山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室(文件)
【正文】 大的數(shù)與無(wú)窮大混為一談。即 0)(lim0?? xfxx 0)(lim ??? xfx?注 ：（ 1） 無(wú)窮小量是一個(gè)變量，并非常數(shù)。根據(jù)自變量的變化過(guò)程，可分以下兩種情形： 1）當(dāng) x→∞ 時(shí)，函數(shù)的極限 ? 描述定義：如果 |x|無(wú)限增大時(shí)，函數(shù) f(x)總能與某常數(shù) A無(wú)限接近，則稱常數(shù) A是 x趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù) f(x)的極限 . Axfx ??? )(lim? 精確定義：設(shè)函數(shù) y=f(x)，若對(duì)任意給定正數(shù) ε0，總存在正數(shù) X，當(dāng) |x|X時(shí)，恒有 |f(x)A|ε，則稱常數(shù) A是 x趨于無(wú)窮時(shí)函數(shù) f(x)的極限。天下篇 》 ：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。 （ 3）盡可能確定函數(shù)定義域。 四、初等函數(shù) ?定義：由基本初等函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟構(gòu)成，并且可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。 22 1,2:8 uyxu ????例的定義域求的定義域設(shè)例 )(],1,0[)(:9 2xfDxf ??定義 設(shè) y是 u的函數(shù) y=f(u) ， u是 x的函數(shù) u=g(x) ，且 g(x)的函數(shù)值的全體或部分在 f(u)的定義域內(nèi)，那么 y也是 x的函數(shù)，記作y=f[g(x)] 。 例 1： y=x2(x0)； y=x2(x任意） ?確定反函數(shù)的步驟 ： （ 1）從 函數(shù) y=f(x) 中解出 x，得到 x=g(y) （ 2）互換變量 x與 y， 得到反函數(shù)為 y=g(x) 例 3 求函數(shù) 的反函數(shù) ????????????????xxxxxyx 424112例 2 求下列函數(shù)的反函數(shù) （ 1） (2) 12???xy1??xy112???xxy 1?? xy二、 基本初等函數(shù)（略） 三、復(fù)合函數(shù) ?引例 某汽車每公里耗油量為 /公里，速度為 60公里 /小時(shí)，求耗油量與時(shí)間的關(guān)系。 一、 反函數(shù) ?互為反函數(shù)特點(diǎn) ： （ 1） 函數(shù) y=f(x) 與其反函數(shù) x=g(y)的定義域與值域正好調(diào)換。 注：（ 1）函數(shù)是否有界除與函數(shù)本身有關(guān)外，還與討論區(qū)間有關(guān)。 分類： ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ????????????????????????????????????????小于等于b 的一切實(shí)數(shù)：b,小于b 的一切實(shí)數(shù) ：b,大于等于a 的一切實(shí)數(shù) ：a,：大于a 的一切實(shí)數(shù)a,全體實(shí)數(shù) ：,無(wú)限區(qū)間ba,或ba,如點(diǎn)半開區(qū)間：包括一個(gè)端ba,如 ba,閉區(qū)間：包括兩個(gè)端點(diǎn)ba,如 b點(diǎn)a ,開區(qū)間：不包括兩個(gè)端有限區(qū)間一、區(qū)間與鄰域 定義 : 以點(diǎn) a 為中心的任何開區(qū)間稱為 點(diǎn) a 的鄰域 , 記作 )( aU . ??a ??a定義 : 點(diǎn) a 的 δ 鄰域去掉中心 a 后 , 稱為點(diǎn) a 的去心 δ 鄰域 , 記作 ) ,( ?aUo, 即 }.||0|{) ,( ?? ???? axxaUo ? 鄰域 a 定義 : 設(shè) δ 是一個(gè)正數(shù) , 則開區(qū)間 ) ,( ?? ?? aa 就是點(diǎn) a 的一個(gè)鄰域 , 稱為 點(diǎn) a 的 δ 鄰域 , 記作 ) ,( ?aU , 即}|{) ,( ??? ????? axaxaU . 點(diǎn) a 稱為這鄰域的中心 , δ 稱為這鄰域的半徑 . ? 確定函數(shù)的兩個(gè)主要因素： D和 f ? 兩個(gè)函數(shù)相同的條件 例 1 判斷下列函數(shù)是否相同 xxxfxf xxfxxf 222 c o ss i n)(1)( lg2)(lg)( ??? ?? 和 和))((:32)( 2 xffxxxf 求???)(:)10(t a n2c o s)( s i n 22 xfxxxxf 求?????f 的真實(shí)含義 (對(duì)應(yīng)法則 —— 對(duì) x的一種作用） 例 2 例 3 ? 分段函數(shù)：（ D和 f ） ? ??????????????0,10,00,1s g nxxxxyxyxy 和二、函數(shù)概念 三、函數(shù)的特性 注 ：（１）函數(shù)單調(diào)性是一條與區(qū)間有關(guān)的性質(zhì)． （２）單調(diào)增加函數(shù)圖形特點(diǎn)是曲線自左向右逐漸上升， 單調(diào)減少函數(shù)圖形特點(diǎn)是曲線自左向右逐漸下降 ． 注 ：（ 1）函數(shù)具有奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。這兩個(gè)實(shí)數(shù)又稱為區(qū)間的端點(diǎn)，例如：設(shè) a、b都是實(shí)數(shù)，且 ab,數(shù)集 {x｜ axb}稱為開區(qū)間，記作（ a、 b），同理有閉區(qū)間，半開區(qū)間，有限區(qū)間和無(wú)限區(qū)間。 注 ：（ 1）周期函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ?∞，＋ ∞） （ 2）周期函數(shù)圖形每間隔周期 T將重復(fù)
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