[研究生入學(xué)考試]電磁場與電磁波(編輯修改稿)
2025-01-04 01:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 axwell方程中，經(jīng)常需要用到宏觀方程，因此需要考慮散度的宏觀形式，即： ?V F dV?? ?? 散度定律 第一章 矢量分析 (4) 19 散度定律：矢量分析重要定律之一 (需熟練 ) F表 面 為 S體 積 為 V1S 2S? ?m a x 0l imii i i iVS VF d V F V F d S??? ? ? ? ? ? ? ???? ??考慮如圖相鄰兩個(gè)面 (體 )元 S1和 S2，其公共面設(shè)為 S。 在考慮左邊體積元面元通量時(shí)，該面元的單位矢量如紅箭頭所示 而考慮右邊體積元面元通量時(shí)，該面元的單位矢量如蘭箭頭所示 F?ln?rn?即面元 S在散度求和過程中被利用了兩次，計(jì)算過程中場量 F沒有變化，而兩次計(jì)算的面元單位矢量相反，故該面元的通量對通量累加沒有作用。 ?進(jìn)一步說，凡是在累加過程中，面元被采用兩次的都存在這個(gè)問題，這種面元也只能位于體積的內(nèi)部。而表面面元由于只存在一個(gè)體積元中，故被保留下來。 ?所以最終有： iiiSSF d S F d S? ? ?? ?? ??VSF dV F dS? ? ? ?? ??第一章 矢量分析 (4) 20 例 題 6 ： 利 用 矢 量 場 ? ? ? ?2 ? ? ?3 3 3D x x y z y z x z? ? ? ? ?在 邊 界22 9xy ?? 0 , 0 , 0 2x y z z? ? ? ?和表 面 的 通 量 驗(yàn) 證 散 度 定 理xyz1dS2dS3dS4dS5dS解：該區(qū)域存在 5個(gè)表面，分別對應(yīng)dS1,dS2,dS3,dS4,dS5 ? ? 1 ?1 0 ,y d S d x d zy? ? ?? ?1321 00 36S x zD d S y z d x d z??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? 2 ?2 0 ,x dS dy dzx? ? ?232 22 00 30S y zD d S x d y d z??? ? ? ?? ? ?? ? 3 ?3 3 , 3d S d d z? ? ???3223 00 3SzD d S D d d z??? ?????? ? ?? ?2c o s sin 3 c o s 3 sinxyD D D x y z? ? ? ? ?? ? ? ? ?同時(shí)在面 dS3上有 3 c os , 3 si nxy ????第一章 矢量分析 (4) 21 代入整理得： 3 31 5 6 .4 1S D d S???? ? 4 ?4 2 ,z dS d d z? ? ???? ?4324 00 c o s6 3 3 . 4 1xS D d S x d d??? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ?yz1dS2dS3dS4dS5dS? ? 5 ?5 0 ,z dS d d z? ? ?? ? ?5 c o s325 00 9S xD d S x d d ??? ?? ? ? ??? ?? ? ?? ? ?故 6 0 1 5 6 .4 1 3 3 .4 1 9 1 9 2 .8 2S D d S? ? ? ? ? ? ? ???而 66Dx? ? ? ?? ?? ?3 2 20 0 03 2 20 0 0666 c o s 6 1 9 2 .8 2VD d V x d d d zd d d z??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?第一章 矢量分析 (5) 22 矢量場的環(huán)流與旋度 C F dl? ? ??環(huán)流：矢量場 F沿場中的一條閉合路徑 C的曲線積分稱為矢量場 F沿閉合路徑 C的環(huán)路。簡而言之，即環(huán)路積分。 dlFC環(huán)流也是與源有關(guān)的量，如 則表明環(huán)路內(nèi)含有源，但是這種源產(chǎn)生的場是一種類似漩渦的場，與電荷產(chǎn)生的場有明顯的不同。 0??FC由于積分路徑與場 F始終一致，故該積分必不為 0 但是有意思的是，這種場的散度卻必為 0 這種矢量線不發(fā)散，也不匯聚，產(chǎn)生這種矢量線的源稱為漩渦源 第一章 矢量分析 (5) 23 C F dl? ? ??同樣，這個(gè)積分也是宏觀量的積分，如何考察空間點(diǎn)的場量特性？ C F dl? ? ?? 0lim CC F dl? ??該積分顯然為 0 0lim CCF d lA???dlFCS0lim CCF d lS???環(huán) 流 面 密 度 注意：環(huán)流面密度顯然與 S的方向有關(guān)，為何顯然？ 第一章 矢量分析 (5) 24 環(huán)流面密度顯然與 S的方向有關(guān) (以一特例說明 ) 1S2S FC? ?2C1C簡圖說明： ?矢量場為 φ方向場，且為常數(shù) ?S1為圓形回路 C1圍成面積 ?S2為橢圓形回路 C2圍成面積 ?S1為 S2在水平方向投影 結(jié)論： 在上述條件下，有 12CCF d l F d l? ? ???但是顯然兩個(gè)環(huán)路所圍成的面積并不相等，因此兩者的環(huán)流面密度并不相等。 第一章 矢量分析 (5) 25 由于矢量場在某點(diǎn)的環(huán)流面密度與面元方向 (以法線方向記 )有關(guān)，因此一個(gè)給定點(diǎn)處沿不同方向，它的環(huán)流面密度并不相同，但是總存在一個(gè)最大的環(huán)流面密度。 1S2S FC? ?2C1C2?n1?n仍然以上圖為例，顯然由于環(huán)路積分相同，相比而言面積小的環(huán)流面密度較大，因此環(huán)路 C1(S1)的環(huán)流面密度大于 C2(S2)的。 同樣可以看到在該點(diǎn)處 S1的面積總是最小，所以環(huán)流其面密度必然最大。 旋度的定義： 方向沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，大小等于該環(huán)流面密度最大值，記為 rotF。 旋度的表達(dá)式： 0m a x? l i m cSF dlr ot F nS???? ??????????第一章 矢量分析 (5) 26 ?n?n???F? ?CS? ?CS??旋度的性質(zhì)： 1. ? nrot F n rotF? ???在 n’方向的環(huán)流面密度 ? cF d ln S??cF dlS????? ?c o sc o sc c cF d l F d l F d lnnS S S???? ? ??? ? ?? ? ?2. 空間某點(diǎn)旋度垂直于該點(diǎn)矢量場的方向 證明：略 (從圖中即可得到 ) 3. 考慮旋度時(shí)，其面元 S方向垂直于矢量場方向，或者閉合回路 C和矢量場方向一致 同樣說明，旋度的數(shù)值是最大的環(huán)流面密度。 第一章 矢量分析 (5) 27 ?xro t F x ro tF??旋度計(jì)算式： 預(yù)備知識： ? ? ?,x y zA A x A A y A A z? ? ? ? ? ?? ? ?x y zA A x A y A z? ? ?? ? ?x y zro tF ro t F x ro t F y ro t F z? ? ??zr ot F z r ot F???yro t F y ro
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