【文章內(nèi)容簡介】 –2E?n? + ?2= Var(?n) + (E?n)2 –2E?n? + ?2 其中， Var(?n)是隨機變量 ?n的方差 ， ?n是 ?的無偏估計。因此當(dāng) ?n是 ?的無偏估計時，樣本統(tǒng)計量與總體的要估計的量之間的誤差可用樣本統(tǒng)計量 ?n的方差進行估計。 2021/11/10 營銷研究 4 35 樣本及總體平均值、方差公式 樣本方差 s2= ? (xi– xn)2 1 n 1 n–1 1 N N 1 N N 1 N–1 1 記為： var，標(biāo)準(zhǔn)差為： stdev 記為： varp，標(biāo)準(zhǔn)差為： stdevp 樣本平均值 xn = (x1 + x2 +……+ x n )= ? xi 1 n 樣本方差 s2= ( (x1 – xn)2+ (x2– xn)2 + ……+ (x n – xn)2 ) 1 n = ? (xi– xn)2 1 n 總體平均值 X= (X1 + X2 +……+X n )= ? X i 1 總體方差 S2= ( (X1 – X)2+ (X2– X)2 + ……+ (X n – X)2 ) = ? (Xi– X)2 總體方差 S2= ? (Xi– X)2 2021/11/10 營銷研究 4 36 樣本平均值與總體平均值的估計 簡單隨機抽樣，樣本平均值是總體平均值的無偏估計。即： E( xn )= X，因為 E( xn )= 1 N n ? 1 n (Xi1 + Xi2 +…+ X in ) 這里， ?表示對（ 1， 2， …… ， N）中所有組合（ i1 ， i2 ， …… ， in ）求和。 對于 (X1 、 X … 、 Xn)中的每個元素，比如 X1 ，它與其它元素構(gòu)成樣本的可能次數(shù)為 。因此： N1 n1 E( xn )= N n ? 1 n Xi= N1 n1 i=1 N N 1 i=1 N ? Xi = X 2021/11/10 營銷研究 4 37 樣本平均值的方差 ?2x = 1 N n ?( xni –E xni )2 = 1 N n ?( – X )2 Xi1+Xi2+ …+ X in n = 1 N n ? ? + 2 ? (Xij–X)2 n2 j=1 n jk n (Xij–X)(Xik–X) n2 = 1 N n (Xj–X)2 n2 j=1 N jk N (Xj–X)(Xk–X) n2 ? N1 n1 + 2 ? N2 n2 以簡單隨機抽樣為例。樣本 x x2 、 … 、 xn ，整組被抽取的概率為 1/ ，因此，某一樣本組的平均值 xni 出現(xiàn)的概率即1/ 。所以，樣本平均值的方差 ?2x 如下： N nN n 2021/11/10 營銷研究 4 38 樣本平均值的方差（續(xù)） = 1 nN n1 N1 (1– ) j=1 N ? (Xj–X)2 + n1 N1 j=1 N ? (Xj–X) 2 = 1 n N Nn N1 1 j=1 N ? (Xj–X)2 = Nn N S2 n =(1– n N ) S2 n ? S2 n 其中， f =n/N稱為抽樣比， f越大，則樣本平均值 xn與總體平均值 X的誤差就小。 f =1時即為普查。 0 是常量 2021/11/10 營銷研究 4 39 樣本方差是總體方差的無偏估計 可以證明： Es2 = S2 s2 = 1 n–1 i=1 n ? (xi– xn)2 1 n–1 i=1 n ? [(xi–X) – ( xn –X)]2 = n–1 i=1 ? ( xi–X) 2 – n( xn –X)2 = 1 n 因為， E ( xn –X)2= ?2x =(1– n N ) S2 n E ( xi –X)2 i=1 n ? = nEz =nZ = 記 zi= ( xi –X)2 n N i=1 N ? ( Xi –X)2 = n(N –1) N S2 Es2 =E n–1 i=1 ? ( xi–X) 2 – n( xn –X)2 1 n = S2 2021/11/10 營銷研究 4 40 樣本平均值的方差公式 ?2x =(1– n N ) s2 n ? s2 n S2 S2 2021/11/10 營銷研究 4 41 樣本百分比的方差 樣本百分比的方差可以通過樣本平均值的方差計算方法來計算。設(shè) p是樣本具有某一特征的百分比， P是總體具有相應(yīng)特征的百分比。如果調(diào)查對象具有某一特征記為 1 不具有某一特征記為 0，則樣本 x x2 、 … 、 xn數(shù)據(jù)或 1或 0，總體 X1 、 X … 、 XN數(shù)據(jù)也或 1或 0，由此， 樣本平均值 xn = (x1 + x2 +……+ x n ) = ? xi = 1 n 1 n n1 n n1是樣本中具有某一特征的個數(shù)，因此， xn = p 。同理， X=P。如果是簡單隨機抽樣，則有前面的論證， p是 P無偏估計， s2是 S2無偏估計。因此可推導(dǎo)樣本百分比的方差公式。 2021/11/10 營銷研究 4 42 樣本百分比的方差公式推導(dǎo) s2= ? (xi– xn)2 1 n–1 = 1 n–1 ? (xi2 –2xi xn+ xn2 ) (n1 ( 1– xn )– (n1–nxn)xn ) = 1 n–1 (n1 –2n1xn+ n xn2 )= = 1 n–1 n1 ( 1– xn)= n n–1 ( 1– p)= n1 n n n–1 p( 1– p) 同理 : S2 = N N –1 P (1 –P) ?2p =(1– n N ) n =(1– n N ) n –1 ?(1– n N ) p( 1– p) S2 N N –1 P (1 –P) n ? n –1 p( 1– p) 0 2021/11/10 營銷研究 4 43 樣本百分比的方差公式 ?2p =(1– n N ) n =(1– n N ) S2 N N –1 P (1 –P) n ?(1– n N ) P (1 –P) n n –1 ?(1– n N ) p( 1– p) ? n –1 p( 1– p) 或， ? P (1 –P) n 2021/11/10 營銷研究 4 44 舉例 在一地區(qū)抽取了 40名司機，考他們的交通規(guī)則知識，并由此來推斷該地區(qū)司機的交通規(guī)則知識掌握情況。已知他們的考試成績?nèi)缦拢? 58 78 49 71 74 83 64 86 55 58 65 72 65 87 56 45 56 68 64 42 60 50 73 54 71 76 62 62 86 70 57 74 58 82 53 75 64 58 86 73 求樣本與總體之間的均方誤差 MSE(xn) 解： MSE(xn)=Var(xn)= ?2x =(1– n N ) s2 n ? s2 n = s2 40 = 2021/11/10 營銷研究 4 45 樣本平均值與總體平均值的絕對誤差 前面討論了樣本平均值 x與總體平均值 X的平均誤差的平方，即E(x–X)2。但是，對于某一樣本的平均值，它與總體平均值的絕對誤差 ? x–X ?到底是多少？由統(tǒng)計理論知，當(dāng) N、 n、 N– n相當(dāng)大時， x–X ?x 近似滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即 x–X ?x P ?t =?(t) X |x–X| ?x P ?u?/2 =1–? ， 0 ? 1， 給定 1–? 查正態(tài)