【文章內容簡介】 %求方程 f(x)=0的根 G=poly(X) %求多項式 g(x) 第六章 MATLAB數值計算 ? 數據處理與多項式計算 ? 數值微積分 ? 線性方程組求解 ? 非線性方程與最優(yōu)化問題 ?常微分方程的數值求解 數值微積分 第六章 MATLAB數值計算 在 MATLAB中，沒有直接提供求數值導數的函數，只有計算向前差分的函數 diff，其調用格式為： DX=diff(X)：計算向量 X的向前差分，DX(i)=X(i+1)X(i)， i=1,2,…,n 1。 DX=diff(X,n)：計算 X的 n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim)：計算矩陣 A的 n階差分，dim=1時 (缺省狀態(tài) )，按列計算差分； dim=2，按行計算差分。 第六章 MATLAB數值計算 數值微分 例 614 生成以向量 V=[1,2,3,4,5,6]為基礎的范得蒙矩陣，按列進行差分運算。 命令如下： V=vander(1:6) DV=diff(V) %計算 V的一階差分 第六章 MATLAB數值計算 求解定積分的數值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生 (Simpson) 法、牛頓－柯特斯 (NewtonCotes)法等都是經常采用的方法。它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間 [a,b]分成 n個子區(qū)間 [xi,xi+1]，i=1,2,…,n ，其中 x1=a， xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。 第六章 MATLAB數值計算 數值積分 1. 變步長辛普生法 基于變步長辛普生法， MATLAB給出了 quad函數來求定積分。該函數的調用格式為： [I,n]=quad(39。fname39。,a,b,tol,trace) 其中 fname是被積函數名。 a和 b分別是定積分的下限和上限。 tol用來控制積分精度，缺省時取 tol=。 trace控制是否展現積分過程，若取非 0則展現積分過程，取 0則不展現，缺省時取 trace=0。返回參數 I即定積分值， n為被積函數的調用次數。 第六章 MATLAB數值計算 2．牛頓－柯特斯法 基于牛頓－柯特斯法， MATLAB給出了 quad8函數來求定積分。該函數的調用格式為： [I,n]=quad8(39。fname39。,a,b,tol,trace) 其中參數的含義和 quad函數相似，只是 tol的缺省值取 106。 該函數可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數調用的步數明顯小于quad函數，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。 第六章 MATLAB數值計算 例 616 求定積分。 (1) 被積函數文件 。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x))。 (2) 調用函數 quad8求定積分。 I=quad8(39。fx39。,0,pi) I = 第六章 MATLAB數值計算 3．被積函數由一個表格定義 在 MATLAB中，對由表格形式定義的函數關系的求定積分問題用 trapz(X,Y)函數。其中向量X,Y定義函數關系 Y=f(X)。 例 617 用 trapz函數計算定積分。 命令如下： X=1::。 Y=exp(X)。 %生成函數關系數據向量 trapz(X,Y) ans = 第六章 MATLAB數值計算 4. 二重定積分的數值求解 使用 MATLAB提供的 dblquad函數就可以直接求出上述二重定積分的數值解。該函數的調用格式為： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 該函數求 f(x,y)在 [a,b] [c,d]區(qū)域上的二重定積分。參數 tol， trace的用法與函數 quad完全相同。 第六章 MATLAB數值計算 例 618 計算二重定積分 (1) 建立一個函數文件 ： function f=fxy(x,y) global ki。 ki=ki+1。 %ki用于統(tǒng)計被積函數的調用次數 f=exp(x.^2/2).*sin(x.^2+y)。 (2) 調用 dblquad函數求解。 global ki。ki=0。 I=dblquad(39。fxy39。,2,2,1,1) ki I = ki = 1038 第六章 MATLAB數值計算 ? 數據處理與多項式計算 ? 數值微積分 ? 線性方程組求解 ? 非線性方程與最優(yōu)化問題 ?常微分方程的數值求解 線性方程組求解 第六章 MATLAB數值計算 直接解法 1．利用左除運算符的直接解法 對于線性方程組 Ax=b， 可以利用左除運算符“ \”求解： x=A\b 第六章 MATLAB數值計算 第六章 MATLAB數值計算 例 619 用直接解法求解下列線性方程組 命令如下： A=[2,1,5,1。1,5,0,7。0,2,1,1。1,6,1,4]。 b=[13,9,6,0]39。 x=A\b ??????????????????????04662975135243214324214321xxxxxxxxxxxxxx第六章 MATLAB數值計算 2．利用 矩陣的分解 求解線性方程組 矩陣分解是指根據一定的原理用某種算法將一個矩陣分解成若干個矩陣的乘積。 常見的矩陣分解有 LU分解 、 QR分解 、Cholesky分解 ，以及 Schur分解 、Hessenberg分解 、 奇異分解 等。 第六章 MATLAB數值計算 (1) LU分解 矩陣的 LU分解就是將一個矩陣表示為一個 下三角矩陣 L和一個上三角矩陣 U的乘積 形式。線性代數中已經證明，只要方陣 A是非奇異的， LU分解總是可以進行的。 MATLAB提供的 lu函數用于對矩陣進行 LU分解，其調用格式為： [L,U]=lu(A)：產生一個上三角陣 U和一個變換形式的下三角陣 L(行交換 )，使之滿足 A=LU。注意，這里的矩陣 A必須是方陣。 [L,U,P]=lu(A)：產生一個上三角陣 U和一個下三角陣 L以及一個置換矩陣 P，使之滿足 PA=LU。當然矩陣 A同樣必須是方陣。 實現 LU分解后，線性方程組 Ax=b的解 x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，這樣可以大大提高運算速度。 第六章 MATLAB數值計算 例 620 用 LU分解求解例 71中的線性方程組。 命令如下： A=[2,1,5,1。1,5,0,7。0,2,1,1。1,6,1,4]。 b=[13,9,6,0]39。 [L,U]=lu(A)。 x=U\(L\b) 或采用 LU分解的第 2種格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A)。 x=U\(L\P*b) 第六章 MATLAB數值計算 (2) QR分解 對矩陣 A進行 QR分解，就是把 A分解為 一個正交矩陣 Q和一個上三角矩陣 R的乘積 形式。 QR分解只能對方陣進行。 MATLAB的函數 qr可用于對矩陣進行 QR分解，其調用格式為： [Q,R]=qr(A)：產生一個一個正交矩陣 Q和一個上三角矩陣 R，使之滿足 A=QR。 [Q,R,E]=qr(A)：產生一個一個正交矩陣 Q、一個上三角矩陣 R以及一個置換矩陣 E，使之滿足 AE=QR。 實現 QR分解后，線性方程組 Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。 第六章 MATLAB數值計算 例 621 用 QR分解求解例 71中的線性方程組。 命令如下： A=[2,1,5,1。1,5,0,7。0,2,1,1。1,6,1,4]。 b=[13,9,6,0]39。 [Q,R]=qr(A)。 x=R\(Q\b) 或采用 QR分解的第 2種格式，命令如下： [Q,R,E]=qr(A)。 x=E*(R\(Q\b)) 第六章 MATLAB數值計算 (