【文章內(nèi)容簡介】 M= pa ， N= qa 奎屯王新敞 新疆 ∴ qpqp aaaNM ??? ∴ qpNMa ??log奎屯王新敞 新疆 即證得 NMNMaaa logloglog ??奎屯王新敞 新疆 ③設(shè) alog M=P 由對(duì)數(shù)定義可以得 M= pa , ∴ nM ＝ npa ∴ alog nM =np， 即證得 alog nM =n alog M 一般有下面對(duì)數(shù)換底公式： l o g l g l nl o g l o g l g l nbabN NNN a a a? ? ?（其中 0 , 1 , 0 , 1 , 0a a b b N? ? ? ? ?） 證明：設(shè) alog N = x , 則 xa = N 奎屯王新敞 新疆 兩邊取以 m 為底的對(duì)數(shù)： l o g l o g l o g l o gxb b b ba N x a N? ? ? 從而得： loglogbbNx a? ∴ logloglogba b NN a? 兩個(gè)常用的推論 : ① 1loglog ?? ab ba ， 1lo glo glo g ??? acb cba 奎屯王新敞 新疆 ② log logm n aa nbbm?（ a, b 0 且均不為 1） 奎屯王新敞 新疆 三、反函數(shù)的概念 8 一般地，對(duì)于函數(shù) ()y f x? ，設(shè)它的定義域?yàn)?D，值域?yàn)?A，如果對(duì) A 中任意一個(gè)值y ，在 D 中總有唯一確定的 x 值與它對(duì)應(yīng)，且滿足 ()y f x? ，這樣得到 x 關(guān)于 y 的函數(shù)叫 ()y f x? 的反函數(shù)。記 1()x f y?? 但習(xí)慣上 x 表示自變量， y 表示函數(shù)所有改寫成 1()y f x?? （ x ?A） 求反函數(shù)的步驟 （ 1）根據(jù) ()y f x? 的值域?qū)懗?1()y f x?? 的定義域 （ 2）由 ()y f x? 解出 1()x f y?? （ 3）交換 x ， y 得 1()y f x?? 互為反函數(shù)圖像之間的關(guān)系 （ 1）一般地，函數(shù) ()y f x? 的圖像與它的反函數(shù) 1()y f x?? 關(guān)于直線 y =x 對(duì)稱。 （ 2）一般地，如果兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線 y =x 對(duì)稱，那么兩個(gè)函數(shù)一定互為反函數(shù)。 1反函數(shù)存在的條件 若函數(shù) ()y f x? 是從定義域到值域的一一對(duì)應(yīng)，即 ()y f x? 是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則 ()y f x? 存在反函數(shù) 1反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系 （ 1）原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域。 （ 2） 若原函數(shù)是奇函數(shù)，則反函數(shù)一定是奇函數(shù)，但奇函數(shù)未必有反函數(shù) 。偶函數(shù)一般不存在反函數(shù) 1反函數(shù)存在的條件若函數(shù) ()y f x? 是從定義域到值域上的一對(duì)應(yīng)，即 ()y f x? 是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則 ()y f x? 存在反函數(shù)． 1反函數(shù)的一些結(jié)論： （ 1）一般地，函數(shù) ()y f x? 的圖像與它的反函數(shù) 1()y f x?? 關(guān)于直線 y =x 對(duì)稱。 （ 2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性 （ 3）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù) （ 4）奇函數(shù)的反函數(shù)是奇函數(shù) （ 5）定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù) （ 6）周期函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)不存在反函數(shù) （ 7）分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)后再合成 四、對(duì)數(shù)函數(shù) 1定義：函數(shù) logayx? ( 0 1)aa??且 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。其 x 是自變量，定義域是 (0, )?? 1對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，觀察得出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) a1 0a1 圖 象 性 質(zhì) 定義域：（ 0， +∞） 值域： R 過點(diǎn)（ 1， 0），即當(dāng) x=1 時(shí)， y=0 )1,0(?x 時(shí) 0?y ),1( ???x 時(shí) 0?y )1,0(?x 時(shí) 0?y ),1( ???x 時(shí) 0?y 在（ 0， +∞）上是增函數(shù) 在（ 0， +∞）上是減函數(shù) 1對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)系 由于對(duì)數(shù)函數(shù) xy alog? 與指數(shù)函數(shù) xay? 互為反函數(shù)，所以 xy alog? 的圖 象與 xay?的圖象關(guān)于直線 xy? 對(duì)稱 奎屯王新敞 新疆因此，我們只要畫出和 xay? 的圖象關(guān)于 xy? 對(duì)稱的曲線，就可以得到 xy alog? 的圖象，然后根據(jù)圖象特征得出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 奎屯王新敞 新疆 1簡單的指數(shù)方程 指數(shù)含有未知數(shù)的方程叫指數(shù)方程 （ 1） ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x? ? ?20 0xtaA t b t C? ???? ? ? ? ???令 （ 2） 2 0xxA a b a C? ? ? 簡單的對(duì)數(shù)方程 定義：在對(duì)數(shù)符號(hào)后面含有未知數(shù)的方程叫對(duì)數(shù)方程。 （ 1） ( ) ( )l o g l o g ( ) ( ) 0f x g xaa f x g x? ? ? ? （ 2） ( ) 2 ( )[ l o g ] l o g 0f x f xaaA B C? ? ?()2lo g0( ) 0fxatA t b t Cfx? ??? ? ??? ??令 五、三角比 1． 角度制與弧度制的換算： ∵ 360?=2? ∴ 180?=? ∴ 1?=180? ∴ x ?=180x? ∴ 1801???????? ∴ 180xx???????? 弧長公式： ???rl 扇形面積公式 12S lr? ? 212||r? 3． 三角比的正負(fù)：一全正、二 正弦、三切正、四余弦 4． 三種關(guān)系，八個(gè)公式，稱為 同角 ． ． 三角函數(shù)的基本關(guān)系 （ 1）平方關(guān)系 1cossin 22 ?? ?? 221 ta n se c???? 221 cot csc???? （ 2）倒數(shù)關(guān)系 sin csc 1???? cos sec sec 1??? ? tan cot 1???? （ 3）商的關(guān)系 sintan cos?? ?? coscot sin?? ?? ： s in ( ) s in c o s s in c o s? ? ? ? ? ?? ? ? ta n ta nta n ( ) 1 ta n ta n???? ????? ? s in ( ) s in c o s s in c o s? ? ? ? ? ?? ? ? ta n ta nta n ( ) 1 ta n ta n???? ????? ? c o s( ) c o s c o s sin sin? ? ? ? ? ?? ? ? c o s( ) c o s c o s sin sin? ? ? ? ? ?? ? ? 、余弦和正切公式 ： 22 2 2 22 ta nsin 2 2 sin c o s ta n 21 ta nc o s 2 c o s sin 1 2 sin 2 c o s 1?? ? ? ??? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? 、余弦和正切公式 ： ：22 2 22 ta n 1 ta n 2 ta n2 2 2sin c o s ta n1 ta n 1 ta n 1 ta n2 2 2? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? 5．輔助角公式： 22s i n c o s s i n ( )a x b x a b x ?? ? ? ? （其中 ? 角所在象限由 a 、 b 的符號(hào)確定， ? 角的值由 tan ba??確定） 6． 升冪公式是：2cos2cos1 2 ?? ?? 2sin2cos1 2 ?? ??。 7． 降冪公式是：2 2cos1sin 2 ?? ?? 2 2cos1cos 2 ?? ?? 8． 解斜三角形的主要依據(jù)是： 設(shè)△ ABC 的三邊為 a、 b、 c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為 A、 B、 C． （ 1）角 與角關(guān)系： A+B+C = π， （ 2）邊與邊關(guān)系： a + b c， b + c a， c + a b， a－ b c， b－ c a， c－ a b． （ 3）邊與角關(guān)系： 大邊對(duì)大角 ☆ 3． 正弦定理 RCcBbAa 2s i ns i ns i n ???（ R 為外接圓半徑）． a = 2R sinA，baBA?sinsin ☆ 4． 余弦定理 c2 = a2+b2－ 2bccosC， b2 = a2+c2－ 2accosB， a2 = b2+c2－ 2bccosA． 2 2 2cos 2b c aA bc??? 、 2 2 2cos 2a c bB ac??? 、 2 2 2co s 2a b cC ab??? ☆ 5． 面積公式： AbcBacCabchbhahScba s in21s in21s in21212121 ??????? 面積公式 CBARS s ins ins in2 2? ； RabcS 4? ； 9． 解斜三角形的常規(guī)思維方法是： （用正弦還是余弦定理） （ 1）已知兩角和一邊（如 A、 B、 c），由 A+B+C = π求 C，由正弦定理求 a、 b． （ 2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如 a、 b、 A），應(yīng)用正弦定理 求 B，由 A+B+C = π求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 邊，要注意解可能有多種情況． （ 3）已知兩邊和夾角（如 a、 b、 C），應(yīng)用余弦定理求 c 邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用 A+B+C = π，求另一角． （ 4）已知三邊 a、 b、 c，應(yīng)用余弦定理求 A、 B，再由 A+B+C = π，求角 C． 10．在三角形中的一些結(jié)論： （ 1） 三角學(xué)中的射影定理：在 △ ABC 中， AcCab coscos ???? ，? （ 2） 在 △ ABC 中， BABA sinsin ??? ，? （ 3） 在 △ ABC 中： s in ( A + B ) = s in C c o s ( A + B ) c o s C ( A + B ) Cta n ta n?? 引入輔助角。 asinθ +bcosθ = 22 ba ? sin(θ +? )，這里輔助角 ? 所在象限由 a、 b 的符號(hào)確定， ? 角的值由 tan? =ab 確定 (a0,或變 a0) 六、三角函數(shù) 一、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像及性 質(zhì) sinyx? ， x ∈ R 叫正弦函數(shù)； 11yx 6 ? 5 ? 6 ?5 ? 4 ? 3 ? 2 ? ? 0 4 ?3 ?2 ??f x? ? = sin x? ? 正弦 函數(shù)的性質(zhì) ： 定義域： xR? 值域： [1,1]? 奇偶性：奇函數(shù) 最大值是 1， { | 2 , }2x x k k Z??? ? ? 最小值是 1， 3{ | 2 , }2x x k k Z??? ? ? 單調(diào)性：單調(diào)增區(qū) 間 [ 2 , 2 ] ( )22k k k Z????? ? ? 單調(diào)減區(qū)間 3[ 2 , 2 ] ( )22k k k Z????? ? ? 周期性 2T ?? 對(duì)稱中心 ( ,0)k? 對(duì)稱軸 ,2x k k Z??? ? ? cos ,y x x R??叫 余弦函數(shù) 11yx 6 ? 5 ? 6 ?5 ? 4 ? 3 ? 2 ? ? 0 4 ?3 ?2 ??f x? ? = co s x? ? 余弦 函數(shù)的性質(zhì) ： 定義域： xR? 值域： [1,1]? 最大值是 1， { | 2 , }x x k k Z??? 最小值是 1， { | 2 , }x x k k Z??? ? ? 奇偶性：偶函數(shù) 單調(diào)性：單調(diào)增區(qū)間 [ 2 , 2 ]( )k k k Z? ? ??? 單調(diào)減區(qū)間 [ 2 , 2 ]( )k k k Z? ? ??? 周期性 2T ?? 對(duì)稱中心 ( ,0)2k ??? 對(duì)稱軸 ,x k k Z??? 正切函數(shù)與余切函數(shù) xy tan? ， ? ?zkkx ??? 2?? 叫 正切函數(shù) 正切函數(shù)的性質(zhì) ： 1．定義域：?????? ??? zkkxx ,2| ??， 2．值域： R 3．周期性： ??T 4．奇偶性： ? ? xx tantan ??? 奇函數(shù) 5．單調(diào)性：在開區(qū)間 zkkk ???????