【文章內容簡介】 一個特性 —— 振鈴效果，效果圖如下 圖 理想低通濾波器的振鈴效果 ? 巴特沃斯低通濾波 物理上可實現（理想低通濾波器在數學上定義得很清楚，在計算機模擬中也可實現，但在截斷頻率處直上直下的理想低通濾波器是不能用實際的電子器件實現的） 減少振鈴效應，高低頻率間的過渡比較光滑 ， n 階 Butterworth 低通濾波器的傳遞函數為： ? ? nDvuDvuH 20/),(1 1),( ?? 其中， D0為截止頻率。 0/),( DvuD =1時， ),( vuH =，它的特性是傳遞函數原圖 理想低通濾波后圖 6 比較平滑，連續(xù)衰減，而不像理想濾波器那樣陡峭變化，即明顯的不連續(xù)。因此采用該濾波器濾波在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度大大減小，沒有振鈴效應產生，濾波效果如圖 所示。 圖 Butterworth 低通濾波效果 巴特沃斯濾波器中階數對振鈴現象的影響：階數越高，越明顯，如下 圖 所示 ： 圖 巴特沃斯濾波器階數對振鈴現象的影響 ? 高斯低通濾波 高斯 (Gaussian)低通濾波器的傳遞函數為： 22( , ) / 2( , ) D u vH u v e ??? 7 其中， ? 為標準偏差。令 ?＝ D0,我們可以根據截止參數 D0得到表達式： 當 D(u,v)= D0 時，濾波器 H(u, v)由最大值 1 下降為 。 GLPF 沒有振鈴現象，但與階數為 2 的 BLPF 相比，其通帶要寬些，這樣對應的空間濾波器的灰度級輪廓更窄些，因而平滑效果要差些。 對于巴特沃斯低通濾波器和高斯低通濾波器，振鈴現象從嚴重到無，但平滑效果從好到差， BLPF 可以看成 ILPF 和 GLPF 的過渡，階為 1 時與 GLPF差不多，階數越高越接近 BPLG. 如下圖 表示出了高斯低通濾波器對于不同 D0 值的濾波效果； 圖 高斯 (Gaussian)低通濾波器對于不同的 D0 值的濾波效果 高通濾波 ? 理想高通濾波 一個理想高通濾波器（ IHPF）定義為 ： ? ? ??? ??? 0),(0 ),(1, DvuD DvuDvuH 其中， D0是截止頻率， D（ u， v）由下面公式給出： D（ u， v） =[(uP/2)2+(vQ/2)2 ]1/2 如同 ILPF 一樣， IHPF 在物理上 也是無法實現的，但是 IHPF 可以用于解釋空22 0( , ) / 2( , ) D u v DH u v e ?? 8 間域的振鈴等現象。 下圖 即為理想高通濾波器的濾波效果： 圖 ? 巴特沃斯高通濾波 巴特沃斯 n階截止頻率為 DO的巴特沃斯高通濾波器的傳遞函數為： 其中： D（ u， v） =[(uP/2)2+(vQ/2)2 ]1/2 由頻域濾波模型 Q（ U， v)=F(U， v)H(U， v)知， F(U， v)中的低頻 (小于 D0)成分，因乘上一個遠小于 1的 H(U， v)值而被衰減。而高頻成分卻被乘以一個接近于 1的 H(U， v)值而保留，這即是所謂的高通濾波的原理。當截止頻率 D0越大，濾掉的低頻成分越多，同樣損失的高頻成份也越多。 如下圖 ： 圖 階巴特沃斯高通濾波器濾波效果 ? 高斯高通濾波 nvuDDvuH 20 )],(/[11),( ??22 2/),(1),( ?vuDevuH ??? 9 其中， ? 為標準偏差。通過令 ?＝ D0,我們可以根據截止參數 D0 得到 ? 的值。 下圖 即為高斯高通濾波器的濾波效果： 圖 高斯高通濾波器濾波效果 帶阻濾波 帶阻濾波器阻止一定頻率范圍內的信號通過而允許其它頻率范圍內的信號通過。 ? 理想帶阻濾波器 理想帶阻濾波器的傳 遞函數： 這里， W是頻帶的寬度， D0是頻帶的中心半徑。 ? 巴特沃斯帶阻濾波器： n 階的巴特沃思帶阻濾波器的表達式為： ??????????????????2),(,12),(2,02),(,1),(0000WDvuDWDvuDWDWDvuDvuHnDvuDWvuDvuH 2202 ),(),(11),(?????? ??? 10 ? 高斯帶阻濾波器 高斯帶阻濾波器的表達式為： 2202 ),( ),(211),( ???????? ???? WvuDDvuDevuH 下圖 是理想帶阻濾波器、階數為 1 的巴特沃斯帶阻濾波器和高斯帶阻濾波器的透視圖： 圖 理想濾波器、巴特沃思濾波器（階數為 1）和高斯帶阻濾波器的透視圖 帶通濾波 帶通濾波器執(zhí)行與帶阻濾波器相反的操作，帶通濾波器的傳遞函數據相應的帶阻濾波器的傳遞函數并應用下式得到的： ),(1),( vuHvuH brbp ?? 4． 原理及實現 頻率域增強基本理論 不對 Fourier 變換（ FT）和圖像的頻率域處理技術有所了解，就不可能完全理解圖像增強這個最基本的圖像處理任務。 頻域增強指在圖像的頻率域內，對圖像的變換系數（頻率成分）直接進行運算，然后通過 Fourier 逆變換以獲得圖像的增強效果。 一般來說，圖像的邊緣和噪聲對應 Fourier 變換中 的高頻部分，所以低通濾波能夠平滑圖像、去除噪聲。 圖像灰度發(fā)生聚變的部分與頻譜的高頻分量對應，所以采用高頻濾波器衰減 11 或抑制低頻分量，能夠對圖像進行銳化處理。 卷積理論是頻域技術的基礎，設函數 f (x, y)與算子 h(x, y)的卷積結果是g(x, y)，即 g(x, y) = h(x, y) * f (x, y)，那么根據卷積定理在頻域有： ),(),(),( vuFvuHvuG ? 其中 G(u, v)， H(u, v)， F(u, v)分別是 g(x, y)， h(x, y)， f (x, y)的傅立葉 (或其它 )變換， H(u, v)是轉移函數。在具體增強應用中， f (x, y)是給定的（所以 F(u, v)可利用變換得到），需要確定的是 H(u, v)，這樣具有所需特性的 g(x, y) 就可算出 G(u, v) 而得到： ? ?? ? ] ),( [ ),( H1 yxfTETyxg ?? 傅立葉變換 傅里葉變換是將時域信號分解為不同頻率的正弦信號或余弦函數疊加之和。傅立葉變換是數字圖像處理技術的基礎，其通過在時空域和頻率域來回切換圖像，對圖像的信息特征進行提取和分析，簡化了計算工作量， 被喻為描述圖像信息的第二種語言，廣泛應用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建等。因此，對涉及數字圖像處理的工作者，深入研究和掌握傅立葉變換及其擴展形式的特性，是很有價值得。把傅立葉變換的理論通其物理解釋相結合，將有助于解決大多數圖像處理問題。傅里葉變換 可分為連續(xù)傅里葉變換、離散傅里葉變換、快速傅里葉變換。 快速傅里葉變換 (FFT)是計算離散傅里葉變換 (DFT)的快速算法。離散傅里葉變換運算量巨大，計算時間長，即運算時間很長。而快速傅里葉變換的提出將傅里葉變換的復雜度由降到了，很大程度上減少了計算量 。 ???? 12 0 2)(2 1)( Mx uxMWxfMuF ?? ?? ??? ??? 10 )12(210 )2(2 })12(1)2(1{21 Mx xuMMx xuM WxfMWxfM 12 令 ????10 )2(1)( MxuxMe WxfMuF ， ??? ??10 )12(1)( MxuxMo WxfMuF ， u=0， 1， 2，?， M1 則 ? ?uMoe WuFuFuF 2)()(21)( ??， ? ?uMoe WuFuFMuF 2)()(21)( ??? 頻率域理想低通（ ILPF）濾波器 一個二維的理想低通濾波器（ ILPF）的轉換函數滿足（是