江蘇夏令營(yíng)-初等數(shù)論(已修改)
2025-10-25 16:50 本頁(yè)面
【正文】 初等數(shù)論（一） 江蘇省南菁高級(jí)中學(xué) 夏建新 2021年江蘇省高中數(shù)學(xué)奧林匹克夏令營(yíng) 一、奇偶性分析 ⑴ 奇數(shù) 177。 奇數(shù)＝偶數(shù)；偶數(shù) 177。 偶數(shù)＝偶數(shù)；奇數(shù) 奇數(shù)＝奇數(shù)； …… ⑵ 奇數(shù)的平方都可表示為 8m＋ 1形式；偶數(shù)的平方都可表為 8m或 8m＋ 4的形式 ⑶ 任何一個(gè)正整數(shù) n， 都可以寫(xiě)成 n＝ 2ml的形式 ，其中 m為非負(fù)整數(shù) ， l為奇數(shù) 。 將全體整數(shù)分成兩類，凡是 2的倍數(shù)稱為偶數(shù)，否則稱為奇數(shù)。有如下性質(zhì)： 這些性質(zhì)既簡(jiǎn)單又明顯，然而它卻能解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一些難題。 在一條直線上相鄰兩點(diǎn)的距離都等于 1的 4個(gè)點(diǎn)上各有一只青蛙，允許任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只為中心跳到其對(duì)稱點(diǎn)上。證明：無(wú)論跳動(dòng)多少次后，四只青蛙所在的點(diǎn)中相鄰兩點(diǎn)之間的距離不能都等于2021。（ 2021年西部奧林匹克） 如果若干次跳動(dòng)后 ， 青蛙所在位置中每相鄰兩只之間的距離都是 2021， 則要求它們處于具有相同奇偶性的位置上 ， 不可能 。 證明：將青蛙放在數(shù)軸上討論。 不妨設(shè)最初四只青蛙所在的位置為 4。 注意到，處于奇數(shù)位置上的青蛙每次跳動(dòng)后仍處于奇數(shù)位置上，處于偶數(shù)位置上的青蛙每次跳動(dòng)后仍處于偶數(shù)位置上。 因此，任意多次跳動(dòng)后，四只青蛙中總有兩只處于奇數(shù)位置上，另兩只處于偶數(shù)位置上。 如果可以將正整數(shù) 1 , 2 , 3 ,… ,n填在圓周上，使得依順時(shí)針?lè)较蛉魏蝺蓚€(gè)相鄰的數(shù)之和，都能夠被它們的下一個(gè)數(shù)整除。求 n的所有可能值。（ 1999年環(huán)球城市競(jìng)賽） 解：考慮 n ≥ 3情形 當(dāng) n≥ 3時(shí)，如果圓周上有二個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則造成這個(gè)圓周上的每一個(gè)整數(shù)都是偶數(shù) (不合 )。 所以 n最多是 3， 1, 2, 3這個(gè)數(shù)任意排在圓周上都可以，所以 n＝ 3。 因?yàn)閳A周上必有一個(gè)整數(shù)是偶數(shù)，而它的逆時(shí)針?lè)较虻南露€(gè)數(shù)及順時(shí)針?lè)较虻南聜€(gè)數(shù)，都必須是奇數(shù)。 由于 1～ n中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)最多比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多 1個(gè)，所以圓周上最多只有一個(gè)偶數(shù)，這樣奇數(shù)有 2個(gè)， 已知 t 為正整數(shù)，若 2t可以表示成 ab177。 1(其中 a, b 是大于 1 的整數(shù) )，請(qǐng)找出滿足上述條件所有可能的 t 值。（ 2021年青少年數(shù)學(xué)國(guó)際城市邀請(qǐng)賽） 解：設(shè)正整數(shù) t，使得 2t＝ ab177。 1，顯然 a為奇數(shù)。 (1) 若 b為奇數(shù)，則 2t＝ (a177。 1)(ab－ 1 ab－ 2 … a＋ 1) ? ? ?由于 a， b均為奇數(shù)，而奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加或相減的結(jié)果一定是奇數(shù)，所以 ab－ 1 ab－ 2 … a＋ 1也是奇數(shù)， ? ? ?得知 2t ＝ ab177。 1＝ a177。 1，故 b = 1， 這與 b≥ 2矛盾。 從而只可能 ab－ 1 ab－ 2 … a＋ 1＝ 1， ? ? ?綜上可知 ， 滿足題設(shè)的 2 的正整數(shù)次冪是 23， 即t＝ 3。 (2) 若 b為偶數(shù)，令 b＝ 2m， 則 ab≡1(mod 4)。 若 2t = ab +1， 則 2t = ab +1≡2(mod 4)， 從而 t=1，故 ab = 21－ 1 = 1，矛盾。 若 2t = ab－ 1= (am－ 1)(am +1)， 兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)之乘積為 2的方冪只能是 am－ 1=2，am+1=4， 從而 a＝ 3， b＝ 2m＝ 2。 2t = ab－ 1 = 32－ 1 = 8。 二、質(zhì)數(shù)與合數(shù) 大于 1的整數(shù)按它具有因數(shù)的情況又可分為質(zhì)數(shù)與合數(shù)兩類。 即對(duì)任一整數(shù) a＞ 1， 有 a＝ ， 其中p1＜ p2＜ … ＜ pn均
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