【文章內(nèi)容簡介】 期長短為同一年度時，以年度實際數(shù)比年度計劃數(shù)，說明年度計劃執(zhí)行結(jié)果。 當(dāng)實際完成數(shù)與計劃任務(wù)數(shù)時期長短不同，實際完成時期只是計劃任務(wù)時期的一階段時，以此階段內(nèi)累計實際完成數(shù)比全期計劃任務(wù)數(shù)，說明年度計劃執(zhí)行進(jìn)度。 （ 4）長期計劃完成情況檢查 水平法：只規(guī)定計劃期末應(yīng)達(dá)到的水平。 計劃完成相對指標(biāo) 計劃期末實際達(dá)到水平 = 計劃期末計劃規(guī)定水平 只要計劃期內(nèi)有連續(xù) 12個月指標(biāo)數(shù)值達(dá)到計劃規(guī)定最后一年的水平，余下時間就是提前完成計劃時間。 累計法：按計劃期內(nèi)各年總和規(guī)定任務(wù)。 計劃完成相對指標(biāo) = 計劃全期累計實際完成數(shù) 計劃全期累計計劃完成數(shù) 只要累計實際完成數(shù)已經(jīng)達(dá)到累計計劃完成數(shù)，余下時間就是提前完成計劃時間 思考題 某班第二學(xué)期 《 統(tǒng)計學(xué) 》 成績（分）如下： 9 8 7 5 6 8 60、7 8 70、 5 9 80、 6 77 6 7 8 8 90、 8 97 7 7 7 7 7 86。 要求：作等距分組；編制頻數(shù)分布與累計頻數(shù)分布表；繪制直方、折線、累計頻數(shù)分布圖。 某工廠 1999年計劃產(chǎn)值為 1080萬元，計劃完成程度為 110%， 1999年計劃產(chǎn)值比 1998年增長 8%，試計算 1999年實際產(chǎn)值比 1998年增長百分之幾？ 某企業(yè) 2022年計劃單位產(chǎn)品成本比上年降低 2%，實際比上年降低 5%，問該企業(yè)單位產(chǎn)品成本降低計劃是否完成？ 某商店 2022年計劃銷售收入比上年提高 20%，實際銷售收入為上年的 ，問 2022年銷售收入的計劃完成程度？ 某企業(yè)某年產(chǎn)值資料如下，試補全 產(chǎn)品 產(chǎn)值（萬元） 比重（ %） 計劃完成（ %） 計劃 實際 計劃 實際 甲 乙 合計 800 100 100 104 某市人口數(shù) 1995年比 1952年增長了 ，比 1972年增長了60%，那么 1972年人口數(shù)比 1952年增長了（ ）倍。 A B C D 三、平均指標(biāo) 平均指標(biāo) 反映總體單位標(biāo)志值的代表性指標(biāo)。 特點： 對總體單位間數(shù)量差異的抽象化 說明總體綜合數(shù)量特征的一般水平具有最一般的代表性 作用： 可消除總體數(shù)量差異，使不同規(guī)?？傮w具有可比性；可反映同一總體在不同時間上的發(fā)展趨勢；是統(tǒng)計推斷的重要參數(shù)。 分類： 按時間狀況 靜態(tài)平均數(shù)： 動態(tài)平均數(shù)： 按計算方法 數(shù)值平均數(shù)： 位置平均數(shù)： 同一時間上總體各單位某數(shù)量標(biāo)志的一般水平。 不同時間上總體某指標(biāo)的一般水平。 根據(jù)各變量值計算而得的平均值 根據(jù)某變量值所處的特殊位置而得的平均值 （一）數(shù)值平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù) （ 1）簡單算術(shù)平均數(shù) X = ∑ i=1 n Xi n （ 2）加權(quán)算術(shù)平均數(shù) X = ∑XiWi ∑Wi = ∑ Xi Wi ∑Wi 若各組總體單位數(shù)（各組權(quán)數(shù)）相等，即 W1=W2=…=Wn=W，則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡單算術(shù)平均數(shù)存在下列關(guān)系： X = ∑XiWi ∑Wi = W∑Xi nW = ∑Xi n 【 例 1】 某統(tǒng)計學(xué)家暑假在一小型統(tǒng)計咨詢公司社會實踐。該公司雇傭了數(shù)名高級顧問，周薪在 700至 950元；數(shù)名中級顧問，周薪在 300至 350元；數(shù)名公司職員，周薪為 200元。每位雇員的周薪額具體如下： 200， 200， 200，840， 200， 200， 300， 200， 300，350， 700， 350， 950元。 試計算該公司雇員的平均周薪額。 X = 4990 13 = （元 /人） 【 例 2】 見教材 P41 【 例 3】 見教材 P42 【 例 4】 某上市公司所屬三個分公司產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)資料如下： 分公司 一級品率（ %） 總產(chǎn)量（件） 一公司 二公司 三公司 90 80 84 300 500 200 合計 — 1000 試求：三個分公司的平均一級品率。 X = ∑XW ∑W = 838 1000 =% 【 例 5】 見教材 P43 各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零 ∑（ X X ∑（ X X 各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方之和為最小 ∑（ X X） = 最小值 【 未分組 】 2 ∑（ X X） 2 W = 最小值 【 分組 】 兩獨立同質(zhì)變量代數(shù)和的算術(shù)平均數(shù)等于各變量算術(shù)平均數(shù)的代數(shù)和 X + Y 兩獨立同質(zhì)變量乘積的算術(shù)平均數(shù)等于各變量算術(shù)平均數(shù)的乘積 X Y ） = 0 【 未分組 】 ） W = 0 【 分組 】 = X + Y = X Y 證明： ∑（ XX ） = ∑XnX = ∑Xn n ∑X = 0 證明： 設(shè) X0為任一變量，則有 X0 = X + C 則， ∑（ XX0） 2 =∑ [ X （ X + C） ] 2 =∑ [（ X X ） C ] 2 =∑（ XX ） 2 2C ∑（ XX ） + nC 2 =∑（ XX ） 2 + nC 2 ∵ nC 2 ≥ 0 ∴ ∑（ XX ） 2 = 最小值 證明： 設(shè)變量 X有 m個值，變量 Y有 n個值， X+Y = mn ∑ i=1 m ∑ j=1 n （ X+Y） = mn ∑ i=1 m ∑ j=1 n X+ ∑ i=1 m ∑ j=1 n Y = mn n∑ i=1 m X + m∑ j=1 n Y = m ∑ i=1 m X + n ∑ j=1 n Y = X + Y 證明： 設(shè)變量 X有 m個值，變量 Y有 n個值， XY = mn ∑ i=1 m ∑ j=1 n XY = mn ∑ i=1 m X ∑ j=1 n Y = X Y 調(diào)和平均數(shù) 各變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 （ 1）簡單調(diào)和平均數(shù) 各總體單位標(biāo)志值倒數(shù)的簡單算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 H = 1 n 1 （ x1 1 x2 1 xn 1 + + … + ） = ∑ xi 1 n 【 例 1】 青石橋市場某日提供三種大閘蟹，大、中、小單價分別為每公斤 120元、100元、 80元，問各買一公斤，平均每公斤多少錢？ X = 120 + 100 + 80 3 =100（元 /公斤） 若每種蟹各買 100元，平均每公斤多少錢？ H= 120 1 + 100 1 + 80 1 3 =97（元 /公斤） （ 2）加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 各總體單位標(biāo)志值倒數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 H = x1 1 m1 + x2 1 m2 + … + xn 1 mn m1 + m2 + … + mn 1 = m1 + m2 + … + mn x1 m1 + x2 m2 + + … xn mn = ∑mi ∑ xi mi 【 例 2】 某產(chǎn)品有三種不同的規(guī)格，單位成本與總成本資料如下，求三種不同規(guī)格商品的平均單位成本。 產(chǎn)品規(guī)格 單位成本（元 /件） 總成本（元） 產(chǎn) 量（件） A型 B型 C型 45 38 22 2700 2736 1936 60 72 88 合計 — 7372 220 H = ∑mi ∑ xi mi = 7372 220 =（元 /件） 小結(jié)： ★ 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式中 mi即為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式中 XiWi（各組標(biāo)志總量），調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形（ P44） ★ 當(dāng)統(tǒng)計實踐中，只有各組標(biāo)志總量（ XiWi）資料，而缺少各組總體單位數(shù)資料時，通常用調(diào)和平均數(shù)計算平均數(shù)。 ★ 若各組標(biāo)志總量相等，則用簡單調(diào)和平均數(shù)計算（如 例 1）；若各組標(biāo)志總量不相等，則用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)（如 例 例 3） 【 例 3】 見教材 P45 思考題 某車間 50名工人，每日生產(chǎn)某種零件數(shù)如下，計算平均每人日產(chǎn)零件數(shù)。 日產(chǎn)零件數(shù)（件） 工人數(shù)（人） 8 9 10 11 10 17 15 8 合計 50 某班第二學(xué)期統(tǒng)計學(xué)成績調(diào)查資料如下，計算平均成績。 成績（分） 學(xué)生人數(shù)（人） 60以下 60~70 70~80 80~90 90~100 6 22 26 21 4 合計 79 某商品的銷售額及單位價格資料如下，計算該商品的平均價格。 商品等級 銷售額（萬元） 價格（元 /件） 甲級 乙級 丙級 16 28 2 合計 46 — 某商店進(jìn)了三批貨，途中有損壞，損壞率分別為 1%、 %、 2%，三批貨物占總量的比重分別為 30%、 50%、 20%，求三批貨物的平均損壞率。 某公司所屬分公司產(chǎn)品質(zhì)量如下： 分公司 計 劃 實 際 一級品率（ %） 一級品產(chǎn)量（萬件） 一級品率（ %） 全部產(chǎn)品產(chǎn)量（萬件） 一公司 二公司 三公司 95 90 98 25 30 55 94 95 98 40 45 70 合 計 — 110 — 155 （ 1）分別計算計劃和實際平均一級品率 （ 2）計算總公司及分公司全部產(chǎn)品產(chǎn)量的計劃完成程度 幾何平均數(shù) n 個數(shù)值連乘積的 n 次方根。 幾何平均數(shù)在分析經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象時要求變量值間在經(jīng)濟(jì)內(nèi)容上具有連乘積關(guān)系，如平均速度、平均比率等。 （ 1）簡單幾何平均數(shù) 資料未分組情況下采用。 G = ? n x1x2 … xn = ? 【 例 1】 見教材 P46 分析：由于是前后銜接的五道工序，后一道工序的合格率受前一道影響。 n ∏xi 【 例 2】 某地區(qū) 1995年至 2022年六年間工業(yè)總產(chǎn)值增長率分別為 %， %，%， %， %， %。求該地區(qū)六年工業(yè)總產(chǎn)值平均增長率。 分析：由于后年增長率受上年影響，即后年增長率都是在上年基礎(chǔ)上計算的，所以不能簡單地用算術(shù)平均數(shù)，而應(yīng)用幾何平均數(shù)計算。 又由于是增長率，所以要把原有基數(shù)100%考慮進(jìn)去。 G = ? 6 % …… % = % ∴ 該地區(qū)工業(yè)總產(chǎn)值平均每年增長 % （ 2）加權(quán)幾何平均數(shù) 資料已分組情況下采用。 G = ? w1+w2+…+wn x1 w1 x2 w2 …… xn wn = ? ∑wi ∏xi wi 【 例 3】 見教材 P46 wi為權(quán)數(shù)，即 xi出現(xiàn)了 wi次 如： x1 x1 …… x1 w1次 = x1 w1 分析：有 4年為 3%，即這 4年的本利率都是 103%，設(shè)本金為 Q，則 Q + 3% Q = Q（ 1+3%） = 103% Q，這 12年的本利和為 4 105% 2 108% Q（ 103% 2 110% 3 115%） （二）位置平均數(shù) 中位數(shù) 將變量值按大小排列后居中的一位數(shù)值。 （ 1）資料未分組時 若變量值個數(shù)為奇數(shù)，則中間位置的數(shù)即中位數(shù)；若變量值個數(shù)為偶數(shù)，則中間位置兩個數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)為中位數(shù)。 【 例 1】 6個工人日產(chǎn)量分別為 2 2 2 2 25件，則中位數(shù) Me是 （ 25+26） /2=（件） （ 2）單項數(shù)列時 先計算累計頻數(shù)，然后用（ n+1） /2確定中間位置，該位置所在組對應(yīng)的標(biāo)志值即中位數(shù)。 【 例 2】 某居民樓按家庭人口數(shù)分組資料如下，求中位數(shù)。 人口數(shù)分組 家庭數(shù)（戶） 向上累計（戶） 向下累計（戶） 1 2 3 4 5 2 3 4 6 1 2