【文章內(nèi)容簡介】 下，當某種資源的市場價格低于影子價格時，企業(yè)應買進這種資源用于擴大生產(chǎn)；相反當某種資源的市場價格高于影子價格，企業(yè)應賣出這種資源。隨著資源的買進賣出，企業(yè)資源的影子價格也隨著發(fā)生變化，一直到影子價格與市場價格保持同等水平時，才處于平衡狀態(tài)。 由此可見企業(yè)資源的影子價格直接關系到資源的最有效利用，根據(jù)影子價格企業(yè)可以對有限的資源 進行合理的配置，自主地節(jié)約使用某種稀缺資源，使有限資源發(fā)揮更大的經(jīng)濟效益。 線性規(guī)劃的靈敏度分析 線性規(guī)劃問題所對應的數(shù)據(jù)集合 A、 b、 C 常常是通過預測或估計所得到的的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可能存在一定的誤差。同時，隨著市場環(huán)境，工藝條件和資源數(shù)量的改變，這些數(shù)據(jù)也可能發(fā)生變化。那么，就有必要去分析下這些數(shù)據(jù)波動時，對當前的最優(yōu)解或最優(yōu)基產(chǎn)生什么影響，即是所謂的靈敏度分析。 此外，在生產(chǎn)計劃中，對于給定的目標點，要想使之成為最優(yōu)解，可以通過三條途徑來實現(xiàn) [10]，即： 通過改變模型（ 1）的目標 函數(shù)中價值系數(shù) C，使得給定的目標解成為最優(yōu)解。由于不改變可行域 D，因此，預期目標解必須是線性規(guī)劃原問題的可行解； 6 通過改變模型（ 1）中資源擁有量 b，使得預期目標解成為可行解。由于可行域D 的擴張或平移，因此，給定的目標解可以不是線性規(guī)劃原問題的可行解。 通過改變模型（ 1）中資源消耗系數(shù)，即約束函數(shù)的斜率 A,使得預期目標解成為可行解。由于可行域 D 的形狀發(fā)生了變化，因此，給定的目標解可以不是線性規(guī)劃原問題的可行解。 下面，我們分別討論當價值系數(shù) C、資源擁有量 b 和資源消耗系數(shù)向量 A 變化的響應情況： 考慮只有價值向量 C 的改變的情形。若 jc 是非基變量 jx 的價值系數(shù)， jc? 為該價值系數(shù)的改變量，只要 jjc ???? ，就可以保持現(xiàn)行最優(yōu)解依舊最優(yōu)，由此可以確定價值系數(shù) jc 的可變化范圍，其中 j? 為 jx 的檢驗數(shù)。若 ic 是某基變量 ix 的價值系數(shù)， jc?為該價值系數(shù)的改變量，只要非基變量對應的檢驗數(shù) ? ? Nii NBc ??? ?1 ，就可以保持現(xiàn)行最優(yōu)解依舊最優(yōu)，由此可以確定價值系數(shù) jc 的可變化范圍。 考慮只有資源擁有量 b 的改變的情形。 B 的波動會使最優(yōu)解和最優(yōu)目標函數(shù)值，但可以不改變原最優(yōu)基 B，只要 *1 XbB ???? 即可，其中 *X 為原最優(yōu)解。 考慮只有資源消耗系數(shù) A 的改變的情形。一般而言，約束矩陣 A 的改變可能導致不同的最優(yōu)解和最優(yōu)基，進行靈敏度分析不是一件簡單的事。下面，只談及兩種較簡單的情形。增加一個新變量，假設在獲得原線性規(guī)劃的最優(yōu)解 *X 之后，又發(fā)現(xiàn)了一個新變量 1?nx ，其對應的價值系數(shù)為 1?nc ，在新的約束矩陣中對應的系數(shù)列向量為1?nP，于是得到如下新的線性規(guī)劃問題：??????????????0,0..m a x11111nnnnnxXbxPAXtsxcCXZ ；增加一個約束，不妨假設此附加的約束條件為不等式形式，即 11 ?? ? mm bXa ，其中 1?ma 是 n 維行向量， 1?mb 為右端項系數(shù)，于是新的線性規(guī)劃模型變?yōu)???????????0..max11XbXabAXtsCXZmm。 7 線性規(guī)劃模型在生產(chǎn)中資源配置方面的應用舉例 一豆制品加工廠 [4,9]用黃豆生產(chǎn) A， B， C 三種豆制品， 1 公斤黃豆可以在甲類設備上用 12 小時加工成 3 公斤 A，或者在乙類設備上用 8 小時加工成 4 公斤 B，或者在丙類設備上用 6 小時加工成 4 公斤 C。根據(jù)市場 需求，生產(chǎn)的 A， B， C 全部能售出，且每公斤 A 獲利 24 元，每公斤 B 獲利 16 元，每公斤 C 獲利 12 元。現(xiàn)在加工廠每天能得到 120公斤黃豆的供應，每天正式工人總的工作時間為 960 小時，并且甲類設備每天至多能加工 100 公斤 A，乙類設備每天至多能加工 120 公斤 B，丙類設備的加工能力沒有限制。 為該廠制定一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大。 若用 16 元可以買到 1 公斤黃豆，應否作這項投資？若投資，每天最多購買多少公斤黃豆？ 若可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給臨時工人的工資最多是每小時 幾元？ 由于市場需求變化，每公斤 C 的獲利增加到 14 元，應否改變生產(chǎn)計劃？ 變量說明 Z 盈利（元） 1x 生產(chǎn) A 所用的黃豆重量（公斤） 2x 生產(chǎn) B 所用的黃豆重量（公斤） 3x 生產(chǎn) C 所用的黃豆重量（公斤） 問題分析 本問題的目標是使得該廠每天獲利最大，要做的決策是生產(chǎn)計劃，即如何合理配置黃豆，分別用多少公斤黃豆生產(chǎn)豆制品 A， B， C。決策收到的限制：原料供應、勞動時間、設備的加工能力。按照問題，將決策變量、目標函數(shù)和約束條件用數(shù)學符號及式子表示出來，就可得到下面的線性規(guī)劃模型。 模型假設 假設 1： A， B， C 每公斤的獲利與它們各自產(chǎn)量無關； 假設 2： A， B， C 每公斤的獲利與它們相互間產(chǎn)量無關； 假設 3：加工 A， B， C 的 黃豆的重量可以是任意實數(shù)。 模型建立 8 ???????????????????????0,0,0120*4100*3960*6*8*12120..*48*64*72m a x32121321321321xxxxxxxxxxxtsxxxZ 模型求解 將上述模型輸入 LINDO 求解，可以得到以下結果（見圖 ）： 圖 求解結果 9 結果分析 圖 的第 2,3,4,5,6 行明確地告訴我們，這個線性規(guī)劃的最優(yōu)解為60,30,30 321 ??? xxx ，最優(yōu)值為 Z=6960，即該廠的生產(chǎn)計劃為：每天用 30 公斤黃豆生產(chǎn) A，每天用 30 公斤黃豆生產(chǎn) B，每天用 60 公斤黃豆生產(chǎn) C，這樣能使每天獲利最大，獲利 6960 元。 圖 的第 8 行“ DUAL PRICES”告訴我們，增加 1 公斤黃豆時利潤增長 24 元，即 1 公斤黃豆的影子價格為 24 元；圖 的第 23 行“ CURRENT RHS”的“ ALLOWABLE INCREASE”和“ ALLOWABLE DECREASE”給出了黃豆的影子價格有意義條件下約束右端的限制范圍：黃豆最多增加 30 公斤。綜上，用 16 元可以買到 1 公斤黃豆，低于1 公斤黃豆的影子價格，應該做這項投資，但每天最多購買 30 公斤黃豆。 圖 的第 9 行“ DUAL PRICES”告訴我們，勞動時間增加 1 小時時利潤增長4 元，即 1 小時勞動的影子價格為 4 元。綜上，聘用臨時工人，付給的工資應低于勞動時間的影子價格才可以增加利潤 ，所以工資最多是每小時 4 元。 圖 的第 19 行“ CURRENT COEF”的“ ALLOWABLE INCREASE”和“ ALLOWABLE DECREASE”給出了最優(yōu)解不變條件下目標函數(shù)系數(shù)的允許變化范圍：3x 的系數(shù)為（ 4812,48+12），即（ 36,60）。注意： 3x 系數(shù)的允許范圍需要 21,xx 的系數(shù)不變。綜上，若每公斤 C 的獲利增加到 14 元，則 3x 系數(shù)變?yōu)?14*4=56，在允許范圍內(nèi)，所以不應改變生產(chǎn)計劃。 本章小結 本章所探討的線性規(guī)劃模型，常用單純形法求解。線性規(guī)劃模型日益成熟，在生活各方面都會經(jīng)常用到線性規(guī)劃模型，通過對線性規(guī)劃模型的數(shù)據(jù) A， b， C 進行靈敏度分析，可以盡可能控制這些數(shù)據(jù)的變化范圍，使得企業(yè)保持一定的收益。此外，對于影響決策的資源占有量 b 的影子價格，可 以對現(xiàn)有資源實現(xiàn)最大收益時估價，可以使資源合理配置，使資源發(fā)揮最大的經(jīng)濟效益。 10 3 多階段的動態(tài)規(guī)劃模型 所謂多階段決策問題 [1]是指這樣一類活動過程：它可以分為若干個相互聯(lián)系的階段，在每個階段上都需要作出決策，而一個階段的決策確定以后，將會影響以后各階段的活動及其決策，當所有階段的決策確定后，就完