【文章內(nèi)容簡介】 ????????)1()0()1()0(11221233010000011)( 32ppppp tttt其中 P(t)表示位置矢量， P′(t)表示切矢 由上述樣條函數(shù)公式可以看出，構(gòu)造插值三次樣條時除已經(jīng)給定的型值點(diǎn)外，還必須得到型值點(diǎn)處的切矢。為了計(jì)算型值點(diǎn)處的切矢 mi(i=0,1,2,… ,n)，可以利用前、后二曲線段在型值點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件： ? 三次樣條函數(shù)的 m連續(xù)性方程 1,2,1),()( 1 ??????? ??? nixyxy iiii ?代入樣條函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，整理得： ?????? ?????????? ???????????11111111111 32iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihyyhhhhyyhhhmhhhmmhhh得到令????????????????? ?????????????1,2,13111111nihyyhyyChhhiiiiiiiiiiiiiii??????1,2,12 11????? ??niCmmm iiiiii???三次樣條函數(shù)的 m連續(xù)性方程 (xi1,yi1) (xi,yi) (xi+1,yi+1) 計(jì)入首末點(diǎn)的切矢，共有 n+1個未知量 mi(i=0,1,2,…,n) ，但只有 n1個方程，需要補(bǔ)充兩個方程才能求解。指定整條曲線的首末點(diǎn)的端點(diǎn)條件，即可以用追趕法求解三對角方程組得到各型值點(diǎn)出的切矢 （詳見 ） 。 ? 三次樣條函數(shù)的計(jì)算步驟 （ 1）給定一組型值點(diǎn) Pi(xi, yi, zi)， i=0， 1， … ， n，構(gòu)造三個關(guān)于參數(shù) u的插值三次樣條函數(shù)： )(),(),( uzzuyyuxx ???（ 2） 計(jì)算各數(shù)據(jù)點(diǎn) Pi的參數(shù)值 ui， 參數(shù) u有多種選擇 ， 采用累加弧長是最直觀的 。 但由于在得到曲線之前 ， 無法計(jì)算弧長 。 實(shí)際應(yīng)用中多采用累加弦長作為參數(shù)構(gòu)造樣條曲線 ， 并稱其為累加弦長參數(shù)樣條曲線 ， 簡稱參數(shù)樣條曲線 。 ui的計(jì)算公式如下： nkzzyyxxuukiiiiiiik ,2,1,)()()(012121210??????????????所得 ui是一個嚴(yán)格遞增的序列： u0u1 … un （ 3）依據(jù)參數(shù)及型值點(diǎn)的數(shù)據(jù)表 ,分別構(gòu)造插值樣條函數(shù) x=x(u),y=y(u), z=z(u)，得到分段三次多項(xiàng)式函數(shù)組合的參數(shù)樣條曲線 。 u u0 u1 u2 … un x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn z z0 z1 z2 … zn ?實(shí)際應(yīng)用中很難給出數(shù)據(jù)點(diǎn)處的切矢。采用不同的方法計(jì)算切矢，生成的曲線不相同。這說明這種方法還不是純幾何的方法，根據(jù)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，不能唯一地確定曲線。 ?繪圖過程中幾何意義不夠明顯。 ?切矢計(jì)算是整體求解，改變一點(diǎn)，所有切矢計(jì)算結(jié)果都發(fā)生變化，不局部局部修改性。 ?對于均勻參數(shù)三次樣條曲線，當(dāng)相鄰弦長相差懸殊時，弦長短的曲線段因兩端切矢模長與弦長相比過大而出現(xiàn)尖點(diǎn)或紐結(jié)。 ?當(dāng)型值點(diǎn)分布不勻稱時，不適宜構(gòu)造參數(shù)樣條曲面。 ? 三次樣條函數(shù)的特點(diǎn) 圖 75 型值點(diǎn)分布勻稱情形 圖 76 型值點(diǎn)分布不勻稱情形 1963年首先在飛機(jī)設(shè)計(jì)中使用。 根據(jù)如下的張量積曲面公式 ,一張曲面可以表示成 : )()(),( vMFuFvur T?根據(jù)“線動成面”的思想， Furgeson曲面的矩陣表示如下： ?????????????????????????????????????????????????????????32uvuvuuuvuvuuvvvv32vvv11100121023002301)1,1(r)0,1(r)1,1(r)0,1(r)1,0(r)0,0(r)1,0(r)0,0(r)1,1(r)0,1(r)1,1(r)0,1(r)1,0(r)0,0(r)1,0(r)0,0(r1122123301000001)uuu1()v,u(r用上述 Furgeson曲面片組合的曲面在連接處滿足位置連續(xù)和導(dǎo)矢連續(xù)，即 C1連續(xù)。其關(guān)鍵在于曲面片角點(diǎn)導(dǎo)矢的計(jì)算 。 ? Furgeson曲面 (三次均勻參數(shù)樣條曲面 )* (可選講 ) B233。zier曲線是法國雷諾汽車公司的工程師 B233。zier于 1962年提出 。 1972年在UNISURF系統(tǒng)中正式投入使用 。 B233。zier曲線采用一組特殊的基函數(shù) ， 使得基函數(shù)的系數(shù)具有明確的幾何意義 。 其曲線方程： ???niii tft0)()( ap 0≤t≤1 其中從 a0到 an首尾相連的折線稱為 B233。zier控制多邊形。 ???????nijj1i1jjnjii tCC)1()t(fi=0,1,…,n 333223210t)t(ft2t3)t(ftt3t3)t(f1)t(f???????當(dāng) n=3時 : B233。zier曲線和曲面 a0 a1 a2 a3 (注： B233。zier本人也不能解釋該公式的來源 ) f0(t) f1(t) f2(t) f3(t) 1 1 0 ai為相對位置矢量 ???ninii tBt1, )()( dpiniinni ttCtB ??? )1()(,英國的 Forest于 1972年將上述 B233。zier曲線中的控制多邊形頂點(diǎn)改為絕對位置矢量的 Bernstein基表示形式： 0≤t≤1 i=0,1,? , n !i)!in(!nC in ??33,323,223,133,0)()1(3)()1(3)()1()(ttBtttBtttBttB???????當(dāng) n=3時 : B0,3(t) B2,3(t) B1,3(t) B3,3(t) 三次 B233。zier曲線的矩陣表示形式為： ? ??????????????????????????????32103213310363003300011)(ddddp ttttd0 d1 d2 d3 di為絕對位置矢量 ?單一 B233。zier曲線不能滿足描述復(fù)雜形狀的要求 ， 必須采用組合 B233。zier曲線 。 ?參數(shù)連續(xù) 是對曲線光順性的過分要求 ， 在組合曲線的連接點(diǎn)處 ， 參數(shù)連續(xù)不僅要求切矢具有共同的切矢方向 ， 而且要求切矢模長相等 。 ?幾何連續(xù) 只要求在連接點(diǎn)處切矢方向相同 ， 切矢模長可以不相等 ， 由此產(chǎn)生了不同控制手段的多種曲線 ， 如 Gamma(?)樣條曲線 、 Beta(?)樣條曲線等 ，給曲線設(shè)計(jì)提供了極大的靈活性 。 ?若要組合 B233。zier曲線在連接點(diǎn)處具有一定的連續(xù)性 ， 構(gòu)成曲線的位置點(diǎn)矢量之間存在約束條件 ， 可用 B233。zier曲線方程的一階 、 二階導(dǎo)數(shù)推導(dǎo) 。 ?B233。zier曲線的優(yōu)點(diǎn)是具有明確的幾何意義 ， 給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的控制多邊形確定曲線的形狀 ， 在設(shè)計(jì)過程中具有很強(qiáng)的可操作性 。 ?對于局部參數(shù)的 B233。zier曲線 ， 當(dāng)弦長差異較大時 ， 弦長較長的那段曲線過分平坦 ， 弦長較短的那段曲線則臌得厲害 。 d0 d1 d2 d3 組合 B233。zier曲線示意圖 ? B233。zier曲線的特點(diǎn) 給定空間 16個位置點(diǎn) rij，可以確定一張三次 Bezier曲面片。 首先生成四條 v向的三次 Bezier曲線： 3,2,1,0)()( 3,30?? ??ivBrvr jjiji ?? 根據(jù) “ 線動成面 ” 的思想，按設(shè)定間隔取 ，在四條 v線上取點(diǎn)，沿 u向生成三次 Bezier曲線： ???303,* )()()(iii uBvrur? B233。zier曲面片 rij u v u v V* u v ]1,0[* ?v將 u,v向曲線方程合并得： ? ??? ????30303,3,303, )(),()()()(),(i jjiiii vBjiruBuBvrvur??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ??? ??3233323130232221201312111003020210323,33,23