江蘇夏令營-初等數論(已修改)
2024-10-30 16:50 本頁面
【正文】 初等數論（一） 江蘇省南菁高級中學 夏建新 2021年江蘇省高中數學奧林匹克夏令營 一、奇偶性分析 ⑴ 奇數 177。 奇數＝偶數；偶數 177。 偶數＝偶數；奇數 奇數＝奇數； …… ⑵ 奇數的平方都可表示為 8m＋ 1形式；偶數的平方都可表為 8m或 8m＋ 4的形式 ⑶ 任何一個正整數 n， 都可以寫成 n＝ 2ml的形式 ，其中 m為非負整數 ， l為奇數 。 將全體整數分成兩類，凡是 2的倍數稱為偶數，否則稱為奇數。有如下性質： 這些性質既簡單又明顯，然而它卻能解決數學競賽中的一些難題。 在一條直線上相鄰兩點的距離都等于 1的 4個點上各有一只青蛙，允許任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只為中心跳到其對稱點上。證明：無論跳動多少次后，四只青蛙所在的點中相鄰兩點之間的距離不能都等于2021。（ 2021年西部奧林匹克） 如果若干次跳動后 ， 青蛙所在位置中每相鄰兩只之間的距離都是 2021， 則要求它們處于具有相同奇偶性的位置上 ， 不可能 。 證明：將青蛙放在數軸上討論。 不妨設最初四只青蛙所在的位置為 4。 注意到，處于奇數位置上的青蛙每次跳動后仍處于奇數位置上，處于偶數位置上的青蛙每次跳動后仍處于偶數位置上。 因此，任意多次跳動后，四只青蛙中總有兩只處于奇數位置上，另兩只處于偶數位置上。 如果可以將正整數 1 , 2 , 3 ,… ,n填在圓周上，使得依順時針方向任何兩個相鄰的數之和，都能夠被它們的下一個數整除。求 n的所有可能值。（ 1999年環(huán)球城市競賽） 解：考慮 n ≥ 3情形 當 n≥ 3時，如果圓周上有二個連續(xù)偶數，則造成這個圓周上的每一個整數都是偶數 (不合 )。 所以 n最多是 3， 1, 2, 3這個數任意排在圓周上都可以，所以 n＝ 3。 因為圓周上必有一個整數是偶數，而它的逆時針方向的下二個數及順時針方向的下個數，都必須是奇數。 由于 1～ n中，奇數的個數最多比偶數的個數多 1個，所以圓周上最多只有一個偶數，這樣奇數有 2個， 已知 t 為正整數，若 2t可以表示成 ab177。 1(其中 a, b 是大于 1 的整數 )，請找出滿足上述條件所有可能的 t 值。（ 2021年青少年數學國際城市邀請賽） 解：設正整數 t，使得 2t＝ ab177。 1，顯然 a為奇數。 (1) 若 b為奇數，則 2t＝ (a177。 1)(ab－ 1 ab－ 2 … a＋ 1) ? ? ?由于 a， b均為奇數，而奇數個奇數相加或相減的結果一定是奇數，所以 ab－ 1 ab－ 2 … a＋ 1也是奇數， ? ? ?得知 2t ＝ ab177。 1＝ a177。 1，故 b = 1， 這與 b≥ 2矛盾。 從而只可能 ab－ 1 ab－ 2 … a＋ 1＝ 1， ? ? ?綜上可知 ， 滿足題設的 2 的正整數次冪是 23， 即t＝ 3。 (2) 若 b為偶數，令 b＝ 2m， 則 ab≡1(mod 4)。 若 2t = ab +1， 則 2t = ab +1≡2(mod 4)， 從而 t=1，故 ab = 21－ 1 = 1，矛盾。 若 2t = ab－ 1= (am－ 1)(am +1)， 兩個連續(xù)偶數之乘積為 2的方冪只能是 am－ 1=2，am+1=4， 從而 a＝ 3， b＝ 2m＝ 2。 2t = ab－ 1 = 32－ 1 = 8。 二、質數與合數 大于 1的整數按它具有因數的情況又可分為質數與合數兩類。 即對任一整數 a＞ 1， 有 a＝ ， 其中p1＜ p2＜ … ＜ pn均
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1