【文章內(nèi)容簡介】 ? Cxxx ???? )c oss inln(21 ． ② xx xxxxx xxxxxx x d2c os 2c os12s i n21ds i nc os s i nc oss i ndc oss i n s i n222 ??? ???? ??? Cxxxxxxx ???????? ? )2s e c2tanln212c osln21(21d)2s e c2tan1(21 Cxxx ???? )c oss inln(21 ． ③ xx xxxxx x d)4/s i n( )4/c os ()4/s i n(21dc oss i n s i n ?? ? ????? ? ?? 1))4/s i n(ln(21)4/(d)4/(c otd(21 Cxxxxx ???????? ? ? ??? Cxxx ???? )c oss inln(21 ，（其中 2ln211 ??CC ） ． ④ xt tan? ，則 tx arctan? ，21dd ttx ??，于是 .)c oss i nln(21)1ln)1l n(21(a rc t a n21d)1 11 1(21)1)(1( ddt a n1 t a ndc oss i n s i n222CxxxCttttttttt ttxxxxxx x????????????????????? ???? 本題還可以用下一節(jié)的“萬能代換”求解 ． （ 5） ????? ??? )(a r c t a nda rc t a n2d)(1a rc t a n2d)1(a rc t a n 2 xxxx xxxx x Cx ?2)(arctan； （ 6） )t a nd(t a nt a nlndt a nc os t a nlndc oss i n t a nln 2 xx xxxx xxxx x ??? ?? ?? ? )ta nlnd(ta nln xx Cx ?2)tan(ln21 ． （ 7） ?????? ?? xxx xxxxx x ds i n )s i nd(ds i n2s i n1 222Cxx ?? 2sin2 ． （ 8） ??? ??33 )ln( )lnd(d)ln( ln1 xx xxxxx x Cxx ?? 2)ln(2 1． 2． 已知函數(shù) )(xf 滿足 xxxf 22 ta n2c o s)( s in ??? ，當(dāng) 10 ??x 時，求 )(f ． 解： 由 xxxxxxf22222 s i n1 s i ns i n21tan2c os)(s i n ??????? ， 有 112121)( ????????? xxxxxxf ，所以 Cxxxxxxf ????????? ? )1l n(d)112()( 2． 習(xí)題 4— 3（ A） 1． 判斷下列敘述是否正確，并說明理由： （ 1）在求形如 ?? 22d xa x、 ?? 22d xa x、 xxa d22? ? 的不定積分時都是采 取令tax sin? 作變量代換的三角換元法 ， 從而把無理函數(shù)的積分轉(zhuǎn) 化為三角函數(shù)有理式的積分； （ 2）當(dāng) 被積函數(shù) 含有 ndcx bax??的根式時 ， 為了變無理式為有理式，通常將 ndcx bax??看作一個新的換元 ． 答： （ 1） 不正確．三個積分分別用三角代換 tax sec? 、 tax tan? 、 tax sin? ． （ 2） 正確．但是，有時也可以采用有理化的方法，如xxxx ????? 11112等． 2． 求下列不定積分： （ 1） xxx d4 23 ?? ； （ 2） ?? 32 )1( dx x； （ 3） ??1d2xx x； （ 4） 2 9dx xx?? ； （ 5） ?? )2(dxx x； （ 6） xxx d941 2? ??； （ 7） xxx x d22 122? ?? ?； （ 8） d12x x??； （ 9） ??3 21d xxx； （ 10） 11dx xx?????； （ 11） xxx d13? ?； （ 12）2)1( d11 xxxx ????． 解： （ 1） 令 tx sin2? （ 2??x ），則 ttx dcos2d ? ，于是 ??? ???? ttttttxxx c osd)c os(c os32ds i nc os32d4 243223 CxxCtt ???????? 23225235 )4(34)4(51c os332c os532 ， 或，原式 )4(d])4(4)4[(21)d(4421 22/122/32222 xxxxxx ????????? ?? Cxx ????? 232252 )4(34)4(51 ． （ 2） 令 tx tan? （ 2??x ），則 ttx dsecd 2? ，于是 ??? ?????? Cttttttx x s i ndc osds e cs e c)1( d 3232 Cxx ?? 21 ． （ 3） 令 tx tan? （ 2??x ），則 ttx dsecd 2? ，于是 ??????? ?? ? Ctttttttxx x c s cc otlndc s cdt a ns e c1d 2 Cxxx ??? 11ln 2 ． 或：當(dāng) 0?x 時，原式 Cxxxxxx x ?????????? ? ? 2222 111ln)/1(1 )d ( 1 /)/1(1 d Cxxx ???? 11ln 2 ， 當(dāng) 0?x 時，解法類似，結(jié)果相同 ． （ 4） 當(dāng) 3?x 時，令 tx sec3? （ 20 ???t ），則 tttx dtansec3d ? ，于是 2 9dx xx?? Cttttttttt ?????? ?? )(t a n3dtan3dtans e c3s e c3 tan3 2 CxxCxx ???????? 3a rc s i n393a rc c os39 212 （其中 231 ???CC ）， 當(dāng) 3??x 時 ，令 tx sec3? ， （ ?? ??t2 ），則 tttx dtansec3d ? ，于是 2 9dx xx?? CxxCtttt ?????????? ? 3a rc s i n39)(t a n3dt a n3 22 Cxx ???? 3a rc s in392， 所以，對 3?x ，都有 2 9dx xx?? Cxx ???? 3a rc s in392． （ 5） ??? ??? ?? 1)1( )1d()2( d 2x xxx x Cxxx ???? )2(1ln． （ 6） ?????????? 22222 94)94d(181)3(2 )3d(31d941 xxxxxxx Cxx ???? 2949123a rc s in31 ． （ 7） ???????? ???? ? 22dd22 22d22 12 222 xx xxxx xxxx x ?? ?? ???? ??? 1)1( )1d(d22 )22d( 222 x xxxx xx Cxxxxx ????????? )221l n (222 22 ． （ 8） 令 tx?2 ，則 2/2tx? ， ttx dd ? ,于是 d12x x?? ?????????? ?? Cttttttt )1l n(d)1 11(1 d Cxx ??? )21ln (2 ． （ 9） 令 tx ??3 21 ，則 2/)1( 3 ?? tx ， 2/d3d 2 ttx? ，于是 tttttttxxx ??? ????? d)(43d232 121 d 4233 ???? Ctt 83203 25 Cxx ???? 3 23 5 )21(83)21(203 ． （ 10） 令 tx??1 ，則 12 ??tx ， ttx d2d ? ，于是 11dx xx????? ttttttt d)122(2d1 )1(2 ?? ??????? ?????? 12 1ln44 Cttt Cxxx ?????? 11ln414 （其中 11??CC ） ． （ 11） 令 tx?6 ，則 6tx? ， ttx d6d 5? ，于是 ttttttt txx x d)111(6d16d1 22462 83 ????????? ?????????? Cttttt )a rc t a n357(6 357 Cxxxxx ????? )a rc t a n357(6 666 56 7 ． （ 12） 令 txx ???11，則2222 1 2111 ttxttx ??????? ， ，22 )1( d4d t ttx ???，于是 ???????????? ??? Ctt tttttttxxxx 1dd)1( 44 )1()1( d11 2224 222 Cxx ???11 ． 習(xí)題 4— 3（ B） 1． 求下列不定積分： （ 1）2d1xxx??? ； （ 2） ? ?1d2xxx ； （ 3） ??xx x2d； （ 4） xxx x d222? ??； （ 5） xxde1? ? ； （ 6） ???3 42 )1()1( d xx x； （ 7） ? ? xxcos3 d ； （ 8） ? ?? xxx sin3c os22 d ． 解： （ 1） 令 tx sin? （ 2/??t ），則 ttx dcosd ? ，于是 2d1xxx??? Ctttttt t ?????? ? )c oss i nln(21dc oss i n c os （參見習(xí)題 42（ B） 1（ 2）解法） Cxxx ????? )1ln(a rc s i n21 2． （ 2） 當(dāng) 1?x 時，令 tx sec? （ 2/0 ???t ），則 tttx d tansecd ? ，于是 ??????? ?? CxCttxx x 1a rc c osd 1d 2 Cx ?1arccos ， 當(dāng) 1??x 時，令 ux ?? ，則 1?u ，于是 ????????? ?? CxCuuu uxx x 1a rc c os1a rc c os1d1d 22 Cx ?1arccos ， 所以，對任何 1?x ，都有 ??? 1d2xx x Cx ?1arccos． 或：當(dāng) 1?x 時， 原式 ???????? ?? Cxxxxx x 1a rc c os)/1(1 )d(1 /)/1(1 d 222 Cx ?1arccos， 當(dāng) 1??x 時，原式 ??????? 222 )/1(1 )d(1/)/1(1 d xxxx x 11arcsin Cx ?? CxCx ?????? 1a rc c os)1a rc s i n( 1（其中 21 ???C ） ． （ 3） ??? ??? ?? 222 )2/1()2/1( )2/1(dd x xxx x Cxxx ???? 221ln ． （ 4） ???????? ???? 22dd222 22d22 222 xx xxxx xxxx x ??? ???? ??? ?? 1)1( )1d(222 )22d( 222 x xxx xx Cxxx ????? )1a rc ta n (222 ． （ 5） 令 tx ??e1 ，則 )1ln( 2 ?? tx ， 1d2d2 ??t ttx，于是 Ctttttt ttxx ??????????? ??? 11ln2d)111(21d2de1 22 2 Cxxx ??? ????? 1e1 1e1lne12 ． （ 6） txx ???3 11， 則 1123 ??? tx，232)1( d6d ??? t ttx，于是 ??? ????????????? ])1( d6[4 )1(d11)1)(1( 1)1()1( d 23 23 2333 42 t tttttxxxxxxx x CxxCtt ??????????? ? 3 112323d23 ． （ 7） 令 tx?2tan ，則2211cos ttx ??? ，21 d2d ttx ??，于是 ??????????? ??? Ctttttttxx 2a rc t a n212 d1 d2241c os3 d 2222 Cx ?2 )2/ta n(a rc ta n21 ．