【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線性加權(quán)綜合法的特點(diǎn)： （ 1） 該方法突出了各備選方案指標(biāo)值的一致性 ， 即可以平衡評(píng)價(jià)指標(biāo)值較小的指標(biāo)影響的作用； （ 2） 在綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)中權(quán)重系數(shù)大小的影響作用不是特別明顯 ， 而對(duì)指標(biāo)值的大小差異相對(duì)較敏感； （ 3） 要求所有的評(píng)價(jià)指標(biāo)值 （ 無量綱 ） 都大于或等于 1； （ 4） 非線性加權(quán)綜合法相對(duì)線性加權(quán)綜合法計(jì)算復(fù)雜 。 2021/6/16 中原工學(xué)院 理學(xué)院 24 四、綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型 3. 逼近理想點(diǎn)（ TOPSIS）方法 實(shí)際中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的一類綜合評(píng)價(jià)問題，即首先設(shè)定系統(tǒng)的一個(gè) 理想（樣本）點(diǎn) ),(**2*1 mxxx ? ，然后對(duì)于每一個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象與理想點(diǎn)進(jìn)行比較。如果某一個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象),(21 imiixxx ? 在某種意義下與理想點(diǎn) ),(**2*1 mxxx ? 最接近，則可以認(rèn)為被評(píng)價(jià)對(duì)象 ),(21 imiixxx ? 就是最好的。 基于這種思想的綜合評(píng)價(jià)方法稱為 逼近理想點(diǎn)的排序方法（ Th e te ch ni qu e fo r or de r pr ef er e nc e by si mi la ri ty t o ideal sol ution ，簡(jiǎn)稱為 TOPSIS ）。 2021/6/16 中原工學(xué)院 理學(xué)院 25 3. 逼近理想點(diǎn)（ TOPSIS）方法 假設(shè)理想點(diǎn)（系統(tǒng)）為 ),( **2*1 mxxx ? ，對(duì)于一個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象),( 21 imii xxx ?，定義二者之間的加權(quán)距離為 *1( , ) , 1 , 2 , ,mi j i j jjy w f x x i n????， 其中jw為權(quán)系數(shù)，),( *jij xxf為ijx與*jx之間的某種意義下距離。 通常情況下可取簡(jiǎn)單的歐氏距離，即取 2** )(),( jijjij xxxxf ?? ，則綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為 nixxwymjjijji ,2,1,)(12* ???? ??。 經(jīng)過計(jì)算，按照 ),2,1( niy i ?? 值的大小對(duì)各被評(píng)價(jià)方案進(jìn)行排序選優(yōu)，顯然是其值越小方案就越好。特別地，當(dāng)某個(gè) 0?iy 時(shí)，即達(dá)到了理想點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的方案就是最優(yōu)的。 返回 2021/6/16 中原工學(xué)院 理學(xué)院 26 五、動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)方法 2021年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的 A題： “ 長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè) ” 問題的第一部分給出了 17個(gè)觀測(cè)站（城市）的最近 28個(gè)月的實(shí)際檢測(cè)指標(biāo)數(shù)據(jù)，包括反映水質(zhì)污染程度的最主要的四項(xiàng)指標(biāo)：溶解氧（ DO）、高錳酸鹽指數(shù)（ CODMn）、氨氮 (NH3N) 和 PH值，要求綜合這四種污染指標(biāo)的 28個(gè)月的檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì) 17個(gè)城市的水質(zhì)情況做出綜合評(píng)價(jià)。 1. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)問題的提法 在以上 綜合加權(quán)評(píng)價(jià)方法中，關(guān)于權(quán)值 ( 1 , 2 , , )jw j m?都是屬于 定常權(quán) ，即權(quán)值均為常數(shù)。 雖然這種方法簡(jiǎn)單易行，對(duì)某些較簡(jiǎn)單的實(shí)際問題也是可行的，但是主觀性強(qiáng)、科學(xué)性差，有些時(shí)候不能很好地為決策提供有效的依據(jù)。 2021/6/16 中原工學(xué)院 理學(xué)院 27 五、動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)方法 《 地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn) 》 主要項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)限值 單位： mg/L 序 號(hào) 分 類 標(biāo)準(zhǔn)值 項(xiàng)目 Ⅰ 類 Ⅱ 類 Ⅲ 類 Ⅳ 類 Ⅴ 類 劣 Ⅴ 類 1 溶解氧 (DO) ≥ （或飽和率 90%） 6 5 3 2 0 2 高錳酸鹽 (CODMn) ≤ 2 4 6 10 15 ∞ 3 氨氮（ NH3N） ≤ ∞ 4 PH值（無量綱） 69 2021/6/16 中原工學(xué)院 理學(xué)院 28 根據(jù)國標(biāo)（ GB 3838— 2021）的規(guī)定，關(guān)于地表水的水質(zhì)可分為 Ⅰ 類、 Ⅱ 類、 Ⅲ 類、 Ⅳ 類、 Ⅴ 類、劣 Ⅴ 類共六個(gè)類別，每一個(gè)類別對(duì)每一項(xiàng)指標(biāo)都有相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值（區(qū)間），只要有一項(xiàng)指標(biāo)達(dá)到高類別的標(biāo)準(zhǔn)就算是高類別的水質(zhì)，所以實(shí)際中 不同類別的水質(zhì)有很大的差別 ，而且 同一類別的水在污染物的含量上也有一定的差別 。 在對(duì) 17個(gè)城市的水質(zhì)做綜合評(píng)價(jià)時(shí)，要充分考慮這些指標(biāo)值不同類別水的 “ 質(zhì)的差異 ” 和同類別水的 “ 量的差異” ,在此簡(jiǎn)稱為 “ 質(zhì)差 ” 和 “ 量差 ” 。因此，這是一個(gè)較復(fù)雜的多因素多屬性的綜合評(píng)價(jià)問題。 五、動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)方法 1. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)問題的提法 2021/6/16 中原工學(xué)院 理學(xué)院 29 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)問題的一般提法： 現(xiàn)設(shè)有 n 個(gè) 被評(píng)價(jià)對(duì)象（或系統(tǒng)） ，分別記為12, , , ( 1 )nS S S n ? ，每個(gè)系統(tǒng)都有 m 屬性（或評(píng)價(jià)指標(biāo)） ，分別記為12, , , ( 1 )mx x x m ? ，對(duì)于每一個(gè)屬性ix 都可以分為 K 個(gè)等級(jí)，記為12, , ,Kp p p ( 1 )K ? 。而對(duì)于每一個(gè)等級(jí)kp 都包含一個(gè)區(qū)間范圍，記為( ) ( )[ , )iikkab ，且( ) ( )iikkab ? ( 1 , 2 , , 。 1 , 2 , , )i m k K?? ，即當(dāng)屬性( ) ( )[ , )iii k kx a b? 時(shí)，則屬性ix 屬于第 k 類kp ( 1 )kK?? 。也就是對(duì)于每一個(gè)屬性而言，既有不同類別的差異， 同類別的又有不同量值的差異。對(duì)于這種既有“ 質(zhì)差 ”，又有“ 量差 ”的問題，如果用通常的定常權(quán)綜合評(píng)價(jià)法做綜合評(píng)價(jià)顯然是不合理的，然而合理有效的方法是 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)方法 。 2021/6/16 中原工學(xué)院 理學(xué)院 30 根據(jù)這個(gè)問題的實(shí)際背景和綜合評(píng)價(jià)的一般原則，解決問題的 主要過程分三步完成 ： ?將各評(píng)價(jià)指標(biāo)作標(biāo)準(zhǔn)化處理； ?根據(jù)各屬性的特性構(gòu)造動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)； ?構(gòu)建問題的綜合評(píng)價(jià)模型，并做出評(píng)價(jià)。 實(shí)際問題中的評(píng)價(jià)指標(biāo)可能有極大型的、極小型的、中間型，或區(qū)間型的四種情況，也有時(shí)各有不同的量綱，這就需要根據(jù)不同情況分別作標(biāo)準(zhǔn)化處理，即對(duì)三種不同類型指標(biāo)變換成統(tǒng)一的、無量綱的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)。 五、動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)方法 2. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法 2021/6/16 中原工學(xué)院 理學(xué)院 31 評(píng)價(jià)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理 2. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法 (1) 極大型指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化 如果指標(biāo)ix 為極大型指標(biāo)，首先要將數(shù)據(jù)指標(biāo)作極小化處理，即通過倒數(shù)變換1iixx? ? ，或 ( m ax { } )i i i i ix M x M x? ? ? ? 實(shí)現(xiàn)，然后再作極差變換將其數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，即令 ( 1 )iiiiixmx i mMm????? ? ? ????， 其中 m i n { } , m ax { }i i i im x M x? ? ? ??? 。則ix 被化為無量綱的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)，對(duì)應(yīng)的分類區(qū)間也隨之相應(yīng)地變化，在這里為了方便仍記為 ( ) ( )[ , ) ( 1 , 2 , , 。 1 )iikka b k K i m? ? ? 。 2021/6/16 中原工學(xué)院 理學(xué)院 32 （ 2 ） 中間型指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化 對(duì)于中間型指標(biāo)，即越靠近某個(gè)中間值評(píng)價(jià)效果越好。如果指標(biāo)ix 是關(guān)于均值對(duì)稱的，則用變換 ( 1 )iiiixxx i mx?