【文章內(nèi)容簡介】 過程，我們以勞動(dòng)力人均資本重新表述資本積累方程： （ ） ?KsYKIK ?? ?????knkfsk ????? )()( ?? 其中， 。這個(gè)非線性方程就是索洛 斯旺模型的基本微分方程，由式可以看出它僅依賴于資本 勞動(dòng)比率 ，而 可以理解為是資本 勞動(dòng)比 k的有效折舊率，如果儲(chǔ)蓄率 s為 0，則 k將下降，這一部分原因是因?yàn)?K以速率 進(jìn)行折舊，一部分是因?yàn)槿丝?L以速率 n增長。圖 32顯示了式（ ）的運(yùn)作，該圖包含三條曲線，分別代表均以資本 勞動(dòng)比率 k為自變量的三個(gè)函數(shù)。 LLn /??LKk /? )( ??n? 上面一條曲線是生產(chǎn)函數(shù) ，下面一條曲線 描述的是與該生產(chǎn)函數(shù)形狀相同，只是被多乘以了一個(gè)正比例 s常數(shù)的人均投資量。需要注意的是 曲線自原點(diǎn)開始（ f(0)=0），有正的斜率（ ），而且隨著 k增加變得越來越平坦（ ）。稻田條件意味著 曲線在 k=0處是垂直的，隨著 k趨近于無窮大它變得平坦。還有一條曲線 是一條從原點(diǎn)開始有正的斜率 的直線，它表示的是在考慮資本損耗和勞動(dòng)力數(shù)量的增加對人均資本的影響的情況下，為保持固定的勞動(dòng)力人均資本不變的新的人均投資量。 ()fk()s f k?()s f k?( ) 0fk? ?( ) 0fk?? ? ()s f k?()nk??? n ?? 考慮一個(gè)有著每人初始資本存量 的經(jīng)濟(jì)，圖 32表明人均投資量 等于在此點(diǎn)的曲線的高度。人均消費(fèi)量等于此點(diǎn)上 和 曲線之間的垂直距離。 k的變化由 與 之間的垂直距離給定。 曲線與 線之間的交點(diǎn)決定了資本的穩(wěn)態(tài)水平 。 圖 32 索洛 斯旺模型 (0) 0k ?()s f k?()fk ()s f k?()s f k? ()nk???()s f k? ()nk???*kc 總投資 k(0) k* k f(k) sf(k) 穩(wěn)態(tài)增長 我們把穩(wěn)態(tài)定義為一種其中每一變量都以不變速率增長的狀況。如圖 32所示，假定經(jīng)濟(jì)體初始人均資本存量 ，在該點(diǎn)處，人均投資量超出了為保持人均資本不變所必需的數(shù)量，人均資本增加， k隨時(shí)間推移增加，這種情況一直持續(xù)到 處為止，在該點(diǎn)處 ，人均資本存量保持不變， 。如果經(jīng)濟(jì)體初始的人均資本存量大于 ，對應(yīng)于橫軸上 右側(cè)的 k值，人均投資量少于為保持資本 勞動(dòng)比率不變所必需的數(shù)量，此時(shí)人均資本量減少， 值為負(fù)，這種趨勢一直持續(xù)到人均資本存量下降 到處為止。在索洛斯旺模型中，穩(wěn)態(tài)對應(yīng)于 式中的 ，也就是圖 32中 曲線與 線之間的交點(diǎn)， 滿足如下條件： （ ） (0) 0k ?*kk? ( ) ( )s f k n k?? ? ? ?0k?*k *kk*kk?knkfsk ????? )()( ??knkfsk ????? )()( ??0k? ()s f k? ()nk???*k**( ) ( )s f k n k?? ? ? ? 因?yàn)樵诜€(wěn)態(tài)中 k是不變的，相應(yīng)的人均產(chǎn)出 y和人均消費(fèi) c也就分別固定在值 和 人均數(shù)量 k、 y和 c在穩(wěn)態(tài)中都不增長。這就意味著在穩(wěn)態(tài)中變量 K、 Y和 C的水平以不變的外生的人口增長率 n的速率增長。 **()y f k? **(1 ) ( )c s f k? ? ? 進(jìn)一步來分析穩(wěn)定狀態(tài)下，經(jīng)濟(jì)在遭到 “ 沖擊 ” 之后人均產(chǎn)出的變化，這里所指的 “ 沖擊 ”包括投資率 s的增加和人口增長率 n的增加。首先來看投資率的增加，如圖 33所示，假定人均產(chǎn)出已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)值，消費(fèi)者把投資率 s從提高到 ，這使得曲線 向上移動(dòng)到 ，對應(yīng)于初始穩(wěn)態(tài)下的人均資本量 ，變化后的人均投資量超出了為保持人均資本量不變所必需的數(shù)量，資本 勞動(dòng)比率增加，這種情況一直持續(xù)到 為止，此時(shí)所對應(yīng)的人均資本量達(dá)到一個(gè)新的更高的值 。結(jié)合生產(chǎn)函數(shù)我們不難看出，較高的人均資本對應(yīng)的人均產(chǎn)出也較高，則經(jīng)濟(jì)體比以前更加富裕了。投資率的增加最終導(dǎo)致人均產(chǎn)出的增加。 s? ()s f k? ()s f k??*k( ) ( )s f k n k??? ? ? ?**k 圖 33 投資率的增加圖 圖 34 人口增長率的上升 k* s’f(k) k sf(k) k** k* sf(k) k** k ()nk???()nk????()nk??? 接下來來看人口增長率增加的情況，如圖 34所示，假定經(jīng)濟(jì)體已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，人口增長率 n從增加到 ，曲線 將繞原點(diǎn)向左旋轉(zhuǎn)至 。對應(yīng)于初始穩(wěn)態(tài)下的人均資本量 ，人口增長后的人均投資量低于為保持人均資本量不變所必需的數(shù)量，從而資本 勞動(dòng)比率開始下降，一直持續(xù)到 為止，此時(shí)所對應(yīng)的人均資本量為 ，低于人口增長前的數(shù)量，經(jīng)濟(jì)體比以前更加貧困了。人口增長率的增加最終導(dǎo)致人均產(chǎn)出的下降。 n? ()nk???()nk???? *k( ) ( )s f k n k??? ? ? ?**k 資本積累的黃金律 資本積累和產(chǎn)出不是人們追求的最終目標(biāo)，人們追求經(jīng)濟(jì)增長最終目標(biāo)是消費(fèi)水平和福利的最大化。長期消費(fèi)總水平最高的穩(wěn)定狀態(tài)被稱為資本積累的 “ 黃金律水平 ” 。在經(jīng)濟(jì)學(xué)意義上黃金律被解釋為： “ 如果我們對每一當(dāng)前和未來世代的成員提供相同數(shù)量的消費(fèi) —— 也就是說我們給予未來世代的并不比給予我們自己的要少 ——?jiǎng)t人均消費(fèi)的最大數(shù)量為 。 ” goldc 對于一個(gè)給定的生產(chǎn)函數(shù)與給定的 n及 值，儲(chǔ)蓄率 s的每個(gè)值存在惟一一個(gè)穩(wěn)態(tài)值 。設(shè)這種關(guān)系可用來 表示，且有 。人均消費(fèi)的穩(wěn)態(tài)水平為： （ ） 根據(jù)式（ ）可進(jìn)一步把 的表達(dá)式寫為： （ ） ?0* ?k)(* sk 0/)(* ?dssdk)]([)1( ** skfsc ???*c)()()]([)( *** sknskfsc ???? ? 圖 35顯示了式（ ）中所隱含的 與 s之間的關(guān)系。圖中縱軸表示對應(yīng)于每一儲(chǔ)蓄率的人均消費(fèi)的穩(wěn)態(tài)水平，使人均穩(wěn)態(tài)消費(fèi)達(dá)到最大時(shí)的儲(chǔ)蓄率被稱為 “ 黃金律儲(chǔ)蓄率 ” ，在此以 來表示。對于較低水平的 s， 是 s的增函數(shù)，而對于較高水平的，則是的減函數(shù)。當(dāng)其導(dǎo)數(shù)為零，即 時(shí)， 達(dá)到最大值。因?yàn)橛? ，則方括號之內(nèi)的項(xiàng)必須為零。如果用 來表示對應(yīng)于 最大值的 k的穩(wěn)態(tài)值 ，那么決定 的條件是： （ ） 相應(yīng)的儲(chǔ)蓄率可被表示為 ，與之相對應(yīng)的穩(wěn)定狀態(tài)的人均消費(fèi)水平為： （ ） *cgolds*c0/)]()([ ** ????? dsdknkf ?0/)]()([ ** ????? dsdknkf ? *c 0/* ?dsdkgoldk*c *kgoldk()g o l df k x n ?? ? ? ?g ol dg ol dg ol d knkfc ???? )()( ?golds 圖 35資本積累的黃金律 c* cgold s sgold 圖 36描述了黃金律的運(yùn)作。考慮三種可能的儲(chǔ)蓄率 、 、 ，且有 ，相應(yīng)的人均資本存量分別為 、 、 ，人均消費(fèi)分別為 、 、 。根據(jù)圖 32，人均消費(fèi)量 c在每種情況下都等于生產(chǎn)函數(shù) 和 曲線之間的垂直距離。對于每一 s， 曲線與 線之間的交點(diǎn)決定了資本的穩(wěn)態(tài)水平 。穩(wěn)態(tài)人均消費(fèi) 在 時(shí)取得最大值，這是因?yàn)樵谠擖c(diǎn)生產(chǎn)函數(shù) 的切線平行于 線，使得 的儲(chǔ)蓄率為 曲線與 線相交點(diǎn)對應(yīng)的儲(chǔ)蓄率。 1s golds 2s 21 sss gol d ??*1kgoldk*2k*1cgoldc*2c()fk ()s f k?()s f k?()nk???()nk???*k*cgoldkk ?*()fk ()nk??? goldkk ?*()s f k? ()nk??? 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 滿足資本積累的黃金法則，此時(shí)經(jīng)濟(jì)體處于帕累托最優(yōu)狀態(tài)?？紤]一個(gè)在圖 36中以儲(chǔ)蓄率 所刻畫的經(jīng)濟(jì)，因?yàn)橛? ，所以 ，且 。從穩(wěn)態(tài)出發(fā)，儲(chǔ)蓄率被永久性地降低到 。人均消費(fèi) c最初以離散數(shù)量增加，然后在向新的穩(wěn)態(tài)值 轉(zhuǎn)移的過程中單調(diào)下降。由于 ，在全部轉(zhuǎn)移時(shí)期以及新的穩(wěn)態(tài)中 c都超過了 。因此，當(dāng) 時(shí)，人均消費(fèi)在所有時(shí)間點(diǎn)上都可以通過降低儲(chǔ)蓄率而得以增加，也就是說人均消費(fèi)路徑在所有時(shí)間點(diǎn)都位于另一條可行路徑之下，此時(shí)經(jīng)濟(jì)處于過度儲(chǔ)蓄狀態(tài)，這種經(jīng)濟(jì)被稱為 “ 動(dòng)態(tài)無效率 ” (dynamically inefficient)。 goldss ? *k2sgol dss ?2goldkk ?*2 goldcc ?*2goldsgoldcgoldcc ?*2*2c goldss ?