【文章內容簡介】 ???????? ? ?????? ? ??????? ???????KKKK K K KKKK 根據單元剛度矩陣的性質 ， 可知 ， 若 3單元 5,3,2， 則 整體剛度矩陣中的各子塊是對所有單元相應的子塊求和得到的 （ 實際只是對相關單元求和 ） ， 其中各子塊矩陣均為 2行 2列 ， 整體剛度矩陣用子塊矩陣可以表示為 ( 2 ) ( 1 ) ( 4 )?K K = K( 2 ) ( 3 )?KK xy1 a 2 3 a 5 6 4 ① ② ③ ④ a a 2021/11/12 18 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 62 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 63 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 64 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 65 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 66 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6????????????K K K K K KK K K K K KK K K K K KK=K K K K K KK K K K K KK K K K K K上式中任意一子塊矩陣均為 2行 2列 ， 在計算過程中 ， 無需將每個單元剛度矩陣進行擴大 ， 只需判斷整體剛度矩陣子塊的下標 ， 然后利用組裝整體剛度矩陣的一般規(guī)則進行計算 ， 如 ， 由圖形可知 ， 節(jié)點 2由單元 ① 、 ② 和 ③ 所共有 ， 則 22K( 1 ) ( 2 ) ( 3 )2 2 2 2 2 2 2 2??K K K + K xy1 a 2 3 a 5 6 4 ① ② ③ ④ a a 2021/11/12 19 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 25K( 2 ) ( 3 )25 25 25??K K K，由圖形可知， 25邊為單元②和③的共用邊，則 15K15 0?K，由圖形可知，節(jié)點 5不同屬于任何單元，則 采用同樣的方法進行計算，得到整體剛度矩陣為 xy1 a 2 3 a 5 6 4 ① ② ③ ④ a a 2021/11/12 20 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 00 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 01 0 6 1 4 1 1 1 0 1 0 01 2 1 6 1 2 0 2 1 0 0 00 0 4 1 6 1 0 0 2 1 0 11 0 1 2 1 6 0 0 1 4 0 00 0 1 0 0 0 3 1 2 1 0 040 0 1 2 0 0 1 3 0 1 0 00 0 0 1 2 1 2 0 6 1 2 10 0 1 0 1 4 1 1 1 6 0 10 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 00 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1Et??????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?????K??????????????????? xy1 a 2 3 a 5 6 4 ① ② ③ ④ a a 2021/11/12 21 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 MATHCAD例子 oxy① ② ③ ④ 3 2 4 5 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )1 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 4( 1 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 3 )2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 5( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 4 )3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 4 3 5 3 5( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 4 )4 1 4 3 4 3 4 4 4 4 4 552????? ? ? ? ? ? ???0000K K K K K KK K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K KK( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 4 )5 3 5 3 5 4 5 5 5 5???????? K K K K K 公共郵箱： 密碼： cumt 作業(yè)： 采用 MATHCAD求解 如圖所示有限元模型，彈性模量為 ，厚度為 ，為簡化計算取 ， E=1， t=1 ，求整體剛度矩陣。 t 0??E2021/11/12 24 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 每個班由負責人壓縮成一個壓縮包后發(fā)到 每個人提交的文件名為： 班級 姓名 序號（ 1） 比如： 機自 10（ 1）班 某某 12（ 1） 4. 是奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣 K3. 是稀疏矩陣，非零元素呈帶狀分布 K 用有限元方法分析復雜工程問題時 ， 節(jié)點的數(shù)目比較多 ，整體剛度矩陣的階數(shù)通常也是很高的 。 那么在進行計算時 ，如果存儲整體剛度矩陣的全部元素 ， 將會 浪費較大的資源 、降低計算效率 。 如果根據整體剛度矩陣的特點進行編寫程序 ，可以大大節(jié)省資源 、 并提高計算效率 。 因此有必要 了解和掌握整體剛度矩陣的特點 ， 整體剛度矩陣具有以下幾個顯著的特點： 1. 是對稱矩陣 K2. 中主對角元素總是正的 K2021/11/12 25 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣的特點 1. 是對稱矩陣 K 由單元剛度矩陣的對稱性和整體剛度矩陣的組裝過程 ，可知整體剛度矩陣必為對稱矩陣 。 利用對稱性 ， 在計算機編寫程序時 ， 只存儲整體剛度矩陣上三角或下三角部分即可 。 2. 中主對角元素總是正的 K 例如 ， 剛度矩陣 中的元素 表示節(jié)點 2在 x方向產生單位位移 ， 而其它位移均為零時 ， 在節(jié)點 2的 x方向上必須施加的力 ； 表示節(jié)點 2在 y方向產生單位位移 ， 而其它位移均為零時 ， 在節(jié)點 2的 y方向上必須施加的力 。 很顯然在此情況下力的方向應該與位移方向一致 ， 故應為正號 。 K 33K44K2021/11/12 26 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣的特點 3. 是稀疏矩陣，非零元素呈帶狀分布 K 如果遵守一定的節(jié)點編號規(guī)則 ， 就可使矩陣的非零元素都集中在主對角線附近呈帶狀 。 整體剛度矩陣中的子矩陣 只有當下標 s等于 r或者 s與 r同屬于一個單元時才不為零 ， 這就說明 ， 在第 r雙行中非零子矩陣的塊數(shù) ， 應該等于節(jié)點 r周圍直接相鄰的節(jié)點數(shù)目加 1。 可見 ， 中元素一般都不是填滿的 ， 是稀疏矩陣 ， 且非零元素呈帶狀分布 。 rsKK 以下圖所示的單元網格為例，其整體剛度矩陣中的非零子塊（每個子塊為 2行 2列）的分布情況如下圖所示，圖中陰影部分表示該子塊不為零，其它子塊部位均為零。 2021/11/12 27 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣的特點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10