【文章內(nèi)容簡介】 乙 【解析】 一個正方形分成大小和形狀都相同的四塊，一定是從中心點分開的，只要能找出其中符合題目要求的一塊，然后再將這塊繞著正方形的中心點分別旋轉(zhuǎn) 90 、 180 、 270 就可以得到另外三塊 ． 又因為這個正方形面積為 36 平方單位，所以分成的每一塊的面積都是 9 平方單位 ． 即每一塊都由 9 個小正方格組成 ． 另外，由于兩個正方形要切分成 一樣大小的四塊，因此可將兩個正方形重疊在一起考慮 ． ①將兩個正方形重疊在一起，如下圖所示，為便于區(qū)別，將其中一組的“○”改寫成“” ． 按要求將這重疊的正方形切分成大小、形狀都相同的四塊，并且每塊都有一個“○”和“” ． ②圖中有相同符號的“○”挨在一起的從中間把它們切開，在它們中間劃上截線 ． 并將這些截線繞中心點旋轉(zhuǎn) 90 、 180 、 270 得到另外三段截線 ． 如下圖 ． 利用它 們設(shè)想出劃分線 ． ③設(shè)想分塊從中心位置開始，逐步向外擴散，在里層方格中，先指定某一方格已分入到某小塊中，并作上記號 (斜線陰影 )，然后將它繞中心旋轉(zhuǎn) 180 后得到另一方格分入到另一小塊中，也作上記號 (橫線陰影 )，如圖 ． 對于中間一層方格和最外一層方格，設(shè)想分塊時一定要緊扣條件：每一塊中都要有一個“○”和一個“ ? ” ． 每一塊都有 9 個方格組成，不能斷開 ． 下圖是分解了的分塊過程示意圖 ． ④注意到斜線陰影部分已經(jīng)有了一個“○”和一個“ ? ” ． 那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜線陰影部分去了，而只能將右下角的方格分到斜線陰影部分 ． 于是左上角的方格就應(yīng)該分給橫線陰影部分 ． 空白部分是另外兩塊 ． 下 就是最后分得的結(jié)果 ． 415 圖形的分割與拼接 題庫 page 10 of 21 【例 19】 正三角形 ABC 的面積是 1 平方米，將三條邊分別向兩端各延長一倍，連結(jié)六個端點得到一個六邊形 (如右圖 )，求六邊形的面積． CBA 【解析】 采用分割法，過 A 、 B 、 C 分別作平行線，得到右上圖，其中所有小三角形的面積都相同， 所以六邊形面積等于 13 平方米 ． 【鞏固】 正方形 ABCD 的面積是 1 平方米，將四條邊分別向兩端各延長一倍，連結(jié)八個端點得到一個正方形 (如圖 )，求大正方形的面積 ． D CBA 【解析】 四條邊分別向兩端各延長一倍，很容易可以觀察出，大正方形有 9 個小正方形組成，所以，大正方形的面積是： 1 9 9?? (平方米 )． 【鞏固】 正六邊形 ABCDEF 的面積是 1 平方米，將六條邊分別向兩端各延長一倍，交于六個點，組成如下圖的圖形，求這個圖形的面積 ． FE DCBA FE DCBA 【解析】 采用分割法，連接正六邊形的對角線，會發(fā)現(xiàn)，所有的三角形面積都相同，一共有 12 個小三角形，原來正六邊形的面積是 1 平方米，由 6 個小三角形組成，所以現(xiàn)在的大圖形的面積是： 1 2 2?? (平方米 ) 【例 20】 (第九屆“中環(huán)杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動初賽 )如圖，它是由 15 個邊長為 1 厘米的小正方形組成的． ⑴ 請在原圖中沿正方形的邊線，把它劃分為 5 個大小形狀完全相同的圖形，分割線用筆描粗． ⑵ 分割后每個小圖形的周長是 厘米． ⑶ 分割后 5 個小圖形的周長總和與原來大圖形的周長相差 厘米． 415 圖形的分割與拼接 題庫 page 11 of 21 第 3題 【分析】 ⑴ 因為總共有 15 個小正方形，所以分成 5 個大小形狀相同的圖形后每個圖形應(yīng)該有 15 5 3?? (個 )小正方形，如圖． ⑵ 每個小圖形的周長為 8 厘米． ⑶ 5 個小圖形 的 周長和： 8 5 40?? (厘米 )，原圖形 的 周長 ： 4 4 2 18? ? ? (厘米 )，所以相差40 18 22?? (厘米 )． 圖 1 【例 21】 如何把下圖中的三個圖形分割成兩個相同的部分 (除了沿正方形的邊進(jìn)行分割外，還可沿正方形的對角線進(jìn)行分割 )． 【解析】 要把圖形分成兩個相同的部分，首先要保證分得的兩部分面積相同，其次要保證分得的兩部分形狀相同，從面積入手進(jìn)行分割會使問題更容易解決． 第一個圖形一共有 6 個小正方形， 2 個三角形，要分割成兩塊完全相同的部分，每一部分都要有 3 個正方形、 1 個三角形，這樣很容易就可以解決這個問題了；同樣，對第二個圖形，一共有 7 個正方形， 2 個三角形，因為正方形的 個數(shù)是奇數(shù)，所以，肯定有一個正方形被分成相同的兩塊，對于這個圖形，我們很容易看出有一個正方形的位置很特殊，在最中間，所以考慮將它分成兩部分，由對稱的原則，從對角線分開；第三個圖形更復(fù)雜一些，一共有 6 個正方形， 6 個三角形，分成的兩塊每一塊都要有 3 個正方形、 3 個三角形，因為最上面的兩個三角形組合成了一個大的三角形，所以右下方的兩個三角形不能分開，再根據(jù)對稱的原則，就容易解決這個問題了， 具體分法見 下 圖． 【例 22】 (2022 年《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》數(shù)學(xué)邀請賽 )如圖，將一個等邊三角形分割成互 相不重疊的 23 個較小的等邊三角形 (這些較小的等邊三角形的大小不一定都相同 )，請在圖中畫出分割的結(jié)果． 【解析】 分割的方法不唯一，如 圖所示 ． 【例 23】 (2022 年《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》數(shù)學(xué)邀請賽 )如圖，將一個正方形分割成互相不重疊的 21 個小正方 415 圖形的分割與拼接 題庫 page 12 of 21 形，這些小正方形的大小不一定相同，請畫圖表示． 【解析】 分割的方法不唯一，如右圖所示 ． 板塊二 圖形的拼合 【例 24】 用兩塊大小一樣的等腰直角三角形能拼成幾種常見的圖形？ 【解析】 建議用等腰直角三角板，把不同的邊進(jìn)行重合，不要漏掉旋轉(zhuǎn)重合，或者準(zhǔn)備一些等腰直角三角形的紙 片，由學(xué)生拼接后貼到黑板上，見下圖： 【鞏固】 用 3 個等腰直角三角形拼圖，要求邊與邊完全重合，能拼出幾種圖形 ？ 【解析】 這種類型的題需要學(xué)生親自操作，建議教師準(zhǔn)備材料與學(xué)生互動．一共可以拼成如下圖的幾種形狀 ： 【鞏固】 用同樣大小的四塊等腰直角三角板，能否拼出一個三角形、一個正方形、一個長方形、一個梯形、一個平行四邊形五種圖形 ？ 若能，畫出示意圖． 【解析】 能用四塊同樣大小的等腰直角三角板拼出一個三角形、一個正方形、一個長方形、一個梯形、一 個平行四邊形五種圖形． 建議用等腰直角三角板，把不同的邊進(jìn)行重合，不要漏掉 旋轉(zhuǎn)重合，或者準(zhǔn)備一些等腰直角三角形的紙片，由學(xué)生拼接后貼到黑板上， 具體拼法如圖所示． 【例 25】 下面哪些圖形自身用 4 次就能拼成一個正方形？ 【解析】 用 4 塊圖 (4)和圖 (5)那樣的圖形顯然能夠拼成一個大正方形．其實用圖 (1)、圖 (2)、圖 (3)也能拼成一個大正方形，拼法見下圖． 415 圖形的分割與拼接 題庫 page 13 of 21 【例 26】 用下面的 3 個圖形，拼成右 邊 的大正方形． 【解析】 首先數(shù)一數(shù)所有的空格數(shù)，一共只有 16 個，只能組成 44? 的正方形，使用目標(biāo)倒推法，在右邊的大正方形中拼圖， 仍然使用染色法，相當(dāng)于把已知圖形往右邊的大正方形中放，這樣就很容易拼合了，如下圖： 【鞏固】 用“四連塊”拼成一個正方形，按編號畫入右邊圖中． ④③②① 【解析】 首先數(shù)一數(shù)所有的空格數(shù)，一共只有 16 個，只能組成 44? 的正方形，目標(biāo)倒推，在右邊的大正方形中拼圖，仍然使用染色法，相當(dāng)于把已知圖形往右邊的大正方形中放，這樣就很容易拼成了， 注意標(biāo)號的位置，具體 如下圖 所示： ①→①③→①③②→①③④② 【例 27】 有 6 個完全相同的 ，你能將它們拼成下面的形狀嗎？ 【解析】 利用染色法以及圖形的對稱性，對稱軸兩側(cè)都有三個小圖形，按照下面的順序標(biāo)號即可完成 ． 415 圖形的分割與拼接 題庫