【文章內(nèi)容簡介】 論。直到數(shù)學家高斯、波約和俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基在自己的 論著中都描述了這樣一種幾何，以 “從直線外一點可以引不 9 止一條直線平行于已知直線 ”作為替代公式，進行推理而得出的新的一套幾何學定理，并將它命名為非歐幾何，一般稱為 “羅氏幾何 ”。 1854 年德國數(shù)學家黎曼發(fā)展了羅巴切夫斯基的幾何思想，從而建立了一種更為一般化的幾何，稱為 “黎曼幾何 ”。他認為歐氏幾何和羅氏幾何都是黎曼幾何的一種特例。直到 19 世紀后期，數(shù)學家貝爾特拉米、克萊因、龐加萊在歐氏空間建立了非歐幾何的模型，非歐幾何才得到理解和承認。 四、射影幾何的發(fā)展 文藝復興時期的幾何發(fā) 展源于對宗教繪畫的更高追求。畫家在繪畫中對 “同一物體的同一投影的不同截影有什么相同的性質(zhì)？ ”等問題產(chǎn)生了興趣，這導致了透視學的興起，即催生了射影幾何學。法國人德沙格在 1639 年發(fā)表了《試論錐面截一平面所得結果的初稿》 [2]，這本書也是將數(shù)學方法引用于解決透射問題的第一部發(fā)表的論著。另一位法國數(shù)學家帕斯卡 1640 年完成了《圓錐曲線論》，提出了射影幾何學中的帕斯卡定理。他們對射影幾何作出了突出的貢獻，但他們局限于將這種幾何學作為歐氏幾何的一部分來研究。 1822 年，龐思列發(fā)表了《論圖形的射 影性質(zhì)》，他在書中提出了兩條重要的原理，即 “連續(xù)性原理 ”和 “對偶原理 ”。與前輩們不同的是，他討論的問題不單單是在歐氏幾何的模式中進行，而是一般性的問題。與此同時，德國數(shù)學家普呂可和莫比烏斯開創(chuàng)了研究射影幾何的解析方法，即應用代數(shù)的方法來推導對偶原理等射影幾何原理的成立。史陶特在 1847 年出版的《位置幾何學》中用坐標概念來重新定義交比，使射影幾何擺脫了長度等度量的限制。因此射影幾何比歐氏幾何更基本。在學者們的努力下，明確了歐氏幾何與非歐幾何都是射影幾何的特例。 五、幾何學的統(tǒng)一 非歐幾何的創(chuàng)立打破了長久以來人們認為只有歐氏幾何的觀念。人們開始探尋能否在一般的條件下統(tǒng)一幾何學。 1872 年德國數(shù)學家克萊因在《艾兒朗根綱領》中提出了自己統(tǒng)一幾何學的基本構想： “所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學問，或者說任何一種幾何學只是研究與特定的變換群有關的不變量。 ”在他之后，希爾伯特為統(tǒng)一幾何學的提出了實施方法，即公理化方法。 10 希爾伯特在他的《幾何基礎》中提出了包含 20 條公理的公理體系，并將它們分為五個組別。而且提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則為相容性、 獨立性、完備性。這樣組織的公理系統(tǒng)中，通過否定或者替換其中一條或者幾條公理，就能構造出某一種幾何。這種公理系統(tǒng)透徹的闡述了幾何學的邏輯關系和包含內(nèi)容，完整的統(tǒng)一了幾何學。 解析幾何的意義及應用 首先，解析幾何的意義表現(xiàn)在它所提供的數(shù)形結合思想上。在這一思想的指引下，一個幾何對象被數(shù)（坐標）所完全刻畫，幾何概念可以表示為代數(shù)的形式，幾何目標可以通過代數(shù)方法來達到；反過來，它使代數(shù)語言得到了幾何解釋，從而代數(shù)語言有了直觀意義，人們能從中得到啟發(fā)而提出新的結論?！爸灰鷶?shù)與幾何分道揚鑣，它們的進展 就緩慢，它們的應用就狹窄。但是當這兩門科學結成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！笨傊馕鰩缀蔚乃枷胧沟么鷶?shù)與幾何水乳交融、相輔相成、相得益彰，它不但促進了兩者的大幅度進展，而且也使微積分的展現(xiàn)變得水到渠成?！笆呤兰o以來數(shù)學的巨大發(fā)展，在很大程度上應歸功于坐標幾何。” 特別值得指出的是，這種思想所反映出的事物辯證統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的觀點，具有方法論的意義，不僅對于數(shù)學的研究，而且對于處理其他問題也有非常重要的意義。 其次，解析幾何為科學提供了迫切需要的工具。 Descartes 曾說：“??我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何。這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練習思想的問題。我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于解釋自然現(xiàn)象的幾何?！? 事實上，在 Descartes 所處的 17 世紀，天文學、力學等有一系列的新發(fā)現(xiàn)。開普勒發(fā)現(xiàn)行星繞太陽的運動軌道是橢圓；伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的物體是沿著拋物線的軌道運動的。過去，對于橢圓、拋物線等，因為沒有實用的需要，因此作為圓錐與平面的截線，只要在幾何上得到研究就足夠了。但現(xiàn)在，因為航海、軍事的需要，對它們進行計算成了必需。這樣，科學對數(shù)量工具的 需求變得非常迫切了。解析幾何使人能把形象和路線表示為代數(shù)的形式，從而導出數(shù)量工具，正好滿足了這種迫切的需求。 第三，為數(shù)學提供了統(tǒng)一處理問題的工具。 Descartes 的本意是通過解析幾何來給幾何引進新方法，但解析幾何的成就遠遠超過他的預期。代數(shù)系統(tǒng)地用于幾何研究，不但能迅速地證明關于曲線的任何事實，而且這種解決問題的方式基本上是程序化的。因為 Descartes 和 Fermat 都不用負坐標，因此他們也許根本沒有預料到，當字母可以代表任意數(shù)（正數(shù)、負數(shù)甚至是復數(shù)）時，就可以用代數(shù)來統(tǒng)一處理綜合幾何中那些必 須分別處理的情形。例如，平面幾何證明三角形 11 的三條高交于一點，要分交點在三角形內(nèi)還是在三角形外，而在坐標幾何中可以不加區(qū)分。有些幾何曲線的性質(zhì)，如果用綜合幾何的方法是很難證明的，但如果用坐標法卻非常簡單。例如，二次曲線平行弦的中點的軌跡是直線段；二次曲線的光學性質(zhì)；等。有些幾何問題，例如三等分任意角、化圓為方、倍立方體等所謂的三大尺規(guī)作圖難題，用代數(shù)可以漂亮地、迅速地決定它們能還是不能，而離開代數(shù)，決定就成為不可能了。而有些幾何曲線，例如旋輪線、對數(shù)曲線、對數(shù)螺線??，如果不用解析幾何的方法，那么我們將根本無 法知道該如何去研究它們的性質(zhì)。解析幾何有一套發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理的統(tǒng)一、有用且好用的方法。坐標法使人們能夠認識典型的幾何問題并能把在幾何形式上互不相關的問題歸在一起。代數(shù)給幾何帶來最自然的分類原則和最自然的方法層次。 第四，解析幾何的發(fā)明，完成了數(shù)學發(fā)展史上的一次劃時代的變革，正如恩格斯指出的：“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了???！比藗冊@樣評價笛卡爾：極少有人能刷新人類思想的一個完整的方面，笛卡兒就是那極少數(shù)人中 的一個。這個貢獻屬于最杰出之列，在有史以來對數(shù)學作出的最杰出貢獻中，它以其感人的簡單而引人注目。笛卡爾再造了幾何，并使現(xiàn)代幾何成為可能。就像數(shù)學中所有真正偉大的東西一樣，解析幾何的基本概念簡單到了近乎一目了然的程度。阿達瑪也說：坐標法的應用不僅把幾何上已經(jīng)定義了的曲線轉(zhuǎn)變成方程，而且從完全相反的角度看，給越來越復雜的曲線預先下了定義，因此越來越一般??數(shù)學研究對象的全部概念，發(fā)生了徹底變革，直接促成這一變革的是笛卡爾，他確實知道自己的發(fā)明的重要性，因為他說他到目前為止已經(jīng)超過了在它以前的全部幾何學 。 最后， 通常 人們認為幾何直觀、形象，其基本性質(zhì)容易被觀察到、想象到；而代數(shù)則是抽象的，它所研究的數(shù)系的結構、性質(zhì)，在本質(zhì)上是逐步歸納、復合而得到的。數(shù)學史上，“解析”一詞是指這樣的過程：從結論出發(fā)去尋找論據(jù)，直至到達一些已知的東西為止。正因為“解析”具有“歸納”“分析”的含義，在 18 世紀，“解析”和“代數(shù)”曾經(jīng)被當成同義詞使用。由于“綜合”是指演繹的表述，因此從這個意義上，“解析”與“綜合”恰好相反。不過，人們看到，在解析幾何的發(fā)展中，代數(shù)并不僅僅是一種工具，“它本身就是一個引進并研究曲線和曲面的基本方法”，因此 “解析幾何”一詞含有證明和使用代數(shù)方法的意思，因而現(xiàn)在把解析幾何與綜合幾何相提并論，不再認為一個是發(fā)明的手段，而另一個是證明的方法了。 時代意義：在解析幾何創(chuàng)立以前，幾何與代數(shù)是彼此獨立的兩個分支。解析幾何的建立第一次真正實現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結合，使形與數(shù)統(tǒng)一起來，這是數(shù)學發(fā)展史上的一次重大突破，解析幾何的建立對于微積分的誕生有著不可估量的作用。 12 3 多媒體教學 多媒體教學背景 多媒體技術和網(wǎng)絡技術作為信息時代的兩大支柱，改變著人們的生活方式、生產(chǎn)方式、學習方式、思維方式、人際交往方式等各個方 面。不可避免地，在教育領域，教學這一基本的教育實施途徑也受到了巨大的沖擊?，F(xiàn)代教學方式發(fā)生了根本性變革。多媒體與網(wǎng)絡技術以驚人的速度改變著教師的講課方式和學生的學習方式。 由于多媒體技術和網(wǎng)絡技術的應用，使得無論是在時間上、地域上、師生的交流方式上，還是在學生的學習方法和途徑上都是開放性的。在教學過程中，多媒體教學使課堂變得更生動、更形象、更具體，使教學過程更簡單、更輕松，更容易理解和掌握，其教育效果非常顯著。自從校園網(wǎng)絡和多媒體教室建立起來以后，越來越多的教師學會用現(xiàn)代信息技術收集和處理信息，制作多媒體課 件；越來越多的學生喜歡積極地參與到課堂中去，課堂學習氣氛空前高漲。獲取新知識已成為共同追求和學習的新時尚 【 1】 。無論是教師還是學生，在對知識的理解和掌握的同時，也提高審視、判斷和創(chuàng)新能力。 多媒體信息技術與網(wǎng)絡文化的發(fā)展使得教學在新的歷史環(huán)境下面臨著 “轉(zhuǎn)型”問題。新時代教學的特征是開放性、生動性、創(chuàng)新性、個性化的，這樣就必須要求對教學方式進行根本性變革，要求教學具備真實性、生活性、美觀性、理解性、藝術性、創(chuàng)新性等等新的特點。 一、多媒體與網(wǎng)絡技術在現(xiàn)代教學中的應用 多媒體及網(wǎng)絡技術應用于教學的歷史過程 教學形式是歷史和時代的產(chǎn)物，任何形式的教育都不可能脫離科技的支持和制約。教育服務于科技，科技反過來影響著教育，兩者同步前進。多媒體在教學中的應用，是隨著科技的進步而擴展開來的。 20 世紀 80 年代中期，英國 Apple 公司成立了計算機多媒體實驗室，主要研究計算機技術同各種信息媒體相結合，并首次推出了麥金托斯系統(tǒng)機，標志著早期多媒體技術的興起。 20 世紀 90 年代，多媒體擺脫了 80 年代復合使用的原始階段，獲得了現(xiàn)代意義。多媒體技術的廣泛應用促進了多媒體語音室、多媒體計算機模擬實驗室、電子圖書室、多媒體教學管理等的蓬 勃發(fā)展。 以 Inter 為主要標志的網(wǎng)絡技術將人類帶入一個全新的數(shù)字化時代，在人類現(xiàn)有的實際生活之上形成人類的第二生活空間――網(wǎng)絡社會。網(wǎng)絡技術的發(fā)展為多媒體教學的發(fā)展提供了更為廣闊的信息來源，加快了教學方式變革的步伐。 現(xiàn)代教學過程中形成的經(jīng)典理論和教學模式 我們知道，教育教學過程是傳播教育信息的過程，是教師借助一定的媒體向?qū)W生傳遞一定的教育信息，從而引起學生思想、行為的變化過程。在教學的實踐 13 過程中形成了許多的教學理論和教學模式，以下介紹其中最為經(jīng)典的教學理論和教學模式。 傳播學中的五個“ W”經(jīng)典理論： who（傳者） —— when（何地） —— where（何時） —— who（受者） —— what（傳授了什么） 【 3】 。它強調(diào)了受者接受信息的能力程度和受者接受信息的成功與否，它已經(jīng)成為衡量教學效果好壞的標準之一。 CMC 師生互動教學模式：即 Crative context（創(chuàng)設情景）、 Mutuae activity（師生互動）、 Constructing knowledg（建構知識）的縮寫。它揭示新環(huán)境下現(xiàn)代教學的三個基本環(huán)節(jié)，提出大力發(fā)展素質(zhì)教育，培養(yǎng)學生積極主動、創(chuàng)新能力和學習能力。 CMC 教學理論操作的 基本過程是：教師創(chuàng)設情景 —— 師生互動學習 —— 師生共同建構知識。 理論產(chǎn)生于實踐，反過來指導實踐活動的進行。這些教學理論和教學模式的建立為現(xiàn)代教學改革提供了可操作的模式，為多媒體與網(wǎng)絡技術在教學的應用指明了方向。五個“ W”經(jīng)典理論普遍適應于學習過程； CMC 師生互動教學模式是在教育部提出的新課程改革要求下提出來的。新課程改革要求改變過于注重知識傳授的傾向，強調(diào)形成積極主動的學習態(tài)度，使獲得基礎知識與基本技能的過程同時成為學會學習和形成正確價值觀的過程。 二、傳統(tǒng)教學模式與多媒體教學模式的比較 傳統(tǒng)的課堂教學是一 種課堂教育模式，其教學的基本程序是：教科書 —— 教師 —— 課堂 —— 學生，其主要的特點是：學生的知識主要是通過教師在教室里以黑板授課的方式來獲得，學生依附性強。教師是教學過程的主體，學生基本上是被動的接受教師灌輸?shù)闹R，參與意識差，缺乏學習主動性，自然影響到創(chuàng)新性、獨立性、自主性和個性的培養(yǎng)。在教學形式上，傳統(tǒng)教學采取統(tǒng)一的上課地點和時間、統(tǒng)一的課程教材、統(tǒng)一的課程進度和統(tǒng)一的課程考試形式，難以做到因材施教和個性化教學，導致基礎差的學生跟不上教學進度，喪失學習自信心；而基礎好的學生感到信息量不足，激發(fā)不起學習的欲 望。簡單的板書和掛圖很難激起學生學習的興趣，而且無法長時間的集中注意力，不可避免地影響到教學效果 【 7】 。 教學媒體即教育媒體，媒體是攜帶和傳遞信息的物質(zhì)工具，當它用于教育和教學目的、傳遞教學信息時，就稱為教學媒體。一般可分為兩類：一是傳統(tǒng)媒體，包括黑板、書本、掛圖、模型、標本等；二是電教媒體包括光學媒體（如幻燈機、投影機及相應的教學軟件），音響媒體（錄音機、無線話筒及相應的教學軟件），聲像媒體（如電影放映機、電視機等以及相應的教學 軟件），綜合媒體（語音實驗室、計算機教學系統(tǒng)以及相應的教學軟件） 。 這些教學媒 體有較強的集成性、交互性。它將文字、圖畫、動畫等條件下信息加工合在一起呈現(xiàn)知識信息，達到技術與教育的有機整合，有利于教師和學生角色和地位的轉(zhuǎn)化，把學生放在主體的地