【文章內容簡介】 【解析】 23Sa? , 所以1 1 1 2 11212a a d a d d a a d? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 1 ( 1)4nS n n??. 【考點定位】 本小題主要考查等差數列的基本運算 ,考查通項公式和前 n 項和公式的計算 . 三、解答題 23. 【命題意圖】本試題主要考查了等差數列與等比數列的概率、通項公式、前n 項和公式、數列求和等基礎知識 ,考查化歸與轉化的思想方法 ,考查運算能力、推理論證的能力 . (1)設等差數列 ??na 的公差為 d ,等比數列 ??nb 的公比為 q ,由 112ab??,得34 4 42 3 , 2 , 8 6a d b q S d? ? ? ? ?,由條件得方程組332 3 2 2 7 328 6 2 1 0d q dqdq? ? ? ? ?????????? ? ? ? ??,故 *3 1 , 2 ( )nnna n b n N? ? ? ? （ 2 ）1 21 1 2 2 3 1 1 2 1 12 2 2 2 ( )22n n n nn n n n n n naaT a b a b a b a b a a a a??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 1 2 13 1 3 2 3 52 2 2 2n nnn n n na n n n cc ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 1 2 2 3 1 1 12 [ ( ) ( ) ( ) ] 2 ( )nnn n n nT c c c c c c c c??? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 1 0 2 2 ( 3 5 ) 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2n n n n n nn b a T b a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：數學歸納法 （ 1）當 1n? 時， 1 1 1 1 112 12 16 , 2 10 16T a b a b? ? ? ? ? ? ?，故等式成立。 【點評】該試題命制比較直接 ,沒有什么隱含的條件 ,就是等比與等差數列的綜合應用 ,但方法多樣 ,第二問可以用錯位相減法求解證明 ,也可用數學歸納法證明 ,給學生思維空間留有余地 ,符合高考命題選拔性的原則 . 24. 【解析】 (1)由正弦定理得 : c os 3 sin 0 sin c os 3 sin sin sin sina C a C b c A C A C B C? ? ? ? ? ? ? ? sin c o s 3 sin sin sin ( ) sin13 sin c o s 1 sin ( 3 0 )23 0 3 0 6 0A C A C a C CA A AAA?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? (2) 1 si n 3 42S b c A b c? ? ? ? 2 2 2 2 c os 4a b c bc A b c? ? ? ? ? ? 解得 : 2bc?? 25. (1)證明 :由 2 2 1 1S a S a??,得 1 2 1 2 1a a a a a? ? ?,即 2 2 1a aa? . 因 2 0a? ,故 1 1a? ,得 221a aa?, 又由題設條件知 2 2 1 1nnS a S a????, 1 2 1nnS a S a? ?? 兩式相減得 ? ?2 1 2 1n n n nS S a S S? ? ?? ? ?,即 2 2 1nna a a??? , 14 由 2 0a? ,知 1 0na? ? ,因此 221nna aa?? ? 綜上 , 221nna aa?? ?對所有 *nN? 成立 ,從而 ??na 是首項為 1,公比為 2a 的等比數列 . (2)當 1n? 或 2 時 ,顯然1()2nnnS a a??,等號成立 . 設 3n? , 2 1a?? 且 2 0a? ,由 (1)知 , 1 1a? , 12nnaa?? ,所以要證的不等式化為 : ? ? ? ?2 1 12 2 2 21 1 32nnna a a a n??? ? ? ? ? ? ? 即證 : ? ? ? ?22 2 2 211 1 22nnna a a a n?? ? ? ? ? ? ? 當 2 1a? 時 ,上面不等式的等號成立 . 當 211a? ? ? 時 , 2 1ra ? 與 2 1nra ? ? ,( 1, 2, 3, , 1rn??)同為負 。 當 2 1a? 時 , 2 1ra ? 與 2 1nra ? ? ,( 1, 2, 3, , 1rn??)同為正 。 因此當 2 1a?? 且 2 1a? 時 ,總有 ( 2 1ra ? )( 2 1nra ? ? )0,即 2 2 21r n r na a a?? ? ?,( 1, 2, 3, , 1rn??). 上面不等式對 r 從 1到 1n? 求和得 , ? ?22 2 2 22 ( ) ( 1 ) 1n r na a a n a?? ? ? ? ? ? 由此得 ? ?22 2 2 2111 2nnna a a a?? ? ? ? ? ? 綜上 ,當 2 1a?? 且 2 0a? 時 ,有1()2nnnS a a??,當且僅當 1,2n? 或 2 1a? 時等號成立 . 26. [ 解析 ](1) 由 已 知 得 , 交點 A 的坐標為???????? 0,2an , 對xy yax n 221 39。2 ????? 求導得則 拋 物 線 在 點 A 處 的 切 線 方 程 為aaaaa nnnnn nfxyxy ??????? )(.2),2(2 則即 15 (2)由 (1)知 f(n)=an ,則 1211)( 1)( 333 ?????? nn nnf nf a n成立的充要條件是 即知 ,12 3 ?? nan對于所有的 n成立 ,特別地 ,取 n=2時 ,得到 a≥ 17 當 時3,17 ?? na , ??????????? ? 33)31(4 33221 31 CCCa nnnnnn 33 33221 31 ??????? CCC nnn ?????? ????? ? )52(52121 )2( 23 nn nn 2n3+1 當 n=0,1,2時 ,顯然 12 3)17( ?? nn 故當 a= 17 時 ,11)(1)(33???? nnnf nf 對所有自然數都成立 所以滿足條件的 a的最小值是 17 . (3) 由 (1) 知 ankf ?)( , 則? ?? ? ???nk nk kk aakfkf1 1 21)2()( 1 , aaff nff a n????? 1)1()0( )()1( 下面證明 : .)1()0( )()1(427)2()( 11 ff nffkfkfnk ??????? 首先證明 :當 0x1 時 , xx x 4271 3 ?? 設函數 10,1)(427)( 2 ????? xxxxg x )32(481)(39。 ?? xxxg則 當 0)(39。132。0x39。320 ?????? xgxgx 時，當）（時， 故 g(x)在區(qū)間 (0,1)上的最小值 g(x)min=g 0)32( ? 所以 ,當 0x1 時 ,g(x)≥0, 即得 xx x 4271 2 ?? 16 由 0a1知 0ak1( Nk *? ),因此 aaa kkk 4271 2 ??,從而 ?? ?? ??? nk kknk aakfkf 1 21 1)2()( 1 )1()0()()1(4271427142742711ffnffaaaaaaannnkk???????????????? [點評 ]本小題屬于高檔題 ,難度較大 ,需要考生具備扎實的數學基礎和解決數學問題的能力 .主要考查了導數的應用、不等式、數列等基礎知識 。考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識能力 。且又深層次的考查了函數、轉換與化歸、特殊與一般等數學思維方法 . 27. [解析 ]取 n=1,得 ,2a 211212 aassa ???? ① 取 n=2,得 ,22 2122 aaa ?? ② 又 ② ①, 得 2122 )( aaaa ?? ③ (1)若 a2=0, 由 ① 知 a1=0, (2)若 a2 10 12 ??? aa，易知 , ④ 由 ①④ 得 : 。22,12 21 ???? aa 。22,21 21 ???? aa (2)當 a10時 ,由 (I)知 , 。22,12 21 ???? aa 當 nn ssan ???? 2222 ）時，有（ , (2+ 2 )an1=S2+Sn1 所以 ,an= )2(2 1 ?? nan 所以 111 )2()12()2( ?? ???? nnn aa 令111 2100lg21)2l g (1,10lg ?? ???? nnnnn ba ab 則 17 所以 ,數列 {bn}是以 2lg21? 為公差 ,且單調遞減的等差數列 . 則 b1b2b3b7= 01lg810lg ?? 當 n≥8 時 ,bn≤b 8= 128100lg21 01lg21 ?? 所以 ,n=7時 ,Tn取得最大值 ,且 Tn的最大值為 T7= 2lg221727 71 ??? ）（ bb [點評 ]本小題主要從三個層面對考生進行了考查 . 第一 ,知識層面 :考查等差數列、等比數列、對數等基礎知識 。第二 ,能力層面 :考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力 。第三 ,數學思想 :考查方程、分類與整合、化歸與轉化等數學思想 . 28. [解 ](1)選取 )2,(1 xa ? ,Y中與 1a 垂直的元素必有形式 ),1( b? 所以 x=2b,從而 x=4 (2)證明 :取 Yxxa ?? ),( 111 .設 Ytsa ?? ),(2 滿足 021 ??aa . 由 0)( 1 ?? xts 得 0??ts ,所以 s 、 t 異號 . 因為 1是 X中唯一的負數 ,所以 s 、 t 中之一為 1,另一為 1, 故 1?X 假設 1?kx ,其中 nk??1 ,則 nxx ??? 10 1 . 選取 Yxxa n ?? ),( 11 ,并設 Ytsa ?? ),(2 滿足 021 ??aa ,即 01 ?? ntxsx , 則 s 、 t 異號 ,從而 s 、 t 之中恰有一個為 1. 若 s =1,則 11 xttxx n ??? ,矛盾 。 若 t =1,則 nn xssxx ??? 1 ,矛盾 . 所以 x1=1 (3)[解法一 ]猜測 1?? ii qx ,i=1, 2, , n 記 },1,1{ 2 kk xxA ??? ,k=2, 3, , n. 先證明 :若 1?kA 具有性質 P,則 kA 也具有性質 P. 任取 ),(1 tsa ? ,s 、 t ? kA .當 s 、 t 中出現 1時 ,顯然有 2a 滿足 021 ??aa 。 當 1??s 且 1??t 時 ,s 、 t ≥1. 因為 1?kA 具有性質 P,所以有 ),( 112 tsa ? ,1s 、 1t ? 1?kA ,使得 021 ??aa , 18 從而 1s 和 1t 中有一個是 1,不妨設 1s =1. 假設 1t ? 1?kA 且 1t ? kA ,則 11 ?? kxt .由 0),1(),( 1 ??? ?kxts ,得 11 ?? ?? kk xtxs ,與 s ? kA 矛盾 .所以 1t ? kA .從而 kA 也具有性質 P 現用數學歸納法證明 : 1?? ii qx ,i=1, 2, , n. 當 n=2時 ,結論顯然成立 。 假設 n=k時 , },1,1{ 2 kk xxA ??? 有性質 P,則 1?? ii qx ,i=1, 2, , k。 當 n=k+1時 ,若 },1,1{ 121 ?? ?? kkk xxxA ?有性質 P,則 },1,1{ 2 kk xxA ??? 也有性質 P,所以 },1,1{ 111 ??? ?? kkk xqqA ?. 取 ),( 11 qxa k?? ,并設 ),(2 tsa ? 滿足 021 ??aa ,即 01 ??? qtsxk .由此可得 s 與 t中有且只有一個為 1. 若 1??t ,則 1?s ,所以 qx sqk ???1 ,這不可能 。 所以 1??s , kkk qqqqtx ???? ?? 11 ,又 11 ?? ? kkx ,所以 kk qx ??1 . 綜上所述 , 1?? ii qx 1?? ii qx ,i=1, 2, , n [解法二 ]設 ),( 111 tsa ? , ),( 222 ts