【文章內(nèi)容簡介】 參數(shù)窗口值， oldPoint 表示鼠標(biāo)移動前的位置， newPoint 表示鼠標(biāo)移動后的位置。那么就可以得到如下式子： t m pDoubl e = xMa x xMi nxM i n = xMi n x * ( ne wP oi nt .x ol dP oi nt .x) 。xM a x = xMi n + t m pDoubl e 。t m pDoubl e = y Ma x y Mi n。y Mi n = y Mi n y * ( ne wP oi nt .y ol dP oi nt .y ) 。y Ma x = y Mi n + t m pDoubl e 。?? 經(jīng)過實驗證明，這個方法對 Julia 集與 Mandelbrot 集都適用。 圖形矢量移動前后效果對比參見圖 與圖 。 2， Julia 集與 Mandelbrot 集的矢量放大 :先說明對 Mandelbrot 集的放理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 8 大 ,Mandelbrot 集是將參數(shù) C 走遍參數(shù)窗口的所有值，經(jīng)過逃逸時間算法的運(yùn)算最終在繪圖窗口中畫出圖來，由此可知，參數(shù)窗口的大小和位置就決定了所繪 Mandelbrot 集的放大區(qū)域。已知 m a x m i n( ) /( 1 )x x x w id th? ? ? ?，m a x m in( ) /( 1 )y y y h e igh t? ? ? ?， min *tp p x p? ? ?， min *tq q y q? ? ? ，其中0,1, 2.. . 1txn??， 0,1, 2... 1tyn??，可以得出： minmin**p p x pq q y q? ? ?? ? ? 從而可得： 用計算機(jī)語言來描述就是： xMin = xMin + x* ol dP oint .x。xMa x = tm pD oub l e + x* ne w P oint .x。tm pD oub l e = y Min。y Min = y Min + y * ol dP oint .y 。y Ma x = tm pD oub l e + y * ne w P oint .y 。???? 這樣我們只要將得到的 (xMin,yMin)， (xMax,yMax)代替原來的參數(shù)窗口值就可以實現(xiàn)對窗口的放大 了。 Julia 集的放大原理與 Mandelbrot 集的放大原理相同，就不再贅述了。 圖形的矢量放大前后效果對比見圖 與圖 。 3， Julia 集的旋轉(zhuǎn)： 由計算機(jī)圖形學(xué)可知，在二維平面上按指定位置 rr(x,y) 旋轉(zhuǎn)，需要經(jīng)過三個步驟： 平移對象使移動點(diǎn)位置移到坐標(biāo)原點(diǎn)。 繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。 平移對象使基準(zhǔn)點(diǎn)回到其原始位置。將其寫成矩陣形式如下： 39。39。m in m in m in39。39。m in m in m inm a x m a x m a x39。39。m a x m a x m a x****p p x pq q x qp p x pq p x p? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 9 1 0 0 c os s i n 0 1 00 1 0 * s i n c os 0 * 0 10 0 1 0 0 1 0 0 1c os s i n ( 1 c os ) s i ns i n c os ( 1 c os ) s i n0 0 1rrrrxyxyyx????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ????????? 轉(zhuǎn)換成式子如下： 39。 r r r39。 r r rx = x + ( x x ) * c o s ( y y ) * s iny = y + ( x x ) * s in + ( y y ) * c o s?? 將這個式子應(yīng)用到 Julia 集繪制算法中，這里假定繞屏幕的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，屏幕的寬度為 width，高度為 height，用坐標(biāo)表示為 (width/2， height/2)，從前面繪制 Julia 集的方法中可知下列兩個步驟： ○ 1 0 min *xx x n x? ? ?， 0 m in *yy y n y? ? ?。 ○ 2 根據(jù)下列的迭代過程從 ( , )ttxy 算出 11( , )nnxy??，計數(shù) t=t+1。 2211 2t t tt t tx x y py x y q??????? 這里只需要修改 ,xynn的值，所以可得： xx x yyte m p = nn = w idth /2 + ( n w idth /2) * c o s ( n h e igh t/ 2 ) * sinn = h e igh t/ 2 + ( te m p w idth /2) * sin + ( n y h e igh t/ 2 ) * c o s???? 再將獲得的 ,xynn，進(jìn)行 m in *txx x n x? ? ?， m in *tyy y n y? ? ?的運(yùn)算，得到新的,ttxy。再將 ,ttxy進(jìn)行下一步運(yùn)算即可實現(xiàn)對 Julia 集的旋轉(zhuǎn)。圖形的矢量旋轉(zhuǎn)前后效果對比見圖 與圖 。 4， 將 Julia 集壓縮到 Mandelbrot 集的收斂區(qū)域，要將 Julia 集壓縮到Mandelbrot 集收斂區(qū)域中， 需要先對前面繪制 Julia 集算法中提到的 ( , )nnxy進(jìn)行 Mandelbrot 集算法變換，然后再進(jìn)行 Julia 集算法變換。又因為逃逸時間算法繪制 Julia 集和繪制 Mandelbrot 集的步驟都是一樣的，差別只體現(xiàn)在步驟 ○ 3 ，即由 ( , )nnxy 計算出 11( , )nnxy??這一步。 即要在前面提到的繪制Julia 集的計算機(jī)算法步驟 ○ 2 后面添加下列幾步算法： ○ A 令 t1= 0x ,t2= 0x ， i=0， t3=t4=0,N=10 進(jìn)行如下循環(huán)。 ○ B 理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 10 00t 3 = t 1 * t 1 t 2 * t 2 + x 0 .7t 4 = 2 * t 1 * t 2 + yt 1 = t 3t 2 = t 4 計數(shù) i=i+1。 ○ C 如果 iN，返回步驟 ○ B ，否則 00x =t1,y =t2 。 ○ D 返回值 00x,y ，回到算法步驟 ○ 3 繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算。 算法的效果圖參見圖 。 二維元胞自動機(jī)生成分形圖案 元胞 分布在二維歐氏幾何平面上規(guī)則劃分的網(wǎng)格點(diǎn)上，則稱它為二維元胞自動機(jī)。為了使用二維元胞自動機(jī)繪圖，假定有一個 aa? 的網(wǎng)絡(luò)，其左上角的格子為（ 0,0），右下角的格子為（ a1,a1），這樣主要是為了對應(yīng)計算機(jī)的屏幕坐 標(biāo) 。 且 每 個 格 子 的 初 始 狀 態(tài) 均 為 0 ，即 F(x,y)=0 ，設(shè)0 0 0 0/ 2 , / 2 , ( , ) 1x a y a F x y? ? ?，將此網(wǎng)格的中心部分 00( , )xy 點(diǎn)為中心，將 00( , )xy以 外的點(diǎn)分成若干層次，緊靠 00( , )xy 的 8 個點(diǎn)為第一層，緊靠第一層外面的 16點(diǎn) 為第二層，緊靠第二層外面的 24 個點(diǎn)為第三層，以此類推，一直到最外面一層。 此網(wǎng)格共有 a/2 層，設(shè) k 為層數(shù)，從 k=1 到 k=a/2，進(jìn)行如下循環(huán)： ○ 1 設(shè)第 k 層中任意點(diǎn)為 ( , )iixy ，則判斷其臨近 8 點(diǎn)的現(xiàn)有狀態(tài)；如果 ( 1 , 1 ) ( , 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , )( 1 , 1 ) ( , 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , )i i i i i i i ii i i i i i iF x y F x y F x y F x yF x y F x y F x y F x y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 奇 數(shù) 則 ( , ) 1iiF x y ? 否則 ( , ) 0iiF x y ? 當(dāng)每一層中所有點(diǎn)判斷完結(jié)后，進(jìn)行下一步。 ○ 2 對 ( , ) 1iiF x y ? 的點(diǎn)著色。 ○ 3 k=k+1，返回到步驟 ○ 1 ，直至循環(huán)結(jié)束。 圖形參見：圖 。 理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 11 GumowskiMira 公式 1980 年 ， 工作在 CERN 的物理學(xué)家 Gumowski, I. 和 Mira, C. 嘗試計 算模擬基本粒子軌跡 (The trajectories of elementary particles) 在加速器 (Accelerator) 中的行為 。 他們使用了這組方程 ： n+ 1 nn+ 1 n+ 1x = b * + f (x ) y = x + f (x ) ny 其中的函數(shù) F(x)是他們所考慮的模型 ， 其中一個主要的模型他們使用了 ： f ( x) = a * + 2* ( 1 a ) * x* x/ ( 1+x* x) x 其中 a 是一個 參數(shù) ， 通常在 1 和 1 之間 ， b 是一個非常敏感的常數(shù) ， 通常非常接近于 。 如果 b 有一個輕微增長到 ， 軌跡會膨脹 ， 或者螺旋向外至無限 ； 如果 b 有一個輕微的減小 ， 比如 ， 那么軌跡會收縮至奇異吸引子 (The attractor points)。 最后一個重要的影響因素是初始值 ， 典型的初始值 X 和 Y 在 20和 20 之間 。 下面是繪制 GumowskiMira 分形圖的算法： ○ 1 假定 a=， b=， i=0， x=1， y=1。 ○ 2 進(jìn)行 計算： z = x 。x = b * y + w 。w = a * x + 2 * ( 1 a ) * x * x / ( 1 + u ) 。y = w z 。i = i + 1。 ○ 3 如果 i1000， 對點(diǎn) (x*20,y*20)著色，返回步驟 ○ 2 。 如果 i 1000? ， 結(jié)束循環(huán)。 圖形參見：圖 。 分形圖形的位圖操作 1， 圖形的保存：圖形的保存可以分為三個步驟，先獲取用戶想要將圖形保存為的文件名，然后再將當(dāng)前客戶區(qū)的圖形拷貝成位圖，最后將位圖寫入文件。 理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 12 ○ 1 獲取文件名可以使用 CFileDialog 類，初始化 CFileDialog 類后，使用類成員函數(shù) DoModal()顯示對話框。然后使用類成員函數(shù) GetFileName()就可以獲得用戶輸入的文件名。 ○ 2 將當(dāng)前客戶區(qū)域拷貝為位圖操作比較復(fù)雜，這里只能將其簡略化后再加以描述。要將當(dāng)前客戶區(qū)域拷貝為位圖，需要先獲取當(dāng)前窗口的句柄，這個可以使用函數(shù) HWND GetSafeHw nd( ) const。得到。然后需要確定當(dāng)前客戶區(qū)域的大小，而這個可以使用函數(shù) void GetClientRect( LPRECT lpRect ) const。得到，函數(shù)中的參數(shù) lpRect 表示客戶區(qū)域的大小。為了拷貝客戶區(qū)的圖形到內(nèi)存，我寫了一個函數(shù) CopyClientRectToDIB(HWND hander,CRect rect)，其中的 hander為當(dāng)前窗口的句柄， rect 表示客戶區(qū)域的大小。在函數(shù)中，因為這里要將客戶區(qū)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為屏幕坐標(biāo) (如欲深入了解，請參見《 Windows 編程》第五章 圖形基礎(chǔ) )，所以要先用函數(shù) void ClientToScreen( LPRECT lpRect ) const 將顯示區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為屏幕坐標(biāo)。得到需 要的客戶區(qū)域 lpRect 后，將 lpRect 指向的區(qū)域拷貝成 Bitmap，使用 BitBlt(HDC,int,int,int,int,HDC,int,int,unsigned long)?？梢赃_(dá)到要求。最后將指向位圖的句柄返回。 ○ 3 將位圖保存到磁盤，這個操作比較簡單，創(chuàng)建一個使用用戶輸入的文件名的文件，然后將圖形寫入文件即可。 2， 位圖的復(fù)制和剪切。位圖的復(fù)制和剪切原理是相同的，它們不同點(diǎn)在于剪切的時候需要在將選定區(qū)域復(fù)制后將其重畫為白色區(qū)域。復(fù)制圖形區(qū)域為位圖上面我們已經(jīng)