navierstokes方程的解(編輯修改稿)
2025-06-15 19:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ?? ? 0342 2 ???? kkkk? ?? ?? ? 0312 ???? kkkk3??k 1??k 0?k 2?k Stokes流動 函數(shù) f1(r)的特解可取如下形式 f1(r)＝ r ?3； f1(r)＝ r ?1； f1(r)＝ 1； f1(r)＝ r 2 函數(shù) f1(r)的通解為 (15) 由式 (9)及 (12)， 得 (16) (17) A、 B、 C、 D為任意常數(shù) ， 可以由邊界條件來確定 。 ? ? 231 DrCrBrArf ????? ? 232 222 DrCrBrArf ?????? ? DrrBrf 1023 ?? Stokes流動 由 f1(∞)＝ U0， f2(∞)＝ U0， 得 C＝ U0； D＝ 0 由 f1(r0)＝ 0， f2(r0)＝ 0， 得 即 00030??? UrBrA022 0030???? UrBrA03021 UrA ? 0023 UrB ?? Stokes流動 于是 (18) (19) (20) ? ? 00301 12321 Urrrrrf?????????????????? ? 00302 14341 Urrrrrf??????????????????? ? 0203 23 Urrrf ?? Stokes流動 速度與壓力分布關系式為 (21) (22) (23) 這是 Stokes于 1851年求得的結論 ， 通常稱為Stokes解 。 ? ?????????????????? 3000r 21231c o s,rrrrUru ??? ??????????????????? 3000θ 41431s i n,rrrrUru ??? ? ??? c os23, 0200 Urrprp ?? Stokes流動 現(xiàn)根據(jù) Stokes解計算無界不可壓縮粘性流體繞過小球流動時 ， 流體對小球的作用力 。根據(jù)運動相對性原理 ， 該作用力的大小等于小球在無界粘性流體中作勻速直線運動時的阻力 。 Stokes流動 根據(jù)廣義 Newton粘性應力公式 (廣義 Newton內(nèi)摩擦定律 )， 應力分布為 (24) (25) (26) (27) ?????? c os3c os292 04300200rrr UrrUrrprup ?????????????? c os2312 04300rθθθ Urrpruurp ????????? ??????????? ?? c os23c t g2 04300θr Urrprurup ????????? ?????????? s i n231 0430θθrθrr θ Urrruruur ???????? ???????? Stokes流動 在球面上的應力 (28) (29) 下圖繪出了圓球上法向應力和切向應力的分布圖 。 由圖可知 ， 流體動壓力沿流動方向按余弦曲線連續(xù)地降低 ， 而切向應力沿圓球表面不改變符號 ，并按正弦曲線規(guī)律變化 ， 在 ?＝ ?/2處達到最大值 。 ??? c os123 000rrrr 0 Urp ??????? s i n123 00rrr θ 0 Ur???圓球繞流時球表面的應力分布 r0 sin? d? ? r ? ? z ? ? 2( p0?? rr )r0 3? U0 2? r? r0 3? U0 法向應力 切向應力 Stokes流動 這些應力對應于流體對圓球的作用 ， 它的合力即等于圓球在流體中以等速 U0運動而方向和 U0相反時 ， 圓球所承受的阻力 。 根據(jù)式 (28)、 (29)即可求得在 z方向球所受到的合力 (即球所受到的阻力 )。 法向應力在 z方向的合力為 ???????? ? ds i n2c osc os23dc os 000 000rrrrz 0 rrrUpAPA ??? ???????? ?????00z 2 UrP ??? Stokes流動
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