【文章內(nèi)容簡介】 xF 。 (3) )( )(lim0 xF xfxx ???存在 ,(或?yàn)?? ), 則)( )(lim)( )(lim 00 xF xfxF xf xxxx ??? ?? （證明見書 P151） 推論 若 0xx? 時(shí) ， )()(xFxf??仍為 00 型 ,且 )(xf? ， )(xF? 仍滿足羅必塔法則條件 ， 則 : )( )(l i m)( )(l i m)( )(l i m 000 xF xfxF xfxF xf xxxxxx ???????? ??? 講解書例 1 到例 14 中部分例 增加 例 1 求 x xx sincos1lim0?? 解 : 所求極限為 00 型 ,運(yùn)用羅必達(dá)法則 ,得 : 0c oss i nl i m)(s i n )c os1(l i ms i nc os1l i m 000 ??? ???? ??? xxx xx x xxx 注 1 運(yùn)用羅必達(dá)法則求極限時(shí) ,能簡化的 ,要進(jìn)行簡化 ,并要注意每次應(yīng)用前要切實(shí)檢查仍為待定型極限 . 例 2 求)1(6 12lim0 ? ??? xxxx eexe 解 : )1(6 12lim0 ? ??? xxxx eexe =xxxxxx eeexe 1lim)1(6 12lim00 ?? ??? = 1622lim0 ???? x xxxx e exee = 616 12lim0 ???xx 重點(diǎn)及 難點(diǎn) ： 洛必達(dá)法則 的應(yīng)用 本授課單元教學(xué)手段與方法： 采用 求解教學(xué)方法 幫助學(xué)生解決極限計(jì)算問題，通過大量例子 鞏固和提高 運(yùn)算 技能和技巧的教學(xué)方法 ，使學(xué)生熟練掌握 未定式 極限的求法。 本授課單元思考題、討論題、作業(yè)： 011lim ( )1xx xe? ? ? 154lim 1xxxx???? 201 cos 2lim 3xxx?? 作業(yè)： P194： 8（ 1）（ 3）（ 4） 本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等 ，必要時(shí)可列出） 《高等數(shù)學(xué)》 ――― 同濟(jì)大學(xué)第五版 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用基礎(chǔ)（一）微積分 課程教案 授課類型 理論課 授課時(shí)間 2 節(jié) 授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第四章 中值定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 167。 未定式的定值法 羅必達(dá)法則 （續(xù)） 本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求： 會用洛必達(dá)法則求不定式的極限 ； 本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）： . 基本內(nèi)容 ： 羅必達(dá)法則 (II) 設(shè) (1) 當(dāng) ??x 時(shí) )(xf 和 )(xF 的極限為 0。 (2) 當(dāng) 0, ?? MMx 時(shí) , )(xf? 和 )(xF? 都存在 ,且 0)( ?? xF 。 (3) )( )(lim xF xfx ????存在 ,(或?yàn)?? ), 則)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf xx ??? ???? 二、 ?? 型 (III)設(shè) (1) 當(dāng) 0xx? 時(shí) , ???? )(,)( xFxf 。 (2) 在點(diǎn) 0x 的某一去心鄰域內(nèi) , )(xf? 及 )(xF? 都存在 ,且 0)( ?? xF (3) )( )(lim0 xF xfxx ???存在 ,(或?yàn)?? ), 則)( )(lim)( )(lim 00 xF xfxF xf xxxx ??? ?? 2. 羅必達(dá)法則 (IV)設(shè) (1) 當(dāng) ??x 時(shí) , ???? )(,)( xFxf 。 (2) 當(dāng) 0, ?? MMx 時(shí) , )(xf? 和 )(xF? 都存在 ,且 0)( ?? xF 。 (3) )( )(lim xF xfx ????存在 ,(或?yàn)?? ), 則)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf xx ??? ???? 例 1 求 )0,0(s inln s inlnlim0 ???? plpxlxx 解 : 所求極限為 ?? 型 ,運(yùn)用羅必達(dá)法則 (III),得 : lxpxppxlxlpxpxplxlxlpxlxxxx s i nc oss i nc osl i ms i nc oss i nc osl i ms i nln s i nlnl i m000 ??? ????? lxpxpxlxpl xx s ins inlimc osc oslim 00 ?? ??? lxpxpl x sinsinlim1 0????? 1c osc oslim0 ???? ?? lppllxl pxppl x 三、其它待定型 00 ,1,0,0 ?????? ? 它們總可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q為 00 型或 ?? 型 ,然后再運(yùn)用羅必達(dá)法則 . 重點(diǎn)：羅必達(dá)法則的應(yīng)用 難點(diǎn)：其它待 定型 00 ,1,0,0 ?????? ?化為 00 型或 ?? 型 的極限計(jì)算 例 2 求 xxx lnlim 20?? 解 : 所求極限為 ??0 型 ,故可化為 : 0l i m212l i mlnl i mlnl i m 203102020 ?????? ???? ??????? xxxx xxxxxxx 一般的 ,有 0,0lnlim0 ???? ?? xxx 本授課單元教學(xué)手段與方法： 采用 求解教學(xué)方法 幫助學(xué)生解決極限計(jì)算問題，通過大量例子 鞏固和提高 運(yùn)算 技能和技巧的教學(xué)方法 ，使學(xué)生熟練掌握除 00 型或 ?? 型 外的 未定式 極限 求法。 本授課單元思考題、討論題、作業(yè)： 11lim ( s in c o s ) tt tt?? ? xxx sin1)cos(lim0? xx xxx lnlnlim 2 ???? 作業(yè)： P194： 8（ 6）（ 7）（ 8）（ 11） 本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等，必要時(shí)可列出） 同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第四、五版 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用基礎(chǔ)（一）微積分 課程教案 授課類型 理論課 授課時(shí)間 2 節(jié) 授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第四章 中值定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 167。 函數(shù)的增減性 本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求： 1. 掌握用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性 的方法， 會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）： 定理 設(shè)函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)， （ 1） 如果在 ),( ba 內(nèi) 0)( ?? xf ，則 )(xf 在 ? ?ba, 上單調(diào)增加（ ↗ ） 。 （ 2） 如果在 ),( ba 內(nèi) 0)( ?? xf ，則 )(xf 在 ? ?ba, 上單調(diào)減少（ ↘ ） . 如將定理中的閉區(qū)間換成其它各種區(qū)間（包括無限區(qū)間），定理 的結(jié)論仍成立，使定理 結(jié)論成立的區(qū)間，就是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 講解書例 1，例 2 增加下例 例 3 確定函數(shù)333 xxy ?? 的單調(diào)區(qū)間。 解： 函數(shù)的定義域?yàn)?),3()3,3()3,( ?????? ?? 3??x 為函數(shù)的間斷點(diǎn)。 222224222322)3( )3)(3()3(9)3( )2()3(3 x xxxx xxx xxxxy ? ???? ??? ????? 令 0??y 得： 3,3,0 321 ???? xxx 用 0,3,3 ???x 分定義成如下區(qū)間，列表討論如下： x ? ?3,??? )3,3( ?? )0,3(? )3,0( )3,3( ),3( ?? )(xf? + + + + )(xf ↘ ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ 所以函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為 ),3[],3,( ????? ， 單調(diào)增加區(qū)間為： ]3,3(),3,3(),3,3[ ??? . 本授課單元教學(xué)手段與方法： 采用呈現(xiàn)法，通過圖形示例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系。 本授課單元思考題、討論題、作業(yè)： 下列函數(shù)在指定 區(qū)間 ( , )???? 上單調(diào)增加的是 （ ）． A． sinx B． e x C． x 2 D． 3 x 確定函數(shù) 32( ) 2 9 12 3f x x x x? ? ? ?的單調(diào)區(qū)間 求證 ： )1(11ln ???? xxxx 作業(yè)： P195： 9（ 1）（ 5）（ 6）； 10 本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等，必要時(shí)可列出） 《高等數(shù)學(xué)》 ――― 同濟(jì)大學(xué)第五版 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用基礎(chǔ)（一）微積分 課程教案 授課類型 理論課 授課時(shí)間 2 節(jié) 授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第四章 中值定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 167。 函數(shù)的極值 本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求： 理解函數(shù)的極值概念， 掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 的方法 本授課單元教學(xué) 內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）： 基本內(nèi)容： 函數(shù)極值的定義，函數(shù)取得極值的必要條件與充分條件 函數(shù)極值的定義 定義 設(shè)函數(shù) )(xf 在 0x 的某一鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)（除 0x 外）的任一 x ， )1( 如果都有 )()( 0xfxf ? ，則 稱 )( 0xf 是 )(xf 的極大值； )2( 如果都有 )()( 0xfxf ? ，則稱 )( 0xf 是 )(xf 的極小值 . 函數(shù)的極大值與極小值稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 定理 （極值的必要條件） 設(shè)函數(shù) )(xf 在 0x 處可導(dǎo)，如果 )(xf 在 0x 處取得極值，則 0)( 0 ?? xf 使 0)( 0 ?? xf ，則稱 0x 為函數(shù) )(xf 的一個(gè)駐點(diǎn) . 定理 （極值存在的一階充分條件） 設(shè)函數(shù) )(xf 在 0x 處連續(xù)，在 ),(),( 0000 ?? ?? xxxx ? （ ? 為某個(gè)正數(shù)）上可導(dǎo) （ 1）如果在 0)( ?? xf ， )(xf? 由正變負(fù)，則 0x 是 )(xf 的一個(gè)極大值點(diǎn)； （ 2）如果在 0)( ??xf ， )(xf? 由負(fù)變正，則 0x 是 )(xf 的一個(gè)極小值點(diǎn)； （ 3）如果 )(xf? 不變，則 0x 不是 )(xf 的極值點(diǎn) . 例 1 求函數(shù) 32 )1()2()( ??? xxxf 的極值。 解： 函數(shù)的定義域?yàn)?),( ???? 且在 ),( ???? 內(nèi)可導(dǎo)， )45()1)(2()( 2 ????? xxxxf ，令 0)( ?? xf 得： 1,54,2321 ????? xxx 用 1,54,2321 ????? xxx分定義域 ),( ???? 成如下區(qū)間，討論如下： x )2,( ??? 2? )54,2( ?? 54? )1,54(? 1 ),1( ?? )(xf? + 0 0 + 0 + )(xf ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 無極值 ↗ 由表可知，函數(shù)在 2??x 時(shí)取得極大植 0)2( ??f ， 在54??x時(shí)取得極小值 )54( ???f 定理 （極值存在的二階充分條件） 設(shè)函數(shù) )(xf 在 0x 存在二階導(dǎo)數(shù)，且 0)( 0 ?? xf 0)( ??? xf ，則： (1)如果 0)( 0 ?? xf ，則 0x 是 )(xf 的一個(gè)極大值點(diǎn)； (2) 如果 0)( 0 ?? xf ，則 0x 是 )(xf 的一個(gè)極小值點(diǎn)； (3) 如果 0)( 0 ??xf ，無法確定。 例 5 函數(shù) 510)( 24 ??? xxxf 的極值 解： 函數(shù)的定義域?yàn)?),( ???? ， )5(4204)( 23 ????? xxxxxf ， 令 0)( ?? xf ， 得 ： 5,0,5 321 ???? xxx ， 202