【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 20 數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 1 第 1 章 前言 數(shù)學(xué)是關(guān)于研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué) .當(dāng)人們與客觀世界產(chǎn)生密切接觸 .從數(shù)量關(guān)系和空間形式的角度反應(yīng)出認(rèn)知和客觀世界的矛盾時(shí) .就形成了數(shù)學(xué)的問題 .所以說，以數(shù)學(xué)為基本內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學(xué)為基本內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)的原理、概念、理論或方法才能解決的問題稱為數(shù)學(xué)問題 ]4[ . 同時(shí)，數(shù)學(xué)作為各科科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，推動(dòng)著各門科學(xué)的向前發(fā)展與繁榮的重要地位，數(shù)學(xué)的發(fā)展程度在一定意義上也見證著各國(guó)生產(chǎn)力的發(fā)展?fàn)顩r，數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展一再印證“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿 著生命力，而問題的缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或終結(jié) ]8[ .正如人類的每項(xiàng)事業(yè)都追求明確的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)的研究也需要自己的問題 .波利亞有一句著名的名言：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著解題” ]10[ .解題就是意味著問題的解，現(xiàn)代意義的問題的解除了注重結(jié)果，注重答案外，更注重解決的過程，策略及思維方法 .“問題解決”已成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究的焦點(diǎn)，人們對(duì)在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué) 生的解決問題的技能與能力進(jìn)行不懈的研究，取得了一系列成果 .隨著研究的不斷深入，人們逐漸認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)問題解決策略是該領(lǐng)域研究中的一個(gè)十分重要的課題，并且成為數(shù)學(xué)問題解決課題研究的熱點(diǎn)，搞清解決數(shù)學(xué)問題的策略的有關(guān)問題對(duì)科學(xué) ,高效地進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力具有重要的實(shí)踐作用 . 一些學(xué)者將數(shù)學(xué)問題過程中思維結(jié)構(gòu)分為三個(gè)層次階段：運(yùn)用一般邏輯方法；運(yùn)用數(shù)學(xué)方法；運(yùn)用具體的解題方法與技巧 .實(shí)質(zhì)上就是解決問題過程中運(yùn)用解決策略的層次階段 .方法具有層次性，數(shù)學(xué)問題解決策略是區(qū)別于數(shù)學(xué)解題方法與具體技巧 的，具有普適性，最高層次的信息處理方法 .面對(duì)一個(gè)問題，采取什么樣的策略是主體接觸和了解數(shù)學(xué)問題后首先進(jìn)行的選擇性的思維操作 .策略是選擇，組合，改變或者是操作與當(dāng)前問題的解決有關(guān)的事實(shí)，概念原理的一系列規(guī)則，旨在縮小問題條件與結(jié)論之間的差別，填補(bǔ)其空隙 .總之?dāng)?shù)學(xué)解題策略是解決者找到正確解決辦法的有力武器 . 數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 2 第 2 章 數(shù)學(xué)解題策略舉例 觀察 歸納與猜想 “觀察﹑歸納與猜想”是一種重要的思維方法，對(duì)于確定證明方向﹑發(fā)現(xiàn)新定理都有重大的意義 . 歸納常常從觀察開始，正如著名數(shù)學(xué)家 亞所言：“先收集有關(guān)的材料，考察它們，加以比較，注意到一些規(guī)律性，最后把零零碎碎的細(xì)節(jié)歸納成有明顯意義的整體” . ]4[ 觀察 100642781 ???? 改變一下形式 223333 )4321(104321 ???????? 這個(gè)形式很有規(guī)則，這是偶然的還是真有這樣的規(guī)律？不妨再驗(yàn)證一下： 2233 )21(3921 ????? ， 22333 )321(636321 ?????? . 再取多一些實(shí)驗(yàn)一下： 2233333 )54321(152 2 554321 ??????????? . 于是猜想 22333 ]2 )1([)21(21 ??????????????? nnnn . 從這個(gè)例子可以看到，觀察時(shí)不可把眼光停留在某一點(diǎn)上固定不變，而要根據(jù)問題的特點(diǎn)不斷調(diào)整自己觀察的角度，以利于觀察出一定隱蔽性的內(nèi)在規(guī)律 . 數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法的基本 形式 .設(shè) )(np 是一個(gè)關(guān)于正整數(shù) n 的命題，如果 (1) )1(p 成立； (2)假設(shè) )(kp 成立，則 )1( ?kp 也成立， 那么， )(np 對(duì)于任意正整數(shù) n 都成立 . .設(shè) )(np 是一個(gè)關(guān)于正整數(shù) n的命題，如果 (1) )1(p 成立； 數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 3 (2)假設(shè) )(np 對(duì)于所有適合 kn? 的正整數(shù) n 成立，則 )(kp )成立 .那么， )(np對(duì)于任意正整數(shù) n 都成立 . 例 設(shè) n是個(gè)正整數(shù)，求多項(xiàng)式 ! )1()1(!2 )1(!11)( n nxxxxxxxp n ??????????????? 的根 . 解 當(dāng) n=1 時(shí)， 多項(xiàng)式 xxp ??1)(1 的根為 1? . 當(dāng) 2?n 時(shí) )1)(2(21!2 )1(!11)(2 ??????? xxxxxxp 的根為 1? 和 2? . 自然可以猜想多項(xiàng)式 )(xpx 的根是 1? ， 2? ，?， n? 應(yīng)用數(shù)學(xué) 歸納法證明：對(duì)于任意正整數(shù) n ，上面的猜想都成立 .假設(shè)猜想對(duì)于 n 成立，那么， )(xpn 可以分解為 )()2)(1()( nxxxcxp n ??????? ， 其中 c 是 nx 的系數(shù) .重新檢查 )(xpn 的定義，可以看出 !1nc? ，所以 )()2)(1(!1)( nxxxnxp n ??????? . 對(duì)于 n+1, )!1( )()2)(1()()2)(1(!1)!1( )()1()()(1 ? ??????????????? ???????? n nxxxxnxxxnn nxxxxpxp nn= )1)(()2)(1()!1( 1 nxnxxxn ?????????. 因此 )(1 xpn? 的根為 1? ， 2? ，? , n? 和 )1( ??n ） . 數(shù) 學(xué)歸納法風(fēng)格獨(dú)到，具有固定的模式，但同時(shí)它又有極大的靈活性和很強(qiáng)的技巧性 . 枚舉與篩選 當(dāng)我們面臨的問題存在量的可能的答案，而暫時(shí)又無法排除這些答案的大部分時(shí)，就不得不采用檢驗(yàn)這些答案中大部分時(shí)，就不得不采用逐一檢驗(yàn)這些答案的策略，也就是利用枚舉與篩選的策略來解題 ]4[ . 枚舉與篩選解題時(shí)，重要的是做到既不重復(fù)又不遺漏，這就好比工廠里質(zhì)量數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 4 檢驗(yàn)員的責(zé)任是把不合格的產(chǎn)品挑出來，不讓它出廠，于是就對(duì)所有的產(chǎn)品逐一檢驗(yàn)，不能有漏檢 產(chǎn)品 . 例 求這樣的三位數(shù)，它除以 11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和 . 方法是：三個(gè)數(shù)字只有 900 個(gè)，可以枚舉法解決，枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量 . 設(shè)這個(gè)三位數(shù)百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為 x ,y ,z .由于任何數(shù)除以 11所得余數(shù)都不大 于 10，所以 10222 ??? zyx ， 從而 .30,30,31 ?????? zyx 所以三位數(shù)必在以下數(shù)中： 100， 101,102,103,110,111,112， 120,121,122,130,200,201,202， 211,212,220,221,300,301,310. 不難驗(yàn)證只有 100,101，兩個(gè)數(shù)字符合要求 . 邏輯類分法 在遇到復(fù)雜問題時(shí)候，難以處理時(shí)，可以把問題劃分為有限多 個(gè)子問題來處理，然后再有針對(duì)性地逐一排除解決，最后把各個(gè)子問題的結(jié)論都?xì)w納起來而得到整個(gè)問題的結(jié)論，這一種分類論證的方法叫邏輯分類法 ]4[ . 施行邏輯分類法的好處是針對(duì)每一個(gè)子問題而言，原來中的某些不確定因素變成了確定性因素，使問題的解有了新的重要前提條件 .對(duì)于同一個(gè)問題的研究可以有不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：可以按問題的解（結(jié)論的不同）或者題設(shè)的不同而分類；可以按解的特征來分類；可以按照有關(guān)概念的特征來分類；可以按照?qǐng)D形的相對(duì)位置分類；可以 按照有關(guān)參數(shù)所滿足的條件來分類；可以按一些公式、法則、定理應(yīng)用的范圍來分類??總之，要具體情況具體分析 . 確定了分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類時(shí)還要遵循一定的規(guī)則： （ 1）分類是相稱的 .子問題不重復(fù)，不遺漏 . （ 2）標(biāo)準(zhǔn)是確定的 .每一次分類要用一個(gè)確定的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)在沒有 貫 徹徹底之前，不允許改變分類標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)分類嚴(yán)格按照層次逐級(jí)進(jìn)行 . 二分法是分類中最常用的一種方法，它是把被分類的對(duì)象或涉及的范圍，按具有或不具有某個(gè)屬性，分為互相矛盾的兩類 . 例 1 在一直線上給定 50 條線段，求證下列結(jié)論 至少有一個(gè)成立： （ 1） 存在 8條線段有公共點(diǎn)； （ 2） 存在 8條線段，其中的任意兩條無公共點(diǎn) . 證 不妨設(shè)所給直線為數(shù)軸， [ 21,aa ]是所有線段中右端點(diǎn)最小的一條線段 .數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 5 若含有 1b 的線段多余 7 條，則結(jié)論（ 1）成立 .否則，至少有 43 條線段整個(gè)落在線段 [ 11,ba ]右方，在這些線段中，設(shè) [ 22,ba ]是右端點(diǎn)最小的一條線段，則 [ 22,ba ]與 [ 11,ba ]無公共點(diǎn)，且或有 8 條線段包含 2b ，因而（ 1）成立；或者有 36 條線段整個(gè)落在 [ 22,ba ]右方，繼續(xù)這一推理，則或者也有結(jié)論（ 1）成立，或者得到7 個(gè)兩兩無公共點(diǎn)的線段 [ 11,ba ],[ 22,ba ],? ,[ 77,ba ],對(duì)每個(gè) )71( ??kk ,至少有 507k 條線段整個(gè)落在 [ kkba, ]的右方 .故在 [ 77,ba ]的右方至少有 507*7=1 條線段 [ 88,ba ]，于是結(jié)論 (2)成立 . 例 2 試確定使 72 ??bab 整除 baba ??2 的全部正整數(shù) （ a,b） . 解 由于條件 顯然 72 ??bab 22 babba ?? ，而 222 babba ?? = abbaba 7)7( 22 ???? ，故 abbab 77 22 ??? ，下面分種情況： （ 1） 072 ?? ab .這時(shí) 77 222 ????? babbab ，矛盾 . （ 2） ab 72? .此時(shí) a,b應(yīng)具有 ???? Nkkbka ,7,7 2 的形式，顯然 )7,7(),( 2 kkba ?滿足題設(shè)要求 . （ 3） .072 ?? ab 這時(shí)由于 77 22 ???? babba ，可知 72?b ，進(jìn)而 b=1 或 2，當(dāng) b=1 時(shí)，由題設(shè)， 85778 12 ????? ?? aaa aa 為自然數(shù)，可知 a=11 或 a=（ a,b） =(11,1)或（ 49,1）；當(dāng) b=2 時(shí)，由 Naa ???94 47 ，且注意到 294 47 ???aa ，可知 194 47 ???aa ，解得 313?a ，矛盾， 綜上所述，所有的正整數(shù)對(duì)（ a,b）為（ 11,1），（ 49,1）或 ))(7,7( 2 ?? Nkkk . 從整體上看問題 解數(shù)學(xué)題，常常化“整”為“零”，使問題變得簡(jiǎn)單，以利于問題的解決，不過有時(shí)候則反其到而行之，需要由“局部”到“整體”，站在整體的立場(chǎng)上，從問題的整體考慮，綜合全局研究問題，通過研究整體結(jié)構(gòu)、整體形式來把握 問數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 6 題的本質(zhì)，從中找到解決問題的途徑 . 解決數(shù)學(xué)問題，有時(shí)不能過分拘泥于細(xì)節(jié)，要適時(shí)調(diào)整視角，注意從整體上看問題，既著眼與問題的全過程，抓住其整體特點(diǎn)，往往能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、變難為易的目的 ]4[ . 例 有甲、乙、丙三種貨物，若購(gòu)甲 3件，購(gòu)乙 7 件，購(gòu)丙 1件，共需要 315元 .若購(gòu)甲 4件，購(gòu)乙 10 件，購(gòu)丙 1件，共需 420 件 .問購(gòu)甲、乙、丙各需多少錢？ 分析 通常的想法是先求出甲、乙、丙三種貨物的單價(jià)是多少 .但由于題目所給的已知條件少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，要求單價(jià)勢(shì)必就得解不定方程，能否不求單價(jià)，而直接求甲、乙、丙各一件的價(jià)格當(dāng)成一個(gè)整體來求呢？這就要從整體上把握條件與結(jié)論之間的聯(lián)系 . 解 設(shè)甲、乙、丙的單價(jià)分別為 x,y,z 元，則由題意得 ??? ??? ??? .420204 ,31573 zyx zyx 題目實(shí)際上只要求 x+y+z 的值，而不必一一求出 x,y,z 的值，因此將 x+y+z看作一個(gè)整體，從方程組中分離出 x+y+z，得到 ??? ????? ????? ,420)()3(3 ,315)()3(2 zyxyx zyxyx 從而， x+y+z=105，既購(gòu)得甲、乙、丙各需要 105 元 . 劃歸 把所需要解決的問題轉(zhuǎn)換為已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題 .同元問題相比，劃歸后的新問題必須是已經(jīng)解決或較為成熟、簡(jiǎn)單的問題 ，它是數(shù)學(xué)最重要、最基本的思想之一 ]4[ . 既把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個(gè)問題，再通過問題的求解，把解得的結(jié)果作用于原有的問題，從而使原有的問題得解 . 將一個(gè)非基本的問題通過分解、變形、代換、??或平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮??多種方式，將它劃歸為一個(gè)熟悉的基本的問題，從而求出解答 .若解一元二次方程我們就通過因式分解等方法，將它劃