【文章內(nèi)容簡介】 （ ） ])(e xp []e xp [ xGkiRikcjj jj ???? ??? ? ???? ?j jjj xiGcxikRik ]e xp []e xp []e xp [ ? )(]exp[ xHRik ?? 從上式可以看出，這種形 式的磁場僅與一個周期變化的相位因子有關(guān)，而且中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 7 頁 也滿足所需要的對稱性。實際上，這是最一般的解的形式， 即布洛赫定理 —— 磁場表示成一個平面波乘上一個和晶格周期有關(guān)的函數(shù) )()e x p ()( xuxikxH k?? （ ） 這里，對所有的晶格矢量 R有 )()( Rxuxu kk ?? Maxwell方程組的本征值方程 光子晶體中的 Maxwell方程組 [25] tBtxE ?????? ),( tDtxH ?????? ),( 0??? E 0??? H （ ） 假設(shè)材料為線性、無損、各向同性的，則有 HuBExD 00 ,)( ?? ?? （ ） 各場量對時間的關(guān)系 )e x p ()()( iw txExE ?? )e x p ()()( iw txHxH ?? )e x p ()()( iw txDxD ?? )e x p ()()( iw txHxH ?? （ ） 將（ ）式和（ ）式分別代入（ ）中有： HiwE ???? EiwH ????? 0??? E 0??? H 將（ ）中第二式兩邊取旋度，并將第一式代入可以得到 HHH 2)()( ?????????? Eiw ???? ? Hxw )(002 ???? （ ） 中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 8 頁 由于002 1???c ， 整理上式可得 )()()(1 22 xHcwxHx ??????? ???? ? （ ） 在光子晶體文獻(xiàn)中，這個方程通常被叫做“主方程”。 Bandsolve中求解能帶的方程 應(yīng)用布洛赫定理， 如前所述，我們將 )(xH 表示為 )e x p ()()( xikxuxH k ?? 這里， )(xuk 為晶格周期的函數(shù)。將此式代入（ ）式可得 kkk uwuikxikuL 2)()(1)( ?????????? ??????? ? （ ） L? 為一線性算子， cww /? 為歸一化頻率。 方程（ ）即為 Bandsolve中求解能帶的基本方程。它可以看成是對未知本征值和本征矢量的本征方程，其中波矢 k 為自由參數(shù)。 光子晶體結(jié)構(gòu)形式有很多種，現(xiàn)在研究比較熱的主要有正方格子結(jié)構(gòu)、三角格子結(jié)構(gòu)、蜂窩結(jié)構(gòu)及 K結(jié)構(gòu)光子晶體。本文 主要討論光子晶體 的能帶結(jié)構(gòu)及性質(zhì) 為 如 下 圖 ，介電常數(shù) ? =，介質(zhì)柱半徑 R= ，背景介質(zhì)為空氣 ，柱子折射率為 n ? 。 圖 本文 光子晶體示意圖 下面我們來計算這種晶體結(jié)構(gòu)的能帶圖。首先我們給出計算能帶結(jié)構(gòu)所需的晶胞圖以及第一布里淵區(qū)的圖示，如下所示： 中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 9 頁 圖 （ a） 完美 光子晶體晶胞圖 （ b）第一布里淵區(qū)圖 利用前面所述理論， 通過軟件中的 Bandsolve模塊 我們就可以給出這種 晶體結(jié)構(gòu)的能帶圖 ，如圖 ： 圖 相對介電常數(shù) ? =，半徑 R= 缺陷結(jié) 構(gòu)光子 晶體 TM模的能帶結(jié)構(gòu)圖 從能帶圖中，我們可以清晰得看到， 該結(jié)構(gòu)對于 TM波（即 電 場方向平行于介質(zhì)柱軸向）在 約化 頻率范圍（ ）內(nèi)，出現(xiàn)了一個很寬的光子禁帶，理論上講，以此范圍內(nèi)頻率的光入射時，光束將被完全反射。如下圖 示： 中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 10 頁 （ a） （ b） 圖 頻率 ? = 45176。入射 該光子晶體 的 FDTD模擬。其中：（ a）反射現(xiàn)象的 FDTD模擬圖 ； （ b）探測器顯示反射光束的位置（橫坐標(biāo)零點代表經(jīng)典反射光束中心所在位置）。 從 FDTD模擬圖中我們可以看到，入射光在光子晶體表面幾乎完全被反射回去，右圖為反射光束的強度分布圖，由此可見，該光子晶體的反射行為基本符合菲涅耳反射定律。 Rsoft軟件簡介 我 們 在 實 驗 中 所 用 的 仿 真 軟 件 是 Rsoft 系列的 Bandsolve 模塊和Fu11wave\FDTD模塊。美國 Rsoft設(shè)計集團公司是一家世界著名的光通信模擬設(shè)計和仿真軟件開發(fā)商。產(chǎn)品涵蓋器件設(shè)計、系統(tǒng)仿真、網(wǎng) 絡(luò)建模。廣泛應(yīng)用于光器件、光通信系統(tǒng)、寬帶網(wǎng)中的城域網(wǎng)、長距離傳輸設(shè)備以及接入設(shè)備的設(shè)計與開發(fā)上。世界上有近千家光通信生產(chǎn)企業(yè)、科研院所在使用 Rsoft的軟件從事設(shè)計和規(guī)劃工作。 Bandsolve模塊簡介 Bandsolve是一套商用的光子晶體能帶結(jié)構(gòu)模擬分析設(shè)計軟件。集成了 CAD和仿真功能，可以對所有光子晶體部件的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行自動的計算，包括：二維或三維的光子晶體平板和波導(dǎo)，二維或三維的腔體結(jié)構(gòu)問題以及光子晶體光纖。 功能如下 : (1)任意結(jié)構(gòu)的能帶圖； (2)平面的或三維的光子晶體組件的能 隙設(shè)計及設(shè)計優(yōu)化； (3)腔體結(jié)構(gòu) /缺陷結(jié)構(gòu)； (4)常規(guī)的和有空洞的光子晶體光纖設(shè)計； (5)模的計算與顯示。 Fullwave 模塊概述 Ful1wave 是一個高集成的復(fù)雜的光電元件模擬設(shè)計分析軟件。它使用有限時域差分分析法 (FDTD)分析一般光束傳播 (BeamPropagationMethod， BPM， Rsoft 的 BeamPROP 軟件包 )和其他軟件包所無法建模分析的光電元件，例如：中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 11 頁 光子帶隙、環(huán)狀諧振 器等。主控程序是 BeamPROP 的完整的 CAD 繪圖系統(tǒng)，用來設(shè)計光波導(dǎo)元件和光路。控制 模擬特性如數(shù)字參數(shù)、輸入域、顯示和分析選項。Fu11wave 模擬模塊可在主程序中執(zhí)行也可單獨執(zhí)行完成并且提供域的圖型顯示和其他各種分析。 功能如下： (1)二維波導(dǎo)結(jié)構(gòu)：直線型、錐型、曲線型、 Y 型分枝、透鏡、多邊形； (2)用戶自定義的錐形波的位置、寬度、高度和沿傳播軸方向的折射率； (3)位置坐標(biāo)也可直接設(shè)定：設(shè)定絕對坐標(biāo)值或通過設(shè)定與任何其他光波導(dǎo)器件的位移和角度； (4)二維和三維的有限時域差分仿真； (5)連續(xù)波或脈沖激發(fā)。 3 FDTD的基本原理和計算方法 FDTD基本原理 時域有限差 分法 （ FDTD）是基于對偏微分波動方程的離散化處理。通過時間和空間的離散化，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，繼而采用數(shù)值計算方法，求解波傳播過程中各個離散點的所有振動參數(shù)與時間的函數(shù)關(guān)系。用 時域有限差分法 對 Maxwell方程進(jìn)行離散化處理，不會導(dǎo)致過多的計算誤差，且能處理任意幾何形狀的光子晶體。另外，通過傅里葉變換，以此計算可包含較大頻率范圍的結(jié)果，能夠直觀地給出光在光子晶體的傳輸行為，得出與實驗一直的精確結(jié)果。 時域有限差分法 不但可以計算周期結(jié)構(gòu)中的帶結(jié)構(gòu)，也可以計算有限結(jié)構(gòu)的透射、反射等特性。 FDTD的基本 原理，即是 將麥克斯韋方程中的兩個旋度方程，轉(zhuǎn)化為一組差分方程來求解，將計算區(qū)域劃分為很多個小的基元，即 Yee原胞。對每個原 胞上的電場和磁場在時間和空 間 步長上分別取樣，形成 Yee原 胞的網(wǎng)格。 這種方法的主要步驟就是：（ 1)將 Maxwell方程分解成 6個分量的標(biāo)量方程 ；（ 2)將空間沿軸向分割為 x? ， y? ， z? 表示的小單元 —— Yee格點， t? 為時間變 元，則時空點用( tnzkyjxi ???? , )表示，簡單地用 （ nkji , )表示 ；（ 3)用中心有限差分式來表示函數(shù)對空間和時間的偏導(dǎo)數(shù)，精 確到二階。如此就可以得到 Maxwell方程的FDTD形式，然后再附加穩(wěn)定性條件和 Mur邊界條件，使求解的有限空間與無限空間等效，向邊界行進(jìn)的波在邊界處保持外向行進(jìn)特征，無明顯反射，不會引起內(nèi)部空間場的畸變 [26]。這樣處理后就可求解 Maxwell方程了。 FDTD的計算方法 根據(jù)上面的描述， 我們來 利用 Maxwell方程組詳細(xì)推導(dǎo)一下： Maxwell方程組中有公式： 中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 12 頁 JtDH ???????， tBE ?????? （ ） 其中，在各向同性介質(zhì)中， EJHBED ??? ??? , 在直角坐標(biāo)系中 ， 上兩式可以寫為 xxyz EtEzHyH ?? ????????? tHzEyE xyz ????????? ? yyzx EtExHzH ?? ????????? tHxEzE yzx ????????? ? （ ） zzxy EtEyHxH ?? ????????? tHyExE zxy ????????? ? （ ）式的 FDTD差分分離形式是類 似的，令 ),( tzyxf 代表 E 或 B 的某一分量，在空間和時間上的離散?？杀硎緸? ),(),(),( kjiftnzkyjxiftzyxf ???????? 又可以表 示為 ),( tzyxf 關(guān)于時間和空間的一介偏導(dǎo)數(shù)： x kjifkjifx zyxf nnxix ?????????),2/1(),2/1(|),( y kjifkjify zyxfnnyiy ?????????),2/1(),2/1(|),( （ ） z kjifkjifz zyxf nnziz ?????????),2/1(),2/1(|),( 根據(jù)（ ）式，將各點的微商用差商來代替，就將一定空間的微分問題轉(zhuǎn)換為中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 13 頁 有限個差分方程的求解。 對于（ 2）式可做進(jìn)一步處理 [27]， 以 xE 為例， 考慮到介質(zhì)中 0?J ， 電場和磁場在各節(jié)點的分布就可以計算出來，即 Yee原 胞 ，如圖 ： 圖 Yee原胞示意圖 ???????? )21(),21(),21(1itkjiEkjiE nxnx ? ykjiHkjiH nxnx?????? ?? ),21,21(),21,21([ 2121 ]),21,21(),21,21( 2121zkjiHkjiH nyny??????? ?? （ ） 可以清晰的看出， xE 在 ),21( kji? 點、 （ 1?n ）時刻的值，由該點前一時刻的值和環(huán)繞該點的四個磁場分量在前后半個時刻的值所決定。同時，為了保證迭代收斂得到穩(wěn)定解， x? 、 y? 、 t? 的選擇需要 滿足穩(wěn)定性條件 [28]