[理學][課件]概率與統(tǒng)計43協(xié)方差相關(guān)系數(shù)與矩(編輯修改稿)
2024-11-15 00:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 E{[X－ E(X)]k} k=1,2,3….. 為 X的 k 階中心矩 . 相關(guān)系數(shù)與矩 電子科技大學 稱 ?k =E[|X－ E(X)|k] k=1,2,3….. 為 X 的 k 階絕對中心矩 . 其中 D(X)=E{[X－ E(X)]2}=E(X2) － [E(X)]2 注意到 μ2=D(X), γ1=E(X), γ2=E(X2) }]){ [ (})]()({[)(11kkkkXEXEXEXEXEggg???????22 2 1m g g??更一般的 , 因 μ1=0, 可得 的關(guān)系：與kk mg 相關(guān)系數(shù)與矩 電子科技大學 ?????kiikiik XEC01 ])[( gg????kiikiikC0mg數(shù)學期望線性性質(zhì) ? ???????kikikikikk C011 ggm同理隨機變量的矩是數(shù)！！！ 相關(guān)系數(shù)與矩 電子科技大學 例 (X,Y)在以原點為圓心的單位圓內(nèi)服從均勻分布 ????? ??? ?.,0。1,1),( 22其它yxyxf求 Cov(X, Y) . 解 因 211( ) ( )210,XE X x f x d xxxdx????????????同理有 ( ) 0 ,EY ? 相關(guān)系數(shù)與矩 電子科技大學 12 3001 s i n c o sr d d r? ? ? ??? ??? 故 Cov(X, Y)=E (XY)－ E (X) E(Y) = E (XY） ?????122 yxd xd yxy?0.? 相關(guān)系數(shù)與矩 電子科技大學 例 設(shè)隨機變量 相互獨立同 分布，且其方差為 ，令 )1(, 21 ?nXXX n?02 ?????niiXnY11計算協(xié)方差 ).,( 1 YXC o v解 相互獨立，故，因nXXX ?21),3,2(,0)()()(),( 111 niXEXEXXEXXC o v iii ????? 相關(guān)系數(shù)與矩 電子科技大學 ),(1),(111 ???niiXXC o vnYXC o v????niiXXC o vnXXC o vn2111 ),(1),(1.)(121 nXDn???? 相關(guān)系數(shù)與矩 電子科技大學 1） |? |?1 ),c o v (2)()()(0 ?????? ????? YXYDXDYXD證明：XY??? 22 )1(2 XY???,01 ???? XY .1??? XY定理證明 2） |ρ|＝ 1 X與 Y依概率為 1 線性相關(guān)，即 .1}{),0(, ?????????? XYP使 相關(guān)系數(shù)與矩 電子科技大學 必要性證明： ?）有時由 11???.0)( ** ?? YXE ,0)( ?? ?? YXD）得由方差的性質(zhì) 4,1)}({ ???? ???? YXEYXP.1)()()()()()(?????????????? YEXEXDYDXXDYDYP －,1}0{ ??? ?? YXP即.1 同理可證對 ??或者 相關(guān)系數(shù)與矩 電子科技大學 充分性 ?,1}{ ??? ?? XYP若,)()( ?? ?? XEYE ),()( 2 XDYD ??)]}()][({[),( YEYXEXEYXCo v ???)]}()][({[ ????????? XEXXEXE).( XD??.1)()(),c o v (2???????YDXDYXXY?
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