山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室(編輯修改稿)
2024-11-16 18:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1）當(dāng) x→∞ 時(shí)，函數(shù)的極限 ? 描述定義：如果 |x|無限增大時(shí)，函數(shù) f(x)總能與某常數(shù) A無限接近，則稱常數(shù) A是 x趨于無窮時(shí)，函數(shù) f(x)的極限 . Axfx ??? )(lim? 精確定義：設(shè)函數(shù) y=f(x)，若對(duì)任意給定正數(shù) ε0，總存在正數(shù) X，當(dāng) |x|X時(shí)，恒有 |f(x)A|ε，則稱常數(shù) A是 x趨于無窮時(shí)函數(shù) f(x)的極限。 ?幾何解釋： 的意義是對(duì)任意給定正數(shù) ε0，總存在正數(shù) X，當(dāng) |x|X時(shí)，函數(shù) f(x)的圖形位于直線 y=A－ ε和y=A+ε 所夾的橫條區(qū)域內(nèi)。 Axfx ??? )(lim?類似可定義： AxfAxf xx ?? ?????? )(lim,)(lim?三者關(guān)系： AxfxfAxf xxx ???? ???????? )(lim)(lim)(lim2） x→x 0時(shí)，函數(shù) f(x)的極限 ?三者關(guān)系：函數(shù) f(x)當(dāng) x→ x0時(shí)極限存在的充分必要條件是 f(x)在 x0點(diǎn)的左極限，右極限分別存在且相等。 ?定義 1：設(shè)函數(shù) y=f(x)在 x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ε（不論它多么?。?，總存在正數(shù) δ，使得當(dāng)0|xx0|δ時(shí)，總有 |f(x)A|ε恒成立，則稱常數(shù) A為函數(shù) y=f(x)在 x→ x0時(shí)的極限，記為 或 Axfxx ?? )(lim0)()( 0xxAxf ???定義 2： ，只需把 0|xx0|δ改為 Axfxx ??? )(lim000 xxx ??? ??定義 3： ，只需把 0|xx0|δ改為 Axfxx ??? )(lim0???? 00 xxx (左極限） (右極限） 例 1：求 當(dāng) x→0 時(shí)左、右極限，并說明當(dāng) x→0 時(shí)的極限是否存在 xxxf ||)( ?例 2：討論函數(shù) 當(dāng) x→1 ， x→2 時(shí)的極限是否存在 ????????????xxxxxxf21211210)(2第四節(jié) 無窮小量與無窮大量 一、無窮小量 二、無窮大量 三、無窮小的性質(zhì) 四、無窮小與無窮大的關(guān)系 五、無窮小的比較 第四節(jié) 無窮小量與無窮大量 一、無窮小量 ?定義：如果函數(shù) f(x)當(dāng) x→ x0（或 x→∞ )時(shí)極限為零，則稱函數(shù) f(x)為 x→ x0（或 x→∞) 時(shí)的無窮小量，簡(jiǎn)稱為無窮小。即 0)(lim0?? xfxx 0)(lim ??? xfx?注 ：（ 1） 無窮小量是一個(gè)變量，并非常數(shù)。常函數(shù)中只有 y=0可以看作無窮小量。 （ 2）說一個(gè)變量是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢(shì)。 二、無窮大量 ?定義：如果當(dāng) x→ x0（或 x→∞ )時(shí)函數(shù) f(x)的絕對(duì)值無限增大 ，則稱函數(shù) f(x)為 x→ x0（或 x→∞) 時(shí)的無窮大量，簡(jiǎn)稱為無窮大。可記為 或 ??? )(l i m0xfxx???? )(lim xfx?注 ：（ 1） 無窮大量是一個(gè)變量，不能把絕對(duì)值很大的數(shù)與無窮大混為一談。 （ 2）說一個(gè)變量是無窮大，必須指明自變量的變化趨勢(shì)。 （ 3）在自變量的某種變化趨勢(shì)下，如果f(x)取值無限增大， 絕對(duì)值無限增大，則可稱函數(shù)為正無窮大；若 f(x)取值無限減小， 絕對(duì)值無限增大， 則可稱函數(shù)為負(fù)無窮大。分別記為 ??????)(lim)( 0xfx xx??????)(lim)( 0xfx xx三、無窮小的性質(zhì) ?在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下性質(zhì) （ 1）有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小 （ 2）有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小。 （ 3）有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。 注：如果將性質(zhì)中的有限個(gè)無窮小換為無限個(gè)無窮小，則結(jié)論不一定成立。如 01)111(lim ?????? ?? ??? ????個(gè)nn nnn01s inlim 0 ?? xxx 0c o s1l im ??? xxx?函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系 定理：在自變量的同一變化過程 x→ x0（或 x→∞) 中，具有極限的函數(shù)等于它的極限與一個(gè)無窮小之和；反之，如果函數(shù)可以表示為常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是這個(gè)函數(shù)的極限。 關(guān)于性質(zhì)（３）的應(yīng)用 四、無窮大與無窮小的關(guān)系 在自變量的同一變化過程中，如果 f(x)為無窮大，則 為無窮小。反之 f(x)如果為無窮小，且不為零則 為無窮大。 )(1xf)(1xf如若 f(x)－ 5是 x→ 3時(shí)的無窮小，則 ；反 之， ，則 f(x)－ 5一定
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