【文章內(nèi)容簡介】 EOiiddt ???L rF??? ??????????? EiiEicEiicCcc dtdmdtd FrFrFrrLvr )()(即 ③ 第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 理論力學(xué)電子教程 ?? ECiCdtd ML(1112) 上式稱為 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 ，即： 質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系所有外力對質(zhì)心之矩的矢量和。 式 中的右邊第二項(xiàng) 是所有外力對于質(zhì)心Ｃ 的矩和 ，用 表示。于是，在式 中將兩邊的消去 ，最后得 Eii Fr ????? Eic Fr③ ? ECiM ③ ???? EiCCC mdtd Frvr )(得到 第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 理論力學(xué)電子教程 將式 (1112)投影 到隨同質(zhì)心平移的坐標(biāo)軸 x39。、 y39。、z39。上，得到 ????????????EzizEyiyExixMdtdLMdtdLMdtdL(1113) 第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 上式表明： 質(zhì)點(diǎn)系對隨同質(zhì)心平移的任一軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對同一軸之矩的代數(shù)和。 理論力學(xué)電子教程 如果 (或 ) ,則質(zhì)點(diǎn)系對于質(zhì)心 (或通 過質(zhì)心的軸 )的 動(dòng)量矩守恒 。 0M ECi ?? 0?? ?ExiM人造衛(wèi)星的太陽板 例如裝有太陽板的人造衛(wèi)星繞 ｚ 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由于對稱，引力通過質(zhì)心，如不計(jì)阻力，則外力對 ｚ 軸的矩恒等于零，整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對 ｚ 軸的動(dòng)量矩應(yīng)保持不變。因此，調(diào)整太陽板與ｚ 軸的夾角 θ，就將改變質(zhì)點(diǎn)系對 ｚ 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，衛(wèi)星繞ｚ 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也隨著改變。 第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 理論力學(xué)電子教程 解 : 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對象， 受力分析如圖示。 運(yùn)動(dòng)分析： v =ｒ ? rPPrPrPM BABAO )()( )e( ????? F?? )( 22 OBAOBAO JrgPrgPJrvgPrvgPL ????????由動(dòng)量矩定理： rPPJg rPg rPt BAOBA )()]([dd22?????OBABAgJPrPrPPrgt ??????22)(dd ??[例 ] 已知 : 。求角加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。 。 。 ?rJPPP OBA ?理論力學(xué)電子教程 解 ：因 ? ? , 0)( )e(FOMrvvmrvm ABAA )(0 ???2vvA ?猴 A與猴 B向上的絕對速度是一樣的 , 均為 。 2v[例 ] 已知：猴子 A重 =猴子 B重，猴 B以相對繩速度 上爬，轉(zhuǎn)盤不動(dòng)，問當(dāng)猴 B向上爬時(shí)，猴 A將如何動(dòng)？ 動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)） v故系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。 理論力學(xué)電子教程 第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 ??? ziiz JrmrmL ii ??? ?? 22將上式代入動(dòng)量矩定理，得 ? ? ?? Eziz MJdtd ?這就是 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。 在 167。 111推得 即 或 (1114) ?? Eizz MJ ? ?? Eizz MJ ???第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用在剛體上的主動(dòng)力矩 ； 1 2 已知作用在剛體上的主動(dòng)力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。 與 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 的求解類似， 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 也可以解決兩類問題： 第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 將一剛體懸掛于固定軸 O上，使其在重力作用下繞懸掛軸自由擺動(dòng)，這種裝置稱為復(fù)擺（或物理擺），如圖所示。設(shè)復(fù)擺的質(zhì)量為 m， C為其質(zhì)心，復(fù)擺對懸掛軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 JO 。求復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解： 剛體在任一瞬時(shí)的位置可由 與鉛垂線的夾角 表示，設(shè)角 以逆時(shí)針方向?yàn)檎?，則有 OC ??sinOJ m ga????第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 剛體作微幅擺動(dòng)時(shí)，有 ，令 ，上式成為 sin??? 20OmgaJ ??20 0? ? ???sin 0Om gaJ????即 此方程為復(fù)擺作微幅擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，其通解為 0s i n ( )At? ? ???式中的 為振幅， 為初相角，它們都由運(yùn)動(dòng)初條件決定。 復(fù)擺的周期為 A ?02 2 OJTm ga? ????第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 為了測定物體 A對轉(zhuǎn)軸 z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，采用如圖所示的裝置。測得重物 B由靜止下落一段距離 h所需的時(shí)間 τ，試求物體 A對轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 鼓輪 D、 滑輪 C及繩子等的質(zhì)量以及各軸承處的摩擦都忽略不計(jì)，并假定繩子是不可伸長的。鼓輪半徑為 r，重物 B的質(zhì)量為 m。 第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 解 : 將重物 B與物體 A分開考察 作用于重物 Ｂ 的力有：重力 W， W＝ mg；繩子張力 F。作用于物體 Ａ 與鼓輪組成的系統(tǒng)上的力有：繩子張力 F′；物體 Ａ 的重力及 ｚ 軸軸承處的約束力對 ｚ 軸的矩都等于零，故圖上亦未畫出。設(shè)物體 Ａ 的角加速度為 α，物體 Ｂ 下落的加速度為 a，則有 FrrFJ z ????FmgFWma ????第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 上兩式中消去 F，并注意 ，就得到 ar ??gJmrmraz?? 22可見物體 Ｂ 以勻加速下降，于是由勻加速運(yùn)動(dòng)公式可得 22221 ?gJmrmrhz??由此求得 )12(22 ??hgmrJz? 這里求得的是物體 Ａ 和鼓輪 Ｄ 對 ｚ 軸的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。要是鼓輪 Ｄ 的質(zhì)量不能忽略，從上式中減去鼓 Ｄ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，就得到物體 Ａ 對 ｚ 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 已知電機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩 MO 與其角速度 ? 的關(guān)系為 MO = MO1(1? ? /?1)， 其中 MO1 表示電機(jī)的啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩 , ?1表示電機(jī)無負(fù)載時(shí)的空轉(zhuǎn)角速度 ， 且 MO1 和 ?1 都是已知常量 。 又作用在飛輪上的阻力矩 MF 可以認(rèn)為不變 。 電機(jī)軸連同其上的飛輪對軸 O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是 JO。 試求當(dāng) MO MF時(shí)電機(jī)啟動(dòng)后角速度 ? 隨時(shí)間 t 而變化的規(guī)律 。 MF MO ? O O [例 116] 理論力學(xué)電子教程 P Fx Fy Mr MO ? O 解 : 轉(zhuǎn)動(dòng)部分所受的外力矩有電機(jī)轉(zhuǎn)矩 MO 和阻力矩 MF， 故電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可寫成 ?????111F101F)()1(ddOFOOOOMMM