【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 a2 () S2 = a6 ⊕ a5 ⊕ a3 ⊕ a1 () S3 = a6 ⊕ a4 ⊕ a3 ⊕ a0 () 線性分組碼 表 113 校正子與誤碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系 S1S2S3 誤碼位置 S1S2S3 誤碼位置 0 0 0 無錯(cuò) 0 1 1 a3 0 0 1 a0 1 0 1 a4 0 1 0 a1 1 1 0 a5 1 0 0 a2 1 1 1 a6 編碼時(shí)，給信息位加入監(jiān)督位應(yīng)使得 S1 = S2 = S3 = 0，即滿足 a6 ⊕ a5 ⊕ a4 ⊕ a2 = 0 a6 ⊕ a5 ⊕ a3 ⊕ a1 = 0 () a6 ⊕ a4 ⊕ a3 ⊕ a0 = 0 第十一章 差錯(cuò)控制編碼 通信原理 內(nèi)容簡(jiǎn)介 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 線性分組碼 由監(jiān)督關(guān)系式（方程組） a6 ⊕ a5 ⊕ a4 ⊕ a2 = 0 a6 ⊕ a5 ⊕ a3 ⊕ a1 = 0 () a6 ⊕ a4 ⊕ a3 ⊕ a0 = 0 整理可得到已知信息位求監(jiān)督位的關(guān)系式 a2 = a6 ⊕ a5 ⊕ a4 a1 = a6 ⊕ a5 ⊕ a3 () a0 = a6 ⊕ a4 ⊕ a3 對(duì)于信息位 k=4 情況，共有 24=16 種信息碼組合，由式 (7)求出每種信息組合所附加的監(jiān)督位，進(jìn)而得到全部 24=16 條完整碼組，如表 114所示（教材 P337）。 第十一章 差錯(cuò)控制編碼 通信原理 內(nèi)容簡(jiǎn)介 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 例如：接收到碼組“ 0000011”,該碼組 確實(shí) 是表 114中某碼組傳輸中產(chǎn)生了 1位誤碼所致。由式 () 、 () 和 () 分別計(jì)算 3個(gè)校正子，有 S1 = a6 ⊕ a5 ⊕ a4 ⊕ a2 = 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 0 S2 = a6 ⊕ a5 ⊕ a3 ⊕ a1 = 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1 S3 = a6 ⊕ a4 ⊕ a3 ⊕ a0 = 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1 根據(jù)表 113 校正子與誤碼位置對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以確定 1位誤碼的位置在 a3 處，正確的碼組應(yīng)該為“ 0001011”，它就是表 114中的第 2條碼組。 線性分組碼 表 113 校正子與誤碼位置對(duì)應(yīng)關(guān)系 S1S2S3 誤碼位置 S1S2S3 誤碼位置 0 0 0 無錯(cuò) 0 1 1 a3 0 0 1 a0 1 0 1 a4 0 1 0 a1 1 1 0 a5 1 0 0 a2 1 1 1 a6 如果 1 條碼組在傳輸過程中確實(shí)產(chǎn)生了 1 位錯(cuò)誤，前述的 (7,4)漢明碼就能無誤地指出誤碼位置以進(jìn)行糾正。 第十一章 差錯(cuò)控制編碼 通信原理 內(nèi)容簡(jiǎn)介 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 線性分組碼 從表 114 (7,4) 漢明碼的全部碼組可以看到，這種碼的最小碼距 (數(shù)值上和非全零碼的最小碼重相等 ) d0=3，用于檢錯(cuò)可檢測(cè)出 e=2 位以下的誤碼，用于糾錯(cuò)只可糾正 t=1 位誤碼 。這種碼的編碼效率 η= k/n = 4/7。 漢明碼 能夠糾正 1位誤碼，其編碼效率在同碼長(zhǎng)的編碼中是最高的。具有 1位誤碼糾正能力的 (7,4)、 (15,11)、 (31,26)、(63,57)、 ……. 都是 漢明碼 。漢明碼的編碼效率隨著碼組總長(zhǎng) n 的增加而增加。因?yàn)榇a組越長(zhǎng)，信息位所占比例越大，監(jiān)督位所占比例越小。 當(dāng)碼長(zhǎng) n很大時(shí)，編碼效率接近于 1。 nnnrnnk )1(l og1 2 ???????漢明碼 2r=n+1 第十一章 差錯(cuò)控制編碼 通信原理 內(nèi)容簡(jiǎn)介 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 線性分組碼 改寫監(jiān)督關(guān)系式（方程組） a6 ⊕ a5 ⊕ a4 ⊕ a2 = 0 a6 ⊕ a5 ⊕ a3 ⊕ a1 = 0 () a6 ⊕ a4 ⊕ a3 ⊕ a0 = 0 為 1a6 + 1a5 + 1a4 + 0a3 + 1a2 + 0a1 + 0a0 = 0 1a6 + 1a5 + 0a4 + 1a3 + 0a2 + 1a1 + 0a0 = 0 () 1a6 + 0a5 + 1a4 + 1a3 + 0a2 + 0a1 + 1a0 = 0 為簡(jiǎn)化將“ ⊕ ” 改寫為“ +”, 均表示模 2加。 并可表示為矩陣形式 1110100 1101010 1011001 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 0 0 () 簡(jiǎn)記為 H ?AT=OT 或 A ?HT=O () r n 監(jiān)督矩陣 [a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0] 1 n 碼組向量 [ 0 0 0 ] 1 r 零向量 第十一章 差錯(cuò)控制編碼 通信原理 內(nèi)容簡(jiǎn)介 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 線性分組碼 式 ()中的 監(jiān)督矩陣 是一個(gè) r行 n列 的矩陣，內(nèi)容可以分為兩部分 其中 P為 r k 階矩陣， Ir為 r r 階單位矩陣。具有 [P┊ Ir]形式的監(jiān)督矩陣稱為 典型監(jiān)督矩陣 。 () 1110100 1101010 1011001 P┊ Ir H 1110 100 1101 010 1011 001 式 ()改寫可得到已知信息位 a6 a5 a4 a3 求監(jiān)督位 a2 a1 a0的矩陣關(guān)系式 a2 a1 a0 1110 1101 1011 a6 a5 a4 a3 或 () () a2a1a0 a6a5a4a3 111 110 101 011 Pr k Qk r 其 Q為 k r 階 , 它是 P 的轉(zhuǎn)置矩陣 Q = PT () 第十一章 差錯(cuò)控制編碼 通信原理 內(nèi)容簡(jiǎn)介 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 線性分組碼 對(duì)已知信息位 a6 a5 a4 a3 求監(jiān)督位 a2 a1 a0的關(guān)系 ()擴(kuò)充，變?yōu)橐阎畔⑽?a6 a5 a4 a3 求整個(gè)碼組 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0的關(guān)系式 a2 = a6 ⊕ a5 ⊕ a4 a1 = a6 ⊕ a5 ⊕ a3 a0 = a6 ⊕ a4 ⊕ a3 a6 = a6 a5 = a5 a4 = a4 a3 = a3 矩陣形式 a6 a5 a4 a3 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 1000 0100 0010 0001 1110 1101 1011 簡(jiǎn)記為 A=[a6 a5 a4 a3 ]G () G 1000111 0100110 0010101 0001011 1000 111 0100 110 0010 101 0001 011 Ik┊ Q () GT k k 階單位矩陣 Ik k r階矩陣 Q 典型 生成 矩陣 生成矩陣 第十一章 差錯(cuò)控制編碼 通信原理 內(nèi)容簡(jiǎn)介 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 線性分組碼 ● 線性分組碼具有封閉性。它是指一種線性分組碼的任意兩條合法碼組相異或，得到的結(jié)果仍然是該線性分組碼的一條合法碼組。 ■ 線性分組碼的兩個(gè)重要性質(zhì) ● 線性分組碼的最小碼重（全零碼除外），就是該線性分組碼的最小碼距。這是因?yàn)椋我淮a組中“ 1”的個(gè)數(shù)（碼重），都是某兩條碼組不相同位的數(shù)目（碼距）。 性質(zhì) 1（線性分組碼的封閉性）給我們提供了利用某些已知碼組獲得一些未知碼組的一條可能的途徑。 性質(zhì) 2（最小碼距 =最小碼重）給我們提供了從碼組獲得最小碼距，并判斷檢錯(cuò)糾錯(cuò)能力的便捷方法。 第十一章 差錯(cuò)控制編碼 通信原理 內(nèi)容簡(jiǎn)介 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 循環(huán)碼 循環(huán)碼 是一種簡(jiǎn)單、重要、常用的線性分組碼。除了具有線性分組碼的一般性質(zhì)外，還具有循環(huán)性，即碼組集合中任一碼組循環(huán)左移或右移若干位，得到的結(jié)果仍然為該碼組集合中的一條合法碼組。 循環(huán)碼原理 表 116 (7, 3)循環(huán)碼舉例 碼組 信息位 監(jiān)督位 編號(hào) a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 1 1 1 3 0 1 0 1 1 1 0 4 0 1 1 1 0 0 1 5 1 0 0 1 0 1 1 6 1 0 1 1 1 0 0 7 1 1 0 0 1 0 1 8 1 1 1 0 0 1 0 循環(huán) m位 循環(huán)左移 3位 循環(huán)左移 2位 本例中，只要知道一條非全零碼組 ,通過移位就可求出全部碼組。 循環(huán)右移 3位 第十一章 差錯(cuò)控制編碼 通信原理 內(nèi)容簡(jiǎn)介 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 循環(huán)碼 ■ 碼