【文章內(nèi)容簡介】 %求方程 f(x)=0的根 G=poly(X) %求多項式 g(x) 第六章 MATLAB數(shù)值計算 ? 數(shù)據(jù)處理與多項式計算 ? 數(shù)值微積分 ? 線性方程組求解 ? 非線性方程與最優(yōu)化問題 ?常微分方程的數(shù)值求解 數(shù)值微積分 第六章 MATLAB數(shù)值計算 在 MATLAB中，沒有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計算向前差分的函數(shù) diff，其調(diào)用格式為： DX=diff(X)：計算向量 X的向前差分，DX(i)=X(i+1)X(i)， i=1,2,…,n 1。 DX=diff(X,n)：計算 X的 n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim)：計算矩陣 A的 n階差分，dim=1時 (缺省狀態(tài) )，按列計算差分； dim=2，按行計算差分。 第六章 MATLAB數(shù)值計算 數(shù)值微分 例 614 生成以向量 V=[1,2,3,4,5,6]為基礎(chǔ)的范得蒙矩陣，按列進(jìn)行差分運算。 命令如下： V=vander(1:6) DV=diff(V) %計算 V的一階差分 第六章 MATLAB數(shù)值計算 求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生 (Simpson) 法、牛頓－柯特斯 (NewtonCotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間 [a,b]分成 n個子區(qū)間 [xi,xi+1]，i=1,2,…,n ，其中 x1=a， xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。 第六章 MATLAB數(shù)值計算 數(shù)值積分 1. 變步長辛普生法 基于變步長辛普生法， MATLAB給出了 quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為： [I,n]=quad(39。fname39。,a,b,tol,trace) 其中 fname是被積函數(shù)名。 a和 b分別是定積分的下限和上限。 tol用來控制積分精度，缺省時取 tol=。 trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非 0則展現(xiàn)積分過程，取 0則不展現(xiàn)，缺省時取 trace=0。返回參數(shù) I即定積分值， n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。 第六章 MATLAB數(shù)值計算 2．牛頓－柯特斯法 基于牛頓－柯特斯法， MATLAB給出了 quad8函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為： [I,n]=quad8(39。fname39。,a,b,tol,trace) 其中參數(shù)的含義和 quad函數(shù)相似，只是 tol的缺省值取 106。 該函數(shù)可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步數(shù)明顯小于quad函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。 第六章 MATLAB數(shù)值計算 例 616 求定積分。 (1) 被積函數(shù)文件 。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x))。 (2) 調(diào)用函數(shù) quad8求定積分。 I=quad8(39。fx39。,0,pi) I = 第六章 MATLAB數(shù)值計算 3．被積函數(shù)由一個表格定義 在 MATLAB中，對由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題用 trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X,Y定義函數(shù)關(guān)系 Y=f(X)。 例 617 用 trapz函數(shù)計算定積分。 命令如下： X=1::。 Y=exp(X)。 %生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量 trapz(X,Y) ans = 第六章 MATLAB數(shù)值計算 4. 二重定積分的數(shù)值求解 使用 MATLAB提供的 dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 該函數(shù)求 f(x,y)在 [a,b] [c,d]區(qū)域上的二重定積分。參數(shù) tol， trace的用法與函數(shù) quad完全相同。 第六章 MATLAB數(shù)值計算 例 618 計算二重定積分 (1) 建立一個函數(shù)文件 ： function f=fxy(x,y) global ki。 ki=ki+1。 %ki用于統(tǒng)計被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù) f=exp(x.^2/2).*sin(x.^2+y)。 (2) 調(diào)用 dblquad函數(shù)求解。 global ki。ki=0。 I=dblquad(39。fxy39。,2,2,1,1) ki I = ki = 1038 第六章 MATLAB數(shù)值計算 ? 數(shù)據(jù)處理與多項式計算 ? 數(shù)值微積分 ? 線性方程組求解 ? 非線性方程與最優(yōu)化問題 ?常微分方程的數(shù)值求解 線性方程組求解 第六章 MATLAB數(shù)值計算 直接解法 1．利用左除運算符的直接解法 對于線性方程組 Ax=b， 可以利用左除運算符“ \”求解： x=A\b 第六章 MATLAB數(shù)值計算 第六章 MATLAB數(shù)值計算 例 619 用直接解法求解下列線性方程組 命令如下： A=[2,1,5,1。1,5,0,7。0,2,1,1。1,6,1,4]。 b=[13,9,6,0]39。 x=A\b ??????????????????????04662975135243214324214321xxxxxxxxxxxxxx第六章 MATLAB數(shù)值計算 2．利用 矩陣的分解 求解線性方程組 矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個矩陣分解成若干個矩陣的乘積。 常見的矩陣分解有 LU分解 、 QR分解 、Cholesky分解 ，以及 Schur分解 、Hessenberg分解 、 奇異分解 等。 第六章 MATLAB數(shù)值計算 (1) LU分解 矩陣的 LU分解就是將一個矩陣表示為一個 下三角矩陣 L和一個上三角矩陣 U的乘積 形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只要方陣 A是非奇異的， LU分解總是可以進(jìn)行的。 MATLAB提供的 lu函數(shù)用于對矩陣進(jìn)行 LU分解，其調(diào)用格式為： [L,U]=lu(A)：產(chǎn)生一個上三角陣 U和一個變換形式的下三角陣 L(行交換 )，使之滿足 A=LU。注意，這里的矩陣 A必須是方陣。 [L,U,P]=lu(A)：產(chǎn)生一個上三角陣 U和一個下三角陣 L以及一個置換矩陣 P，使之滿足 PA=LU。當(dāng)然矩陣 A同樣必須是方陣。 實現(xiàn) LU分解后，線性方程組 Ax=b的解 x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，這樣可以大大提高運算速度。 第六章 MATLAB數(shù)值計算 例 620 用 LU分解求解例 71中的線性方程組。 命令如下： A=[2,1,5,1。1,5,0,7。0,2,1,1。1,6,1,4]。 b=[13,9,6,0]39。 [L,U]=lu(A)。 x=U\(L\b) 或采用 LU分解的第 2種格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A)。 x=U\(L\P*b) 第六章 MATLAB數(shù)值計算 (2) QR分解 對矩陣 A進(jìn)行 QR分解，就是把 A分解為 一個正交矩陣 Q和一個上三角矩陣 R的乘積 形式。 QR分解只能對方陣進(jìn)行。 MATLAB的函數(shù) qr可用于對矩陣進(jìn)行 QR分解，其調(diào)用格式為： [Q,R]=qr(A)：產(chǎn)生一個一個正交矩陣 Q和一個上三角矩陣 R，使之滿足 A=QR。 [Q,R,E]=qr(A)：產(chǎn)生一個一個正交矩陣 Q、一個上三角矩陣 R以及一個置換矩陣 E，使之滿足 AE=QR。 實現(xiàn) QR分解后，線性方程組 Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。 第六章 MATLAB數(shù)值計算 例 621 用 QR分解求解例 71中的線性方程組。 命令如下： A=[2,1,5,1。1,5,0,7。0,2,1,1。1,6,1,4]。 b=[13,9,6,0]39。 [Q,R]=qr(A)。 x=R\(Q\b) 或采用 QR分解的第 2種格式，命令如下： [Q,R,E]=qr(A)。 x=E*(R\(Q\b)) 第六章 MATLAB數(shù)值計算 (