清華大學講義數(shù)值方法：第七章-函數(shù)逼近(編輯修改稿)
2024-10-11 18:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ) ( ) 0 , 0 , 1 , , .nbj j ka jx a x f x x d x k n? ? ???? ? ? ??????? 于是有 0 ( , ) ( , ) , 0 , 1 , , .nk j j kj a f k n? ? ?? ??? () 其中 ( , ) ( ) ( ) ( )bk j k ja x x x d x? ? ? ? ?? ? ， ( , ) ( ) ( ) ( )bkkaf x f x x d x? ? ?? ? 。 （ ）是關(guān)于 01, , , na a a 的線性方程組，稱為法方程。 由于 01, , , n? ? ? 在 2[ , ]L ab? 上線性無關(guān)，所以（ ）的 系數(shù)矩陣非奇異，于是（ ）有唯一解 * , 0 ,1, , .kka a k n?? 令 **0( ) ( )njjjs x a x???? () 下面將證明 *s 滿足（ ），即對任意 s?? 有 * 22f s f s? ? ? （ ） 因為 * , 0,1, ,ja j n? 為（ ）的解，所以有 *0( , ) 0nj j kj af??? ???。 0,1, ,kn? 。 由 ()知，對任意 s?? 有 *( , ) 0s f s??，從而也有 **( , ) 0f s s s? ? ?。因此對任意 s?? 有 9 22 **2 2f s f s s s? ? ? ? ? 22* * * *2 ( , )f s f s s s s s? ? ? ? ? ? ? 22**f s s s? ? ? ? 2* 2fs?? 這就證明了 ()，從而證明了 f 在 ? 中最佳平方逼近的存在唯一性。 令 *( ) ( ) ( )x f x s x? ??，稱2?為最佳平方逼近的誤差，容易得到 22 *0 ( , )nkkkf a f??????。 () 考慮特殊情況， [ , ] [ 0 , 1 ] , ( ) , 0 , 1 , , .kka b x x k n?? ? ? 權(quán)函數(shù) 1?? 。對于 2[0,1]fL? 在 ? ?1, , , nspa n x x?? 中 最佳平方逼近多項式可以表示為 * * * *01() nnnp x a a x a x? ? ? ?。 相應(yīng)于法方程（ ）中系數(shù)矩陣為 1111211 1 1( 0 , 1 ) ( )2 3 21 1 11 2 2 1n ijnHh nn n n????? ????? ???? ? ??? （ ） 其中 11ijh ij? ??。矩陣（ ）稱為 Hilbert 矩陣。 由于 Hilbert 矩陣是病態(tài)的，因此直接從法方程來求解 * , 0,1, ,ja j n? 是相當困難的。 實用的方法是采用正交函數(shù)作 ? 的基。 （ II）用正交函數(shù)作最佳平方逼近 設(shè) 2 [ , ],f L a b?? 01, , , n? ? ? 是 2[ , ]L ab? 中線性無關(guān)的函數(shù) 。利用 GramSchemidt 方法可以得到正交函數(shù)組 ? ?: 0,1, ,j jn? ? ，即 : 0,1, ,j jn? ? 滿足 10 220,( ) ( ) ( ),bija jijx x x dxij? ? ? ????? ????? 令 ? ?01, , , nsp an ? ? ??? 利用（ ）知， f 在 ? 中的最佳平方逼近函數(shù)為 * 22( , ) , 0 , 1 , ,jjjfa j n????。 由此得 * 20 2( , )( ) ( )n jnjjjfs x x? ???? ?。 （ ） 11 167。 3 最小二乘法 由觀察得 )(xf 的一組離散數(shù)據(jù) ix 0x 1x 2x … mx )( ii xfy ? 0y 1y 2y … my 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法是：給定函數(shù)類 Ψ ，在 Ψ 上， 根據(jù)數(shù)據(jù)作出逼近曲線 )(* xS 使得 ? ?? ? ???mi mi iiii yxSyxS0 0 22* ])([])([ ， ???s （ II）多項式擬合 ? ? nnxxxsp a n ???? ,1 2 ? 定義 設(shè) )(xf 在 m+1 個節(jié)點 mxxx , 10 ? 上給定的離散函數(shù)， 最小二乘法為求 nn xP ??)(* 使 ? ?? ? ?????mj mj jnjjnnjnjj xPxfxpxPxfx0 0 22* )]()()[(m i n )]()()[( ?? 其中 )(x? 為 [a,b]上權(quán)函數(shù)，并假定 0)( ?x? ， ],[ bax?? 。 )(* xPn 稱為 f 在 m+1 個節(jié)點上的最小二乘解。 nn xP ??)( nnn xaxaaxP ???? ?10)( ? ?? ??? mj ni ijijjn xaxfxaaaF 0 0 210 ])()[(),( ?? ? ? ??? ? ?? ???mj mj ni ijijjni ijijj xaxfxxaxfx0 0 200 * ])()[(])()[( ?? ),(, m i n ),( 1010**1*0 nnnaaaFaaaaaaF ?
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