江蘇夏令營(yíng)-初等數(shù)論(編輯修改稿)
2024-11-14 16:50 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ≤r＜ b， 且 q和 r由上述條件惟一確定 。 若 r＝ 0，則稱 b | a。 ⑵ 部分性質(zhì) ： ① 若 c | b， b | a， 則 c | a ② 若 c | a， d | b， 則 cd | ab ③ 若 ma | mb， 則 a | b ④ 若 a＞ 0， b＞ 0， b | a， 則 b≤a ⑤ 任意 n個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積必能被 n！ 整除 。 ⑶ 當(dāng)（ a， b）＝ 1時(shí)，稱 a、 b互素（互質(zhì)） 。有： 若另上條件 （ a， p） ＝ 1， 則 p|a p－ 1－ 1 ① 已知（ a， c）＝ 1，若 a | bc，則 a | b；若 a | b，c | b，則 ac | b ② p為質(zhì)數(shù)，若 p | ab，則 p | a或 p | b ③ [a， b]（ a， b）＝ ab ④ （ a， b）＝（ a， b－ ac）＝（ a－ bc， b） ⑤ （裴蜀定理）存在整數(shù) x、 y，使 ax＋ by＝（ a， b） ⑥ m（ a， b）＝（ ma， mb） ⑦ 若（ a， b）＝ d，則（ ）＝ 1 dbda ,⑧ 若 a | m， b | m，則 [a， b] | m ⑨ 費(fèi)爾馬小定理： p是素?cái)?shù)，則 p|a p－ a 定理：在 n4k＋ r（ k， r為非負(fù)整數(shù)）中， 0≤r＜ 4，則當(dāng) r＝ 0（ k≠0）時(shí)， n4k＋ r的個(gè)位數(shù)字與 n4的個(gè)位數(shù)字相同；當(dāng) r≠0時(shí)， n4k＋ r的個(gè)位數(shù)字與 nr的個(gè)位數(shù)字相同。 ① 個(gè)位數(shù)字只能是： 0， 1， 4， 5， 6， 9 ② 末兩位數(shù)字不可能同時(shí)為奇數(shù) 。 ③ 偶數(shù)的平方是偶數(shù) ， 且被 4整除；奇數(shù)的平方是奇數(shù) ， 且被 4除余 1。 ④在 n2與（ n＋ 1） 2之間不存在平方數(shù)。 ⑷ 個(gè)位數(shù) ⑸ 平方數(shù)性質(zhì)： 求所有的正整數(shù) n，使 n能被所有不大于 的正整數(shù)整除。 n得 k＝ 3或 4或 5 ∴ n＜ 36。 解：設(shè) k2≤n＜ (k＋ 1)2,當(dāng) k≥3時(shí) ,1|n,2|n,… ,k|n ∵ (k－ 2， k－ 1)＝ 1， (k－ 1， k)＝ 1， (k－ 2， k)≤2， 即 k3―5 k2―2 k―2 ＜ 0， (k2－ 2)(k－ 5)＜ 12， 綜上，本題的解為 1,2,3,4,6,8,12,24 當(dāng) 1≤n＜ 4時(shí)，有 1|n， n＝ 1,2,3都滿足條件 當(dāng) 4≤n＜ 9時(shí)，有 1|n， 2|n， n＝ 4,6,8都滿足條件 當(dāng) 9≤n＜ 16時(shí)，有 1|n， 2|n， 3|n， ∴ n＝ 12 同理，當(dāng) 16≤n＜ 25時(shí)， n＝ 24， 當(dāng) 25≤n＜ 36時(shí)，無(wú) n滿足條件 故 k(k－ 1)(k－ 2)≤n＜ (k＋ 1)2 21∴ k(k－ 1)(k－ 2)|n， 21 已知 2021|[ ]＋ 1(a∈ N) ，求 a的值。 a22021解：當(dāng) a＝ 2021時(shí)， ＝ 2021＋ ， a2202120211∴ [ ]＋ 1＝ 2021，成立 a22021當(dāng) a≥ 2021時(shí)， ≤ a22021202120212 ＝ 2021－ 20212021 ＜ 2021 ∴ [ ]＋ 1 ≤ 2021 a22021故 2021|[ ]＋ 1不成立 a22021∴ a＝ 2021 當(dāng) a≤2021時(shí)，設(shè) [ ]＋ 1＝ 2021k， a22021則 [ ]＝ 2021k－ 1， a
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