)微積分（用于展開、求和）。 對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù)求和 的題目， 主要方 法是構(gòu)造 冪級(jí)數(shù) 法，即利 用變換?? ????? ? 010 lim n nnxn n xaa 求得冪級(jí)數(shù) ???0n nnxa 的和函數(shù) )(xs 以后代入極限式即可。其中的關(guān)鍵步驟是選擇適當(dāng)?shù)?nx ，一般情況下如果 n 、 )12( ?n 這樣的項(xiàng)在分子中，則應(yīng)該先用逐項(xiàng)積分再用逐項(xiàng)求導(dǎo)，此時(shí)的 nx 應(yīng)為 1)( ???x 的形式，如 1)( ?nx 、1)12( ??nx ，以方便先積分；若題目有 )12( 1?n 、 )13( 1?n 這樣的項(xiàng)，則 nx 應(yīng)為 )(???x 的形式，如 )12( ?nx 、 )13( ?nx ，便于先求導(dǎo)。這些經(jīng)驗(yàn)在做一定量的題目后就會(huì)得到。 本章最后的知識(shí)點(diǎn)是付立葉級(jí)數(shù)，很少考到，屬于比較偏的知識(shí)點(diǎn)，但其思想并不復(fù)雜，花時(shí)間掌握還是比較劃算的。函數(shù)的付立葉級(jí)數(shù)的物理意義就是諧波分析，即把一個(gè)復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)看作是若干個(gè) 正余弦運(yùn)動(dòng)的疊加。首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體展開時(shí)有以下兩種情況： 15 題目給出的函數(shù)至少有一個(gè)完整的周期，如圖 則直接套用公式即可，不存在奇開拓和偶開拓的問題。對(duì)于形狀類似上圖的函數(shù)，展開以 后級(jí)數(shù)中既有正弦級(jí)數(shù)也有余弦級(jí)數(shù)； 若為奇函數(shù)如 ，則展開后只有正弦級(jí)數(shù)；若為偶函數(shù)則展開后只有余弦函數(shù)； 題目給出函數(shù)后沒有說明周期，則需要根據(jù)題目要求進(jìn)行 奇開拓或偶開拓。如圖 ，若要求進(jìn)行奇開拓就是展開成奇函數(shù)，此時(shí)得到的級(jí)數(shù)中只有正弦級(jí)數(shù)，圖像為 ；若要求進(jìn)行偶開拓就是要展開成偶函數(shù)，此時(shí)得到的展開 式中只有余弦級(jí)數(shù)，圖像為。 16 高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》 本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復(fù)習(xí)本章時(shí)需要重點(diǎn)考慮的問題。抓住本章前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系來復(fù)習(xí)是一種有效的策略，因?yàn)檫@樣做既可以避免重復(fù)記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的準(zhǔn)確性。同時(shí)，知識(shí)點(diǎn)前后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點(diǎn)之一。以下列出本章中前后聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)： 矢量間關(guān)系在討論線線關(guān)系、線面關(guān)系中的應(yīng)用。這個(gè)聯(lián)系很 明顯，舉例來說，平面與直線平行時(shí)，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢量關(guān)系性質(zhì)知此時(shí)二 矢量的數(shù)積為 0，若直線方程為 nzzmyylxx 000 ??? ?? ，平面方程為 0???? DCzByAx ，則有 0??? CnBmAl 。同理可對(duì)線面、線線、面面關(guān)系進(jìn)行判定。 數(shù)積定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯(lián)系。數(shù)積定義式 為 ?c o s|||| ???? ? baba ，故有 ||||cos ?????baba? ，這個(gè)式子是所有線線、線面、面面夾角公式的源公式。舉例來說，設(shè)直線 1 11 11 1:1 n zzm yyl xxl ??? ?? ，直線222222:1 nzzmyylxxl ??? ?? ，則二直線夾角 ||||222222212121 212121 ?????????????babanmlnml nnmmll? ，其中 ?a 、 ?b 分別是兩條直線的方向矢量。對(duì)于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點(diǎn)就是線面夾角公式中不是 ?????cos 而是 ?????sin ，因?yàn)槿缬覉D所示由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面夾角 ? 是兩矢量夾角 ?? 的余角，即 ?90????? ，故求夾角公式的左端是 ?sin 。對(duì)于線線夾角和面面夾角則無此問題。 平面方程各形式間的相互聯(lián)系。平面方程的一般式、點(diǎn)法式、 三點(diǎn)式、截距式中，點(diǎn)法式和截距式都可以化為一般式。點(diǎn)法式 17 0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA （點(diǎn) ),( 000 zyx 為平面上已知點(diǎn)，},{ CBA 為法矢量）可變形 為 0)( 000 ?????? CzByAxCzByAx ，符合一般式 0???? DCzByAx 的形式；截距式 1??? czbyax （ cba , 為平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距）可變形為 0???? ab cab zac ybc x ，也符合一般式的形式。這樣的轉(zhuǎn)化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是因?yàn)樵诳荚囍锌赡苄枰獙⑦@些式子相互轉(zhuǎn)化以方便答題（這種情況在歷年真題中曾經(jīng)出現(xiàn)過）。 同樣，直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形式和標(biāo)準(zhǔn)式 之間可以相互轉(zhuǎn)化。直線方程的參數(shù)形式???????????ntzzmtyyltxx000（ ),( 000 zyx 是平面上已知點(diǎn)， },{ nml 為方向矢量）可變形為???????????tttnzzmyylxx000，即為標(biāo)準(zhǔn)式 nzzmyylxx 000 ??? ?? ；標(biāo)準(zhǔn)式nzzmyylxx 000 ??? ?? 若變形為 tnzzmyylxx ??? ??? 000 則也可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式。這個(gè)轉(zhuǎn)化在歷年真題中應(yīng)用過不止一次。 空間曲面投影方程、柱面方程 、柱面準(zhǔn)線方程之間的區(qū)別與聯(lián) 系。關(guān)于這些方程的基礎(chǔ)性知識(shí)包括： 0),( ?zyxF 表示的是一個(gè)空間曲面；由于空間曲線可視為由兩個(gè)空間曲面相交而得到的，故空間曲面方程為 ??? ?? 0),( 0),(21zyxFzyxF；柱面方程如圓柱面 222 Ryx ?? 、橢圓柱面 12222 ??byax可視為是二元函數(shù)0),( ?yxf 在三維坐標(biāo)系中的形式。 在這些基礎(chǔ)上分析，柱面方程的準(zhǔn)線方程如 ?????00),(zyxf可視為是由空間曲面 —— 柱 18 面與特殊的空間曲面 —— 坐標(biāo)平面 0?z 相交形成的空間曲線，即右圖中的曲線 2；而空間曲線的投影方程與柱面準(zhǔn)線方程其實(shí)是一回事，如上圖中曲線 1 的投影是由過曲線 1 的投影柱面與坐標(biāo)平面相交得到的，所以也就是圖中的柱面準(zhǔn)線。在由空間曲線方程 ??? ?? 0),( 0),(21zyxFzyxF求投影方程時(shí)，需要先從方程組中消去 z 得到一個(gè)母線平行于 z 軸的柱面方 程；；再與 0?z 聯(lián)立即可得投影方程?????00),(zzyxf。 高數(shù)第十章《多元函數(shù)微分學(xué)》 復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)可以先將多元函數(shù)各知識(shí)點(diǎn)與一元函數(shù)對(duì)應(yīng)部分作對(duì)比，這樣做即可以將相似知識(shí)點(diǎn)區(qū)別開以避免混淆，又可以通過與一元函數(shù)的對(duì)比來促進(jìn)對(duì)二元函數(shù)某些地方的理 19 解。本章主要內(nèi)容可以整理成一個(gè)大表格： 二元函數(shù)的定義（略） 相似 一元函數(shù)的定義（略） 二元函數(shù)的連續(xù)性及極限： 二元函數(shù)的極限要求點(diǎn) ),( yx? 以任何方向、任何路徑趨向 ),( 00 yxP 時(shí)均有 Ayxf ?),(（ 0xx? 、 0yy? ）。如果沿不同路徑的),(lim00yxfyyxx??不相等，則可斷定),(lim00yxfyyxx??不存在。 不同 一元函數(shù)的連續(xù)性及極限： 一元函數(shù)的極限與路徑無關(guān)，由等價(jià)式AxfxfAxfxx???????)()()(lim000即可判斷。 二元函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),( 00 yxP 處連續(xù)性判斷條件為：),(lim00yxfyyxx??存在且等于),( 00 yxf 相似 一元函數(shù) )(xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)性判斷條件為)(lim0xfxx?且等于 )( 0xf 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義 二元函數(shù) ),( yxfz ? 的偏導(dǎo)數(shù)定義xyxfyxxfxzxx ???????????),(),(limlim 000000分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用 偏導(dǎo)數(shù)的定義 相似 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義 一元函數(shù) )(xfy? 的導(dǎo)數(shù)定義：xxfxxfxy xx ??????? ????)()(limlim 0000 分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)定義 二元函數(shù)的全微分： 簡(jiǎn)化定義為：對(duì)于函數(shù) ),( yxfz ? ，若其在點(diǎn)),( 00 yxP 處 的 增 量 z? 可表示為)( ?oyBxAz ?????? ，其中 )(?o 為? 的 高 階 無 窮 小 ， 則 函 數(shù) ),( yxf 在),( 00 yxP 處可微，全微分為 yBxA ??? ， 相似 一元函數(shù)的全微分： 簡(jiǎn)化定義為：若函數(shù) )(xfy? 在點(diǎn) x處的增量 y? 可表示為dxAy ???? ，其中 d 是 x? 的高階無窮小，則函數(shù)在該點(diǎn)可微，即xAdy ?? ，一般有 dxxfdy )(?? 20 一般有 dydxdz yzxz ???? ?? 二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖 連續(xù) 可導(dǎo) 可微 不同 二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖 連續(xù) 可導(dǎo) 可微 多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù) 設(shè) ),( wvufz ? ， )(tgu? ， )(thv? ，)(tkw? 且都可導(dǎo)，則 z 對(duì) t 的全導(dǎo)數(shù)dtdwwfdtdvvfdtduufdtdz ????????? 不同 一元函數(shù)沒有“全導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概念，但是左邊多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)其實(shí)可以從“一元復(fù)合函 數(shù)”的角度理解。一元復(fù)合函數(shù)是指)(ufy? 、 )(xgu? 時(shí)有dxdududydxdy ? 。與左邊的多元函數(shù)全導(dǎo)數(shù)公式比較就可以將二式統(tǒng)一起來。 多元復(fù)合函數(shù)微分法 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè) ),( wvufz ? 、),( yxju ? 、 ),( yxhv ? 、),( yxkw ? ，則有??????????????????????????? ????????????????????ywwzyzvzyuuzyz xwwzxvvzxuuzxz。對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在考研真題中有一個(gè)百出不厭的點(diǎn)就是函數(shù) z 對(duì)中間變量 wvu , 的偏導(dǎo)數(shù) uz?? 、 vz?? 、wz?? 仍是以 wvu , 為中間變量的復(fù)合函數(shù)，此時(shí)在求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)還要重復(fù)使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。這是需要通過足量做題來熟練掌握的知識(shí)點(diǎn)，在后面的評(píng)題中會(huì)就題論題作更充分的論 述。 相似 一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所示，與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式相似，只需分清式子中dxdz 與 xz?? 的不同即可 多元隱函數(shù)微分法 求由方程 0),( ?zyxF 確定的隱含數(shù)),( yxZZ ? 的偏導(dǎo)數(shù)，可用公式： 一元復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程微分法 對(duì)一元隱函數(shù)求導(dǎo)常采用兩種方法： ),( ),( yxF yxFdxdy yx???? y 視為 x 的函數(shù)，在方程兩邊同時(shí)對(duì) 21 ),( ),( zyxF zyxFxz zx?????? ， ),( ),( zyxF zyxFyz zy?????? 對(duì)于由方程組 ?????0),(0),(zyxGzyxF確定 的隱含數(shù))(xyy? 、 )(xzz? 可套用方程組?????????????????00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx x 求導(dǎo) 一元參數(shù)方程微分法：若有 ??? ?? )( )(tyy txx則)( )(tx tydxdy ??? 關(guān)于這一部分，多元與一元的聯(lián)系不僅是“形似”，而且在相當(dāng)大程度上是相通的，在考研真題中此處與上面的多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是本章的兩個(gè)出題熱點(diǎn)，屢屢出現(xiàn)相關(guān)題目，在后面的評(píng)題中有更多討論。 多元函數(shù)的極值 極值定義：函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),( 00 yxP的鄰域內(nèi)有定義，且對(duì)于其中異于 P 點(diǎn)的任一點(diǎn)),( yxQ ，恒有 ),(),( 00 yxfyxf ? 或),(),( 00 yxfyxf ? ，則稱 ),( 00 yxf 為),( yxf 的極