怎樣理解數(shù)學(xué)的理解何小亞(編輯修改稿)
2024-11-04 07:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 運用到一個個具體的題目中去 . ● 學(xué)生理解數(shù)學(xué)，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，可以體會到數(shù)學(xué)是一個有緊密，合理的內(nèi)部聯(lián)系的整體，這些聯(lián)系是可以通過自己努力去探索，嘗試性地建立起來的，這同時建立起比較正確的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀等信念。這些信念將會促進(jìn)他們對數(shù)學(xué)內(nèi)容，方法的理解和掌握，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的內(nèi)在動機(jī) . 三．理解是進(jìn)行中的動態(tài)過程 １．理解是一個 “ 譜 ” （范圍、系列） 認(rèn)知建構(gòu)觀點認(rèn)為 ,理解是一個由學(xué)生自己積極地構(gòu)造的過程 ,這個過程有發(fā)生 ,也有發(fā)展 .理解不是指接受現(xiàn)成的結(jié)構(gòu)或是獲得某種知識的最終狀態(tài) ,而是一個動態(tài)的 ,發(fā)展的過程 . 傳統(tǒng)的觀點認(rèn)為 ,理解是學(xué)習(xí)的結(jié)果 ,是取得的成果 ,是一種終結(jié)的狀態(tài) . 數(shù)學(xué)教育家 Skemp將理解劃分為 “ 工具性理解 ” 和 “ 關(guān)系性理解 ” [5]，將理解看成是一個有豐富內(nèi)涵的，多個側(cè)面的，多種成分的，應(yīng)加以剖析的一個 “ 譜 ” 工具性理解，是一種語義性理解（符號 A所指代的事物是什么）或者一種程序性理解（一個規(guī)則 R所指定的每一步驟是什么，如何操作） 而關(guān)系性理解，則還需加上對符號意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識，獲得符號指代物意義的途徑，以及規(guī)則本身有效性的邏輯依據(jù)。 工具性理解 ——知其然但不知其所以然 . 會做但不知道為什么可以這么做，重結(jié)果輕過程 . 關(guān)系性理解 ——知其然且知其所以然 .重過程教學(xué) . Tom Kieren認(rèn)為，工具性理解的學(xué)生并不是完全不知道為什么，總能在某種層次上知道 “ 為什么 ” ，理解不是全對，全錯的結(jié)果，不存在全有全無兩個極端，學(xué)習(xí)和理解不能截然地分開。即任何學(xué)習(xí)都帶有一定程度的理解。 ２．建構(gòu)是螺旋式發(fā)展的 Piaget： 建構(gòu)的過程的發(fā)展方式是螺旋上升的 . 數(shù)學(xué)體系的發(fā)展就是螺旋式的、往復(fù)遞進(jìn)式的 . 比如：數(shù)系的發(fā)展； 極限概念的發(fā)展 . 導(dǎo)數(shù)概念的核心 極限概念在歷史發(fā)展進(jìn)程中 ,不是一下子就嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?[7] ? 例如， Newton指出： “ 兩個量和量之比，如果在有限時間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差別，則最終就成為相等。 ” ? 這個定義的表述并不嚴(yán)謹(jǐn)，只是接近于極限的直觀表述：如果當(dāng) x無限接近 x。時， f(x)無限地接近于常數(shù) A，那么就說 f(x)以 A為極限 ? 由于極限概念的不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致了無窮小悖論的出現(xiàn)： ? 簡言之，增量在作差商時不等于零，約簡后又等于零。 ? 英國大主教 (16851753)攻擊微分學(xué)的推導(dǎo)是 “ 分明的詭變 ” ? 法國數(shù)學(xué)家 (17891857)把無窮小視為以零為極限的變量，解決了無窮小 “ 似零非零 ” 的悖論。 ? 他指出： “ 當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨近于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值。 ” ? Cauchy的這一極限定義依然使用了幾何直觀的語言，如 “ 無限趨近 ” ，“ 要多小就多小 ” ，依然不夠嚴(yán)謹(jǐn)。 極限的 定義是由德國數(shù)學(xué)家(18151897)給出： .)(l i m,)(,0,0,0.,)(000AxfAxfxxAxxfxx?????????則有時使得當(dāng)都存在若對任意的是一確定的數(shù)的某空心鄰域內(nèi)有定義在設(shè)函數(shù)?????? ?２．建構(gòu)是螺旋式發(fā)展的 人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，實際上不是直線發(fā)展的，不是一次性完成的，需要通過螺旋形往復(fù)式的認(rèn)識和再認(rèn)識，逐步地更新和拓廣自己的理解和體會 . ● Tom Kieren:理解是一個進(jìn)行中的過程，它是來回往返地逐步遞進(jìn)的，其發(fā)展是持續(xù)的，而且不會存在終點 . 四、數(shù)學(xué)理解的動態(tài)生長 ——折返 Folding Back: Dynamics in the Growth of Mathematical Understanding. 英國的 : 數(shù)學(xué)理解是一個進(jìn)行中的、動態(tài)的、分水平的、非線性的發(fā)展，是反反復(fù)復(fù)的建構(gòu)組織過程 .它被分成 8個水平層次 . 理解的發(fā)展不是指在某個時候做什么數(shù)學(xué)題，而是指從一個數(shù)學(xué)概念發(fā)生到現(xiàn)在所理解的數(shù)學(xué)概念之間所經(jīng)歷的路徑 . ? Pirie和 Kieren在 1989 PME研討會議中提出這個數(shù)學(xué)理解的動態(tài)成長理論。 ? 這一理論模式就是要去看個體在一個問題上所呈現(xiàn)的理解，這個理解是如何出現(xiàn)，以及在不同的時期時這個理解是如何發(fā)展的。 數(shù)學(xué)認(rèn)知動態(tài)發(fā)展的觀察方法 ? 不給復(fù)雜的項目來檢驗他的數(shù)學(xué)知識的獲得 ? 在小組里給一些超越這個時期的特殊的數(shù)學(xué)題目 ? 紀(jì)錄和觀察他們運作討論的情形 ? 分析他們的對話及所寫下的文字?jǐn)⑹? 創(chuàng)造 數(shù)學(xué)理解動態(tài)成長理論的８個階層 ① 原始 認(rèn)識 (Primitive Knowing： PK) 結(jié)構(gòu) 觀察 形式化 注意性質(zhì) 成心像 造心像 原始 認(rèn)識 ② 造心像 (Image Making： IM) ③ 成心像 (Image Having： IH) ④ 注意性質(zhì) (Property Noticing： PN) ⑤ 形式化 (Formalizing： F) ⑥ 觀察 (Observing： O) ⑦ 結(jié)構(gòu) (Structuring： S) ⑧ 創(chuàng)造 (Inventing： I) ①
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1