【正文】 :若數(shù)列 ??na 是公比為 q 的等比數(shù)列 ,則對任意 Nn ?? ,有 1 .n nqaa? ? 由 0na? 知 , ( ), ( ), ( )A n B n C n均大于 0,于是 1 2 )2 3 11 2 1 2( .. ....() ,( ) .. . .. . nnnnq a a aa a aBn qA n a a a a a a? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 2 3 1 )3 4 22 3 1 2 3 1( . . ....() ,( ) . . . . . . nnnnq a a aa a aCn qB n a a a a a a ????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 24 即 ()()BnAn= ()()CnBn=q ,所以三個(gè)數(shù) ( ), ( ), ( )A n B n C n組成公比為 q 的等比數(shù)列 . (2)充分性 :若對于任意 Nn ?? ,三個(gè)數(shù) ( ), ( ), ( )A n B n C n組成公比為 q 的等比數(shù)列 , 則 ( ) ( ) , ( ) ( )B n qA n C n qB n??, 于是 ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ,C n B n q B n A n? ? ?得 2 2 1 1 ),nna a q a a??? ? ?即 2 1 2 1 .nna qa a a??? ? ? 由 1n? 有 (1) (1),B qA? 即 21a qa? ,從而 210nna qa????. 因?yàn)?0na? ,所以 2 211nna a qaa?? ??,故數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 1a ,公比為 q 的等比數(shù)列 , 綜上所述 ,數(shù)列 ??na 是公比為 q 的等比數(shù)列的充分必要條件是 :對任意 n∈N﹡ ,三個(gè)數(shù) ( ), ( ), ( )A n B n C n組成公比為 q 的等比數(shù)列 . 【點(diǎn)評】本題考查 等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明 .第一問由等差數(shù)列定義可得 。 當(dāng) 37nan??時(shí) ,2a ,3a ,1a 分別為 1? ,2 , 4? ,成等比數(shù)列 ,滿足條件 . 故 3 7 , 1 , 2 ,| | | 3 7 |3 7 , 3 .n nnan ? ? ??? ? ? ? ??? 25 記 數(shù)列 {| |}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS . 當(dāng) 1n? 時(shí) , 11| | 4Sa??。 當(dāng) 3n? 時(shí) , 2 3 4| | | | | |nnS S a a a? ? ? ? ?5 ( 3 3 7 ) ( 3 4 7 ) ( 3 7 )n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( 2 ) [ 2 ( 3 7 ) ] 3 1 15 1 02 2 2nn nn? ? ?? ? ? ? ?. 當(dāng) 2n? 時(shí) ,滿足此式 . 綜上 ,24 , 1 ,3 11 10 , nSn n n????? ? ? ??? :(Ⅰ) 由 ? ?? ?121 2 32 1 3232725aaa a aa a a? ???? ? ???? ? ??,解得 1 1a? . (Ⅱ) 由 112 2 1nnnSa ??? ? ?可得 12 2 1nnnSa? ? ? ?( 2n? ),兩式相減 ,可得122nn n na a a?? ? ? , 即 1 32nnnaa? ??, 即 ? ?11 2 3 2nnnnaa?? ? ? ?, 所 以 數(shù) 列? ?2nna ? ( 2n? )是一個(gè)以 2 4a? 為首項(xiàng) ,3 為公比的等比數(shù)列 .由 1223aa??可得 , 2 5a? ,所以 22 9 3nnna ?? ? ? ,即 32nnna ?? ( 2n? ),當(dāng) 1n? 時(shí) , 1 1a? ,也滿足該式子 ,所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式是 32nnna ?? . (Ⅲ) 因?yàn)?1 1 13 3 2 3 2 2 2n n n n n? ? ?? ? ? ? ? ?,所以 13 2 3n n n??? ,所以1113nna ??,于是112111 1 1 1 1 3 1 331113 3 2 3 213nnnna a a???? ?? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????. 點(diǎn)評 :上述證法實(shí)質(zhì)上是證明了一個(gè)加強(qiáng)命題121 1 1 3 1123 nna a a????? ? ? ? ?????????,該加強(qiáng)命題的思考過程如下 . 考慮構(gòu)造一個(gè)公比為 q 的等比數(shù)列 ??nb ,其前 n 項(xiàng)和為 ? ?1 11nnbqT q?? ? ,希望能得到 ? ?11211 1 1 312nnbqa a a q?? ? ? ? ??,考慮到 ? ?1 111nbq bqq? ???,所以令 1 312bq?? 即 26 可 .由 na 的通項(xiàng)公式的形式可大膽嘗試令 13q?,則 1 1b? ,于是113n nb ??,此時(shí)只需證明1113n nn ba ???就可以了 . 當(dāng)然 ,q 的選取并不唯一 ,也可令 12q?,此時(shí)1 34b?,132n nb ??,與選取 13q?不同的地方在于 ,當(dāng) 1n? 時(shí) , 1nn ba?,當(dāng) 2n? 時(shí) , 1nn ba?,所以此時(shí)我們不能從第一項(xiàng)就開始放縮 ,應(yīng)該保留前幾項(xiàng) ,之后的再放縮 ,下面給出其證法 . 當(dāng) 1n? 時(shí) ,1131 2a ?? 。 當(dāng) 3n?時(shí) ,1 2 31 1 1 1 1 31 5 1 9 2a a a? ? ? ? ? ?. 當(dāng) 4n? 時(shí) , 1nn ba?,所以 3123113 2 21 1 1 1 1 1 1 3 31115 1 9 5 1 9 1 6 212nna a a??????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??. 綜上所述 ,命題獲證 . 下面再給出121 1 1 32na a a? ? ? ?的兩個(gè)證法 . 法 1:(數(shù)學(xué)歸納法 ) ① 當(dāng) 1n? 時(shí) ,左邊11 1a??,右邊 32? ,命題成立 . ② 假設(shè)當(dāng) nk? ( 2k? , k? N )時(shí)成立 ,即1133 2 2k iii? ???成立 .為了證明當(dāng)1nk?? 時(shí) 命 題 也 成 立 , 我 們 首 先 證 明 不 等式 :111 1 13 2 3 3 2i i i i??????(i? ,i? N ). 要證111 1 13 2 3 3 2i i i i??????, 只需證1 1 1113 2 3 3 2i i i i? ? ??? ? ?, 只需證1 1 13 2 3 3 2i i i i? ? ?? ? ? ?,只需證 12 3 2ii?? ?? ? ,只需證 23??? ,該式子明顯成立 ,所以111 1 13 2 3 3 2i i i i??????. 27 于是當(dāng) 1nk??時(shí) , 111 2 11 1 1 1 1 1 3 3113 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 2k k ki i i i i ii i i??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?,所以命題在 1nk??時(shí)也成立 . 綜合 ①②, 由數(shù)學(xué)歸納法可得 ,對一切正整數(shù) n ,有121 1 1 32na a a? ? ? ?. 備注 :不少人認(rèn)為當(dāng)不等式的一邊是常數(shù)的時(shí)候是不能用數(shù)學(xué)歸納法的 ,其實(shí)這是一個(gè)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí) . 法 2:(裂項(xiàng)相消法 )(南海中學(xué)錢耀周提供 ) 當(dāng) 1n? 時(shí) ,1131 2a ?? 顯然成立 .當(dāng) 2n? 時(shí) ,121 1 1 31 52aa? ? ? ?顯然成立 . 當(dāng) 3n? 時(shí) , ? ?3 2 1 2 2nn n nna ? ? ? ? ? 1 2 2 1 11 2 2 2 2 2n n n nn n nC C C ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 2 1nnn n n nC C C C n n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,又因?yàn)?? ?2 5 2 2 2 1a ? ? ? ? ?,所以 ? ?21na n n??( 2n? ),所以 ? ?1 1 1 1 12 1 2 1na n n n n??? ? ???????( 2n? ),所以 1 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 1 1 12 2 3 4 1 2 2na a a a n n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?. 綜上所述 ,命題獲證 . 38. 【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運(yùn)用 .先從函數(shù)入手 ,表示直線方程 ,從而得到交點(diǎn)坐標(biāo) ,再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明 ,根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)而 求得數(shù)列的通項(xiàng) . 解 :(1)為 2(4) 4 8 3 5f ? ? ? ?,故點(diǎn) (4,5)P 在函數(shù) ()fx的圖像上 ,故由所給出的兩點(diǎn) ( 4 , 5 ), ( , ( ))n n nP Q x f x,可知 ,直線 nPQ 斜率一定存在 .故有 直線 nPQ 的直線方程為 ( ) 55 ( 4 )4nnfxyxx ?? ? ??,令 0y? ,可求得 2 2 8 4 355 ( 4 ) 44 2 2n n nn n nx x xx x xx x x? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 所以1 432nn nxx x? ?? ? 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 23nx?? 當(dāng) 1n? 時(shí) , 1 2x? ,滿足 123x?? 28 假設(shè) nk? 時(shí) ,23kx??成立 ,則當(dāng) 1nk??時(shí) ,1 43 5422kk kkxx xx? ?? ? ???, 由 5 5 1 1 52 3 4 2 5 1 2 4 32 4 4 2kk kkxx xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???即123kx ???也成立 綜上可知 23nx??對任意正整數(shù)恒成立 . 下面證明 1nnxx?? 由 221 4 3 4 3 2 ( 1 ) 42 2 2n n n n nn n nn n nx x x x xx x xx x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 由 22 3 1 1 2 0 ( 1 ) 4 3n n nx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 故有 1 0nnxx? ?? 即1nnxx?? 綜上可知 123nnxx?? ? ? 恒成立 . (2)由1 432nn nxx x? ?? ?得到該數(shù)列的一個(gè)特征方程 432xx x ?? ? 即 2 2 3 0xx? ? ? ,解得 3x? 或 1x?? ?1 4 3 33322nnn xxx ? ??? ? ? ??? ① 1 4 3 5 5( 1 ) 122nnn xxx ? ??? ? ? ? ?② 兩式相除可得 113311 5 1nnxx????????,而 113 2 3 11 2 1 3xx ? ?? ? ??? 故數(shù)列 31nnxx????????是以 13? 為首項(xiàng)以 15 為公比的等比數(shù)列 13 11()1 3 5 nnnxx ?? ? ? ?? ,故 1119 5 1 433 5 1 3 5 1nn nnx ?????? ? ?? ? ? ?. 法二 (先完成 Ⅱ, 用 Ⅱ 證 Ⅰ) :(Ⅱ) nP 的方程為2 5 442 3 5 nnny xxxx? ?? ?? ? ?,令 0y?得1 54 2n nx x? ??? (不動(dòng)點(diǎn)法 ) 令 54 2x x??? ,得函數(shù) 4( ) 4 2gx x??? 的不動(dòng)點(diǎn) 121, 3xx?? ? . 29 1 5 ( 1)515 22nn nnxx xx? ?? ? ? ? ??? 1 ( 3 )531 22nn nnxx xx? ?? ? ? ? ??? 上兩式相除得 11 11533nnxx?? ??????.可見數(shù)列 ? ?13nnxx??是等比數(shù)列 ,其中公比 5q? ,首項(xiàng)為 11 1 33xx???? . 1 11 43 5 33 3 5 1n n n nnx xx ? ??? ? ? ? ? ? ?? ??()nN?? 即為所求 . (Ⅰ)① 由上知11443 2 (1 ) 23 5 1 3 5 1n nnx ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?(當(dāng) 1n? 時(shí) ). ② 又1 4333 5 1n nx ? ? ?