【文章內(nèi)容簡介】 20 數(shù)學解題策略的進一步研究 1 第 1 章 前言 數(shù)學是關(guān)于研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學 .當人們與客觀世界產(chǎn)生密切接觸 .從數(shù)量關(guān)系和空間形式的角度反應(yīng)出認知和客觀世界的矛盾時 .就形成了數(shù)學的問題 .所以說，以數(shù)學為基本內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學為基本內(nèi)容，但必須運用數(shù)學的原理、概念、理論或方法才能解決的問題稱為數(shù)學問題 ]4[ . 同時，數(shù)學作為各科科學的基礎(chǔ)學科，推動著各門科學的向前發(fā)展與繁榮的重要地位，數(shù)學的發(fā)展程度在一定意義上也見證著各國生產(chǎn)力的發(fā)展狀況，數(shù)學歷史的發(fā)展一再印證“問題是數(shù)學的心臟”，只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿 著生命力，而問題的缺乏則預示著獨立發(fā)展的衰亡或終結(jié) ]8[ .正如人類的每項事業(yè)都追求明確的目標一樣，數(shù)學的研究也需要自己的問題 .波利亞有一句著名的名言：“掌握數(shù)學就是意味著解題” ]10[ .解題就是意味著問題的解，現(xiàn)代意義的問題的解除了注重結(jié)果，注重答案外，更注重解決的過程，策略及思維方法 .“問題解決”已成為國際數(shù)學教育研究的焦點，人們對在數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學 生的解決問題的技能與能力進行不懈的研究，取得了一系列成果 .隨著研究的不斷深入，人們逐漸認識到數(shù)學問題解決策略是該領(lǐng)域研究中的一個十分重要的課題，并且成為數(shù)學問題解決課題研究的熱點，搞清解決數(shù)學問題的策略的有關(guān)問題對科學 ,高效地進行數(shù)學問題解決進而培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的能力具有重要的實踐作用 . 一些學者將數(shù)學問題過程中思維結(jié)構(gòu)分為三個層次階段：運用一般邏輯方法；運用數(shù)學方法；運用具體的解題方法與技巧 .實質(zhì)上就是解決問題過程中運用解決策略的層次階段 .方法具有層次性，數(shù)學問題解決策略是區(qū)別于數(shù)學解題方法與具體技巧 的，具有普適性，最高層次的信息處理方法 .面對一個問題，采取什么樣的策略是主體接觸和了解數(shù)學問題后首先進行的選擇性的思維操作 .策略是選擇，組合，改變或者是操作與當前問題的解決有關(guān)的事實，概念原理的一系列規(guī)則，旨在縮小問題條件與結(jié)論之間的差別，填補其空隙 .總之數(shù)學解題策略是解決者找到正確解決辦法的有力武器 . 數(shù)學解題策略的進一步研究 2 第 2 章 數(shù)學解題策略舉例 觀察 歸納與猜想 “觀察﹑歸納與猜想”是一種重要的思維方法，對于確定證明方向﹑發(fā)現(xiàn)新定理都有重大的意義 . 歸納常常從觀察開始，正如著名數(shù)學家 亞所言：“先收集有關(guān)的材料，考察它們，加以比較，注意到一些規(guī)律性，最后把零零碎碎的細節(jié)歸納成有明顯意義的整體” . ]4[ 觀察 100642781 ???? 改變一下形式 223333 )4321(104321 ???????? 這個形式很有規(guī)則，這是偶然的還是真有這樣的規(guī)律？不妨再驗證一下： 2233 )21(3921 ????? ， 22333 )321(636321 ?????? . 再取多一些實驗一下： 2233333 )54321(152 2 554321 ??????????? . 于是猜想 22333 ]2 )1([)21(21 ??????????????? nnnn . 從這個例子可以看到，觀察時不可把眼光停留在某一點上固定不變，而要根據(jù)問題的特點不斷調(diào)整自己觀察的角度，以利于觀察出一定隱蔽性的內(nèi)在規(guī)律 . 數(shù)學歸納法 數(shù)學歸納法的基本 形式 .設(shè) )(np 是一個關(guān)于正整數(shù) n 的命題，如果 (1) )1(p 成立； (2)假設(shè) )(kp 成立，則 )1( ?kp 也成立， 那么， )(np 對于任意正整數(shù) n 都成立 . .設(shè) )(np 是一個關(guān)于正整數(shù) n的命題，如果 (1) )1(p 成立； 數(shù)學解題策略的進一步研究 3 (2)假設(shè) )(np 對于所有適合 kn? 的正整數(shù) n 成立，則 )(kp )成立 .那么， )(np對于任意正整數(shù) n 都成立 . 例 設(shè) n是個正整數(shù)，求多項式 ! )1()1(!2 )1(!11)( n nxxxxxxxp n ??????????????? 的根 . 解 當 n=1 時， 多項式 xxp ??1)(1 的根為 1? . 當 2?n 時 )1)(2(21!2 )1(!11)(2 ??????? xxxxxxp 的根為 1? 和 2? . 自然可以猜想多項式 )(xpx 的根是 1? ， 2? ，?， n? 應(yīng)用數(shù)學 歸納法證明：對于任意正整數(shù) n ，上面的猜想都成立 .假設(shè)猜想對于 n 成立，那么， )(xpn 可以分解為 )()2)(1()( nxxxcxp n ??????? ， 其中 c 是 nx 的系數(shù) .重新檢查 )(xpn 的定義，可以看出 !1nc? ，所以 )()2)(1(!1)( nxxxnxp n ??????? . 對于 n+1, )!1( )()2)(1()()2)(1(!1)!1( )()1()()(1 ? ??????????????? ???????? n nxxxxnxxxnn nxxxxpxp nn= )1)(()2)(1()!1( 1 nxnxxxn ?????????. 因此 )(1 xpn? 的根為 1? ， 2? ，? , n? 和 )1( ??n ） . 數(shù) 學歸納法風格獨到，具有固定的模式，但同時它又有極大的靈活性和很強的技巧性 . 枚舉與篩選 當我們面臨的問題存在量的可能的答案，而暫時又無法排除這些答案的大部分時，就不得不采用檢驗這些答案中大部分時，就不得不采用逐一檢驗這些答案的策略，也就是利用枚舉與篩選的策略來解題 ]4[ . 枚舉與篩選解題時，重要的是做到既不重復又不遺漏，這就好比工廠里質(zhì)量數(shù)學解題策略的進一步研究 4 檢驗員的責任是把不合格的產(chǎn)品挑出來，不讓它出廠，于是就對所有的產(chǎn)品逐一檢驗，不能有漏檢 產(chǎn)品 . 例 求這樣的三位數(shù)，它除以 11所得的余數(shù)等于它的三個數(shù)字的平方和 . 方法是：三個數(shù)字只有 900 個，可以枚舉法解決，枚舉時可先估計有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計算量 . 設(shè)這個三位數(shù)百位、十位、個位的數(shù)字分別為 x ,y ,z .由于任何數(shù)除以 11所得余數(shù)都不大 于 10，所以 10222 ??? zyx ， 從而 .30,30,31 ?????? zyx 所以三位數(shù)必在以下數(shù)中： 100， 101,102,103,110,111,112， 120,121,122,130,200,201,202， 211,212,220,221,300,301,310. 不難驗證只有 100,101，兩個數(shù)字符合要求 . 邏輯類分法 在遇到復雜問題時候，難以處理時，可以把問題劃分為有限多 個子問題來處理，然后再有針對性地逐一排除解決，最后把各個子問題的結(jié)論都歸納起來而得到整個問題的結(jié)論，這一種分類論證的方法叫邏輯分類法 ]4[ . 施行邏輯分類法的好處是針對每一個子問題而言，原來中的某些不確定因素變成了確定性因素，使問題的解有了新的重要前提條件 .對于同一個問題的研究可以有不同的分類標準：可以按問題的解（結(jié)論的不同）或者題設(shè)的不同而分類；可以按解的特征來分類；可以按照有關(guān)概念的特征來分類；可以按照圖形的相對位置分類；可以 按照有關(guān)參數(shù)所滿足的條件來分類；可以按一些公式、法則、定理應(yīng)用的范圍來分類??總之，要具體情況具體分析 . 確定了分類標準進行分類時還要遵循一定的規(guī)則： （ 1）分類是相稱的 .子問題不重復，不遺漏 . （ 2）標準是確定的 .每一次分類要用一個確定的分類標準，分類標準在沒有 貫 徹徹底之前，不允許改變分類標準，連續(xù)分類嚴格按照層次逐級進行 . 二分法是分類中最常用的一種方法，它是把被分類的對象或涉及的范圍，按具有或不具有某個屬性，分為互相矛盾的兩類 . 例 1 在一直線上給定 50 條線段，求證下列結(jié)論 至少有一個成立： （ 1） 存在 8條線段有公共點； （ 2） 存在 8條線段，其中的任意兩條無公共點 . 證 不妨設(shè)所給直線為數(shù)軸， [ 21,aa ]是所有線段中右端點最小的一條線段 .數(shù)學解題策略的進一步研究 5 若含有 1b 的線段多余 7 條，則結(jié)論（ 1）成立 .否則，至少有 43 條線段整個落在線段 [ 11,ba ]右方，在這些線段中，設(shè) [ 22,ba ]是右端點最小的一條線段，則 [ 22,ba ]與 [ 11,ba ]無公共點，且或有 8 條線段包含 2b ，因而（ 1）成立；或者有 36 條線段整個落在 [ 22,ba ]右方，繼續(xù)這一推理，則或者也有結(jié)論（ 1）成立，或者得到7 個兩兩無公共點的線段 [ 11,ba ],[ 22,ba ],? ,[ 77,ba ],對每個 )71( ??kk ,至少有 507k 條線段整個落在 [ kkba, ]的右方 .故在 [ 77,ba ]的右方至少有 507*7=1 條線段 [ 88,ba ]，于是結(jié)論 (2)成立 . 例 2 試確定使 72 ??bab 整除 baba ??2 的全部正整數(shù) （ a,b） . 解 由于條件 顯然 72 ??bab 22 babba ?? ，而 222 babba ?? = abbaba 7)7( 22 ???? ，故 abbab 77 22 ??? ，下面分種情況： （ 1） 072 ?? ab .這時 77 222 ????? babbab ，矛盾 . （ 2） ab 72? .此時 a,b應(yīng)具有 ???? Nkkbka ,7,7 2 的形式，顯然 )7,7(),( 2 kkba ?滿足題設(shè)要求 . （ 3） .072 ?? ab 這時由于 77 22 ???? babba ，可知 72?b ，進而 b=1 或 2，當 b=1 時，由題設(shè)， 85778 12 ????? ?? aaa aa 為自然數(shù)，可知 a=11 或 a=（ a,b） =(11,1)或（ 49,1）；當 b=2 時，由 Naa ???94 47 ，且注意到 294 47 ???aa ，可知 194 47 ???aa ，解得 313?a ，矛盾， 綜上所述，所有的正整數(shù)對（ a,b）為（ 11,1），（ 49,1）或 ))(7,7( 2 ?? Nkkk . 從整體上看問題 解數(shù)學題，常?；罢睘椤傲恪保箚栴}變得簡單，以利于問題的解決，不過有時候則反其到而行之，需要由“局部”到“整體”，站在整體的立場上，從問題的整體考慮，綜合全局研究問題，通過研究整體結(jié)構(gòu)、整體形式來把握 問數(shù)學解題策略的進一步研究 6 題的本質(zhì)，從中找到解決問題的途徑 . 解決數(shù)學問題，有時不能過分拘泥于細節(jié)，要適時調(diào)整視角，注意從整體上看問題，既著眼與問題的全過程，抓住其整體特點，往往能達到化繁為簡、變難為易的目的 ]4[ . 例 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲 3件，購乙 7 件，購丙 1件，共需要 315元 .若購甲 4件，購乙 10 件，購丙 1件，共需 420 件 .問購甲、乙、丙各需多少錢？ 分析 通常的想法是先求出甲、乙、丙三種貨物的單價是多少 .但由于題目所給的已知條件少于未知數(shù)的個數(shù)，要求單價勢必就得解不定方程，能否不求單價，而直接求甲、乙、丙各一件的價格當成一個整體來求呢？這就要從整體上把握條件與結(jié)論之間的聯(lián)系 . 解 設(shè)甲、乙、丙的單價分別為 x,y,z 元，則由題意得 ??? ??? ??? .420204 ,31573 zyx zyx 題目實際上只要求 x+y+z 的值，而不必一一求出 x,y,z 的值，因此將 x+y+z看作一個整體，從方程組中分離出 x+y+z，得到 ??? ????? ????? ,420)()3(3 ,315)()3(2 zyxyx zyxyx 從而， x+y+z=105，既購得甲、乙、丙各需要 105 元 . 劃歸 把所需要解決的問題轉(zhuǎn)換為已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題 .同元問題相比，劃歸后的新問題必須是已經(jīng)解決或較為成熟、簡單的問題 ，它是數(shù)學最重要、最基本的思想之一 ]4[ . 既把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個問題，再通過問題的求解，把解得的結(jié)果作用于原有的問題，從而使原有的問題得解 . 將一個非基本的問題通過分解、變形、代換、??或平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮??多種方式，將它劃歸為一個熟悉的基本的問題，從而求出解答 .若解一元二次方程我們就通過因式分解等方法，將它劃