【文章內容簡介】 題目給出的冪級數的形式就可以看個八九不離十了，比如給出的冪級數帶階乘而不是交錯級數，則應該用公式 4，因為冪級數的變形變不掉階乘和 n)1(? ；若題目給出的冪級數不帶階乘而 且是交錯級數，則必從 3 兩式中選擇公式，其它情況也類似。 對于函數的冪級數展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更為簡單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數的冪級數展開）、四則運算（用于展開、求和）、逐項微積分（用于展開、求和）。 對于數項級數求和的題目，主要方法是構造冪級數法，即利用變換 ?? ??????010limnnnxn n xaa求得冪級數???0n nnxa 的和函數 )(xs 以后代入極限式即可。其中的關鍵步驟是選擇適當的 nx ，一般情況下如果 n 、)12( ?n 這樣的項在分子中，則應該先用逐項積分再用逐項求導，此時的 nx 應為 1)( ????x 的形式，如 1)( ?nx 、1)12( ??nx ，以方便先積分；若題目有 )12( 1?n 、 )13( 1?n 這樣的項，則 nx 應為 )(???x 的形式，如 )12( ?nx 、)13( ?nx ，便于先求導。這些經驗在做一定量的題目后就會得到。 本章最后的知識點是付立葉級數，很少考到，屬于比較偏的知識點，但其思想并不復雜，花時間掌握還是比較劃算的。函數的付立葉級數的物理意義就是諧波分析，即把一個復雜周期運動看 作是若干個正余弦運動的疊加。首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體展開時有以下兩種情況： 1. 題目給出的函數至少有一個完整的周期，如圖 則直接套用公式即可，不存在奇開拓和偶開拓的問題。對于形狀類似上圖的函數，展開以 14 后級數中既有正弦級數也有余弦級數； 若為奇函數如 ，則展開后只有正弦級數；若為偶函數則展開后只有余弦函數； 2. 題目給出函數后沒有說明周期，則需要根據題目要求進行 奇開拓或偶開拓。如圖 ，若要求進行奇開拓就是展開成奇函數，此時得到的級數中只有正弦級數，圖像為 ；若要求進行偶開拓就是要展開成偶函數，此時 得到的展開式中只有余弦級數，圖像為 。 高數第九章《矢量代數與空間解析幾何》 本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復習本章時需要重點考慮的問題。抓住本章前后知識點的聯系來復習是一種有效的策略，因為這樣做既可以避免重復記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的準確性。同時，知識點前后聯系密切也正是本章的突出特點之一。以下列出本章中前后聯系的知識點： a) 矢量間關系在討論線線關系、線面關系中的應用。這個聯系很 明顯，舉例來說，平面與直線平行時，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢量關系性 質知此時二矢量的數積為 0， 15 若直線方程為 nzzmyylxx 000 ??? ?? ，平面方程為 0???? DCzByAx ，則有0??? CnBmAl 。同理可對線面、線線、面面關系進行判定。 b) 數積定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯系。數積定義式 為 ?c o s|||| ???? ? baba ，故有||||cos ?????baba? ，這個式子是所有線線、線面、面面夾角公式的源公式。舉例來說，設直線111111:1 n zzm yyl xxl ??? ?? ，直線222222:1 n zzm yyl xxl ??? ?? ，則二直線夾角||||222222212121212121 ?? ???? ????? ??babanmlnml nnmmll? ，其中 ?a 、 ?b 分別是兩條直線的方向矢量。對于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點就是線面夾角公式中不是 ?????cos 而是 ?????sin ，因為如右圖所示由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面夾角 ? 是兩矢量夾角 ?? 的余角，即 ?90????? ，故求夾角公式的左端是 ?sin 。對于線線夾角和面面夾角則無此問題。 c) 平面方程各形式間的相互聯系。平面方程的一般式、點法式、 三點式、截距式中，點法式和截距式都可以化為一般式。點法式0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA （點 ),( 000 zyx 為平面 上已知 點，},{ CBA 為法矢 量）可變形為 0)( 000 ?????? CzByAxCzByAx ，符合一般式 0???? DCzByAx 的形式；截距式 1??? czbyax （ cba , 為平面在三個坐標軸上的截距）可變形為 0???? ab cab zac ybc x ，也符合一般式的形式。這樣的轉化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是因為在考試中可能需要將這些式子相互轉化以方便答題（這種情況在歷年真題中曾經出現過）。 同樣，直線方程各形式之間也有類似聯系，直線方程的參數形 式和標準式之間可以相互轉化。直線方程的參數形式 16 ???????????ntzzmtyyltxx000（ ),( 000 zyx 是平面上已知點， },{ nml 為方向矢量）可變形為???????????tttnzzmyylxx000，即為標準式 nzzmyylxx 000 ??? ?? ；標準式 nzzmyylxx 000 ??? ?? 若變形為 tnzzmyylxx ??? ??? 000 則也可以轉化為參數形式。這個轉化在歷年真題中應用過不止一次。 d) 空間曲面投影方程 、柱面方程、柱面準線方程之間的區(qū)別與聯 系。關于這些方程的基礎性知識包括： 0),( ?zyxF 表示的是一個空間曲面；由于空間曲線可視為由兩個空間曲面相交而得到的，故空間曲面方程為?????0),(0),(21zyxFzyxF ；柱面方程如圓柱面 222 Ryx ?? 、橢圓柱面12222 ?? byax 可視為是二元函數 0),( ?yxf 在三維坐標系中的形式。 在這些基礎上分析，柱面方程的準線方程如?????00),(zyxf 可視為是由空間曲面 —— 柱面與特殊的空間曲面 ——坐標平面 0?z 相交形成的空間曲線，即右圖 中的曲線 2；而空間曲線的投影方程與柱面準線方程其實是一回事，如上圖中曲線 1 的投影是由過曲線 1 的投影柱面與坐標平面相交得到的，所以也就是圖中的柱面準線。在由空間曲線方程?????0),(0),(21zyxFzyxF 求投影方程時，需要先從方程組中消去 z 得到一個母線平行于 z 軸的柱面方程；；再與 0?z 聯立即可得投影方程?????00),(zzyxf 。 17 高數第十章《多元函數微分學》 復習本章內容時可以先將多元函數各知識點與一元函數對應部分作對比，這樣做即可以將相似知識點區(qū)別開以避免混淆，又可以通過與一元函數的對比來促進對二元函數某些地方的理解。本章主要內容可以整理成一個大表格： 二元函數的定義（略） 相似 一元函數的定義（略） 二元函數的連續(xù)性及極限： 二元函數的極限要求點 ),( yx? 以任何方向、任何路徑趨向),( 00 yxP 時均有 Ayxf ?),( （ 0xx? 、0yy? ）。如果沿不同路徑的 ),(lim00yxfyyxx??不相等，則可斷定 ),(lim00yxfyyxx??不存在。 不同 一元函數的連續(xù)性及極限： 一 元 函 數 的 極 限 與 路 徑 無 關 ， 由 等 價 式AxfxfAxfxx???????)()()(lim000 即可判斷。 二元函數 ),( yxfz ? 在點 ),( 00 yxP 處連續(xù)性判斷條件為： ),(lim00yxfyyxx??存在且等于 ),( 00 yxf 相似 一元函數 )(xfy? 在點 0x 處連續(xù)性判斷條件為)(lim0xfxx? 且等于 )( 0xf 二元函數的偏導數定義 二元函數 ),( yxfz ? 的 偏導數定義xyxfyxxfxzxx ???????????),(),(limlim 000000分段函數在分界點處求偏導數要用 偏導數的定義 相似 一元函數的導數定義 一元函數 )(xfy? 的導數定義：xxfxxfxy xx ??????? ????)()(limlim 0000分段函數在分界點處求導數需要用導數定義 二元函數的全微分： 簡 化 定 義 為 ： 對 于 函 數 ),( yxfz ? ， 若 其 在 點),( 00 yxP 處的增量 z? 可表示為)( ?oyBxAz ?????? ，其中 )(?o 為的高階無窮小，則函數 ),( yxf 在 ),( 00 yxP 處可微，全微分為 yBxA ??? ，一般有 dydxdz yzxz ???? ?? 相似 一元函數的全微分： 簡化定義為：若函數 )(xfy? 在點 x 處的增量y? 可表示為 dxAy ???? ，其中 d 是x? 的 高 階 無 窮 小 ， 則 函 數 在 該 點 可 微 ， 即xAdy ?? ，一般有 dxxfdy )(?? 18 二元函數可微、可導、連續(xù)三角關系圖 連續(xù) 可導 可微 不同 二元函數可微、可導、連續(xù)三角關系圖 連續(xù) 可導 可微 多元函數的全導數 設 ),( wvufz ? ， )(tgu? ， )(thv? ，)(tkw? 且都可導，則 z 對 t 的全導數dtdwwfdtdvvfdtduufdtdz ????????? 不同 一元函數沒有“全導數”這個概念，但是左邊多元函數的全導數其實可以從“一元復合函數”的角度理解。一元復合函數 是指 )(ufy? 、 )(xgu? 時有dxdududydxdy ? 。與左邊的多元函數全導數公式比較就可以將二式統一起來。 多元復合函數微分法 復 合 函 數 求 導 公 式 ： 設 ),( wvufz ? 、),( yxju ? 、 ),( yxhv ? 、),( yxkw ? ，則有??????????????????????????? ????????????????????ywwzyzvzyuuzyz xwwzxvvzxuuzxz。對于多元復合函數求導， 在考研真題中有一個百出不厭的點就是函數 z 對中間變量wvu , 的偏導數 uz?? 、 vz?? 、 wz?? 仍是以 wvu , 為中間變量的復合函數，此時在求偏導數時還要重復使用復合函數求導法。這是需要通過足量做題來熟練掌握的知識點，在后面的評題中會就題論題作更充分的論述。 相似 一元復 合函數求導公式如上格所示，與多元復合函數求導公式相似，只需分清式子中dxdz與xz??的不同即可 多元隱函數微分法 求由方程 0),( ?zyxF 確定的隱含數),( yxZZ ? 的偏導數，可用公式： ),( ),( zyxF zyxFxz zx??????，),( ),( zyxF zyxFyz zy??????對于由方程組?????0),(0),(zyxGzyxF 確 定 的 隱 含 數 )(xyy? 、)(xzz? 可套用方程組 一元復合函數、參數方程微分法 對一元隱函數求導常采用兩種方法： 1. 公式),( ),( yxF yxFdxdy yx???? y 視為 x 的函數，在方程兩邊同時對 x 求導 一元參數方程微分法：若有??? ?? )( )(tyy txx 則)( )(tx tydxdy ??? 19 ?????????????????00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx 關于這一部分，多元與一元的聯系不僅是“形似”，而且在相當大程度上是相通的，在考研真題中此處與上面的多元復合函數求導是本章的兩個出題熱點，屢屢出現相關題目，在后面的評題中有更多討論。 多元函數的極值 極值定義：函數 ),( yxfz ? 在點 ),( 00 yxP 的鄰域內有定義，且對于其中異于 P 點的任一點 ),( yxQ ，恒有),(),( 00 yxfyxf ? 或),(),( 00 yxfyxf ? ，則稱 ),( 00 yxf 為),( yxf 的極小 /大值，方程組 ??? ?? ?