【文章內(nèi)容簡介】 CM 中的定義是 147 ,rr ?? ?? pp ?? ?? 類比經(jīng)典情況，在 QM 中引入 宇 稱算符 P? ，它的定義是 rrP ?? ??? （ ） 根據(jù)定義，首先可得它對任意態(tài)的作用 ????? ?? rd|rrP? ??? ?? () 由于 ? ?rr ?? ?? ?| ，于是 ? ?? ???? ???? rrdrrrPr ?????? ??? 39。|39。`|? 就是 說， 經(jīng) P? 變換后的態(tài)的波函數(shù) ? ?r??? 是原先 ??r?? 對于原點的鏡像反射。 還可以得到 P? 對動量表象基矢的作用 ?? ??????? ??????? rdprrrdp|rrpP? ????????? prdprr ????? ??????? ? ???? （ ） 顯然， 兩次相繼的空間反射變換等于一個恒等變換 ，即 ? ? rrrPrP ???? ?????? ?? 2 于是有 1?2?P 這說明 宇稱算符是自逆的 ，即 1?? ??PP () 另外，對任意兩個態(tài)矢（為表述明確，根據(jù)上面結(jié)果，下面將變換前后的態(tài)矢用它們的波函數(shù)來標記），有 ? ? ? ?rrP ?? ?? ??? ? ? ? ?rrP ?? ?? ??? 而按內(nèi)積定義總有 148 ? ? ? ? ? ? ? ?rrrr ???? ???? ??? 于是有 ? ? ? ? ? ?rrrPPr ???? ???? ?? )(?? 從而得到 1?? ??PP () 這說明宇稱算符又是幺正的?？偨Y(jié)起來， 宇稱算符 P? 是自逆的、 厄米的、 幺正的 算符 ， 即 1? ? ?P P P???? () 按第一章算符公設附注中所述， 由 宇稱算符 的自逆性質(zhì) 可知 它 有兩個本值： 1? ，并且它的 這兩個本 征態(tài) 矢 將構(gòu)成完備集，可用于展開任意態(tài) 矢 。 比如，在坐標表象里將這個結(jié)論敘述出來就成為，任意波函數(shù)總可以分解為如下兩部分之和：空間反射下為對稱的部分和空間反射下為反對稱的部分。 這種分解總是可以做到的，只要令 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????????)(21)(21rrrrrrAs???????????? 這時 ? ? ? ? ? ?sAψ r= ψ r+ ψ r ? ? ? ? ? ? ? ?,? rrrPU sss ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?rψrψrψPU AAA ??? ????? ??PU? 是宇稱算符對波函數(shù)的作用形式。 149 可以證明， 宇稱算符是個純量子力學算符，它不能用經(jīng)典的形式表示出來（或者說，它沒有經(jīng)典對應的力學量 3）。 換種 說 法 ， ?P 不能用 ??r,p 等有經(jīng)典對應力學量的算符的任 意函數(shù)來表示。 反證法證明 ： 假定可以用 pr?,??? 的某個函數(shù) ? ?prf ?,? ?? 把宇稱算符 P? 表示出來，即 有 ? ?prfP ?,?? ??? 則 `當 0?? 向經(jīng)典過渡時， ? ?prf ????, f?? 將趨于它的經(jīng)典對應物 ? ?prf ??, f? 已知 經(jīng)典對應物 f 應當 與經(jīng)典力學量 ip 對易 ， 即有 fppf ii ? （ zyxi ,? ） 但 另一方面， 按宇稱算符 f? 的 定義 ，它和 ?p 應當 反對易， ii pfpf ???? 1 ??? ， 即 fppf ii ???? ?? ， （ zyxi ,? ） 顯然 也可 以 對 此式 作經(jīng)典趨近，并得出反對易 結(jié)果。 于是， 經(jīng)典情況下 有 兩種 完全 不同結(jié)果 ，這 表明 只 可 能有 一種選擇， 0?f 。 表 明宇稱算符不能被表達成為 r?? 和 p?? 的任何函數(shù) f? ，否則其經(jīng)典對應物 f 必為零，反推回去 得到 f? 本身為零（ 因 1?2?f ， f? 正 比于 ? 任何 冪次 也不可能 ）。 可以得到宇稱算符的并矢表示式。比如取坐標表象，這時基矢為??r? 。由 P? 的定義并考慮基矢的完備性條件，即得 ?? ???????? ???? rdrrrdrrP ??????? () 3 這并不是說經(jīng)典力學中無相應的變換，而是說不存在對應的力學量。一個經(jīng)典系統(tǒng)即使具有這種反射對稱性，也不能說明存在相應的守恒的力學量。 150 而 P? 的矩陣元為 ? ? ? ? ? ?rrrdrrrrrdrrrrrPr ??????????????????? ?? ???????? ?????????????? ???? 注意， 如果體系分為幾個子體系，則 體系的 總 宇稱算符 本征值 是各子體系 宇稱算符本征值 的 乘 積 。 這簡稱為， 宇稱算符本征值 是 相乘 的。 這是因為，同一粒子的幾部分波函數(shù)（或多粒子的波 函數(shù)）總是相乘的，經(jīng)宇稱算符的作用，所得各部分的宇稱本征值也就是相乘的。 與此同時， 連續(xù)變換所對應的（力學量的）本征值是相加的。 因為連續(xù)變換所對應的守恒量均在指數(shù)上，指數(shù)算符相乘時指數(shù)上的量就相加。故其各部份波函數(shù)所具有的本征值就是相加的。 比如，核和粒子物理的反應 dcba ??? 這時 相對運動初態(tài) abba? ，其中 a 和 b 分別為 a 和 b 粒子的內(nèi)部狀態(tài)，而 相對運動ab 表示 ba， 兩粒子之間相對運動狀態(tài)。空間反射變換要作用于所有各部份， 相對運動初 abPbPaPP abba ???? ??? 設 a 態(tài) 內(nèi)稟宇稱為 aP ： aPaP aa ?? ， b 態(tài) 內(nèi)稟宇稱為 bP ： bPbP bb ?? ， 相對運動 宇稱為 abP ： 相對運動相對運動相對運動 abPabP abab ??， 則 初態(tài)的總宇稱量子數(shù)就成為： abba PPPP ? () 151 下面表明， ? ??1??相對運動abP 。 l 是 ba, 兩粒子相對運動的軌道角動量量子數(shù)，故 ? ??1? 又 稱為軌道宇稱。末態(tài)情況類似。 于是， 如果反應過程遵守宇稱守恒定律，反應前后 總宇稱量子數(shù)應當相等，即有等式 ? ? ? ? dcba PPPP 111 ?? ??? () 這里 dc`1為? 之間相對運動軌道角動量量子數(shù)。如果反應過程中存在弱作用，反應前后的總宇稱量子數(shù)將不相等。 現(xiàn)在補充說明： 對于軌道角動量量子數(shù)為 l 的兩個粒子相對運動，它們的軌道宇稱為 ? ?l1? 。注意空間反射只與方位角有關(guān)，與相對距離無關(guān)，可略去相對運動波函數(shù)的徑向部分，只考慮方位角部分? ???,lmY 。球坐標中 ? ? ? ??????? ????? ?? ， 空間反演 , rr ，所以 ? ???,lmY 的空間反演為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? , lmlmlm YYYPU ?? ????? （ ） 這說明 ， ? ???,lmY 是宇稱算符 本征態(tài)， 對應的 本征值為 ? ??1? 。 ※ 5，時間反演對稱性。參見附錄二 。 ※ 167。 內(nèi)稟對稱性 1, 同位旋空間旋轉(zhuǎn)對稱性和同位旋守恒 原子核物理 涉及的核力是一種強相互作用，它大體與電荷（是質(zhì)子還是中子）無關(guān)，這是一個雖然并不十分精確但卻是普遍成立的實驗事實。 據(jù) 此，核理論中從強作用觀點出發(fā)，不計電磁和弱作用，常將質(zhì)子和中子考慮成是同一個粒子（稱為核子）的兩個不同狀態(tài)。于是，一個核子的波函數(shù)可以記成 152 ? ? ? ?? ?????????? rrr ???21??? () 這樣，質(zhì)子和中子的波函數(shù)便分別成為 ? ? ? ? ,01 ????????? rrp ?? ?? ? ? ? ?????????? rrn ??20?? 取如下三個 2? 2 矩陣 i? 作為同位旋算符 ????????? 01 101?， ???????? ?? 002 i i?， ???????? ?? 10 013? 于是，在這些算符作用下，產(chǎn)生如下變換 ??? ?? ,11pnnp ??? ??? 2 p n2 n pii,? ? ? ????? ? ?? ??? ??? ???nnpp ??? ???33 （ ） 由于不考慮核子間電弱相互作用，只考慮核子間的強相互作用，根據(jù)核力與電荷無關(guān)，在上述這些變換下核子體系的能級將相同，構(gòu)成了能級的簡并。這時，由同位旋算符 i? 組成 同位旋 矢量算符 ??? 21?? () 本征值 稱為核子的同位旋。而質(zhì)子和中子只是（同一個稱作 “核子 ”的粒子）同位旋第三分量不同的兩個狀態(tài)。就是說，出現(xiàn)了同位旋兩重態(tài)的簡并?？梢愿綆е赋?，由同位旋第三分量 3? ，可以組成所謂 “電荷算符 ”Q ： ? ? ????????????????? ??? 00 011221 33 eeeQ ? () 顯然， ppQ ?? ? ， 0?nQ? 2, 全同粒子置換對稱性與全同性原理 153 由于微觀粒子具有波動性， 兩個或多個全同的微觀粒子存在置換對稱性，呈現(xiàn)出交換效應。這種置換對稱性常常陳述為