【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 速 度測(cè)量和毫微秒級(jí)精度的時(shí)間測(cè)量。應(yīng)此 GPS 系統(tǒng)展現(xiàn)了極其廣闊的應(yīng)用前景。 其主要應(yīng)用有： (1)在控制測(cè)量中的應(yīng)用； (2)在精密工程測(cè)量及變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用 (3)在航空攝影測(cè)量中的應(yīng)用 (4)在線路勘測(cè)及隧道貫通測(cè)量中的應(yīng)用 (5)在地形、地籍及房地產(chǎn)測(cè)量中的應(yīng)用 (6)在海洋測(cè)繪中的應(yīng)用 (7)在智能交通系統(tǒng)中的應(yīng)用 (8)在地球動(dòng)力學(xué)及地震研究中的應(yīng)用 (9)在氣象信息測(cè)量中的應(yīng)用 (10)在航海航空導(dǎo)航中的應(yīng)用 17 2 GPS 網(wǎng)的精度和可靠性 GPS 網(wǎng)平差的數(shù)學(xué)模型 大地測(cè)量控制網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是 通過(guò)調(diào)整觀測(cè)點(diǎn)的位置及觀測(cè)方案來(lái)達(dá)到使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的目的，為此，首先要建立起觀測(cè)量、未知參數(shù)、觀測(cè)量的權(quán)以及未知參數(shù)的方差、協(xié)方差矩陣之間的函數(shù)關(guān)系。 GPS 接收機(jī)的初始觀測(cè)量是瞬時(shí)載波相位差 .而未知參數(shù)包括衛(wèi)星坐標(biāo)的改正量、地面點(diǎn)的坐標(biāo)以及一些系統(tǒng)誤差參數(shù) (衛(wèi)星鐘差、接收機(jī)鐘差、電離層、對(duì)流層的折射延遲以及整周模糊度等 )，作為第一步，首先要解出基線向量，文獻(xiàn) [2〕對(duì) GPS 基線向量的解算已有詳細(xì)敘述，本文不再述及。而以基線向量作為觀測(cè)值的網(wǎng)平差的數(shù)學(xué)模型和隨機(jī)模型正是本文所關(guān)心的。 “基線選擇法”是 GPS 控制網(wǎng)平差最常用的方法，它通過(guò)選擇獨(dú)立基線來(lái)組成平差網(wǎng)形，分為兩個(gè)過(guò)程，首先解算出同一時(shí)段的基線向量，然后從基線向量中選取獨(dú)立的基線向量進(jìn)行網(wǎng)平差。在網(wǎng)平差階段，將地面點(diǎn)在的三維坐標(biāo)當(dāng)成待求的未知參數(shù)，從而得到以下的 GaussMarkov 模型 : AXrE ?? )( rCrD ??? )( (211) 這里 A是由 0， 1組成的圖形矩陣， X是待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)改正數(shù)向量，而△ r則由下式給出 : )( 21 TnTT rrrr ????? ? （ 212） ???????????????????????????????????????iiikkkjjjkjizyxzyxzyxrrr (213) 獲得 (311)式基線向量方差的方式有兩種，第一種方法是采用基線向量解算時(shí)計(jì)算出的方差和協(xié)方差陣作為驗(yàn)前協(xié)方差陣，第二種方法是在基線向量的經(jīng)驗(yàn)公式。 2222 sbai ??? 的基礎(chǔ)上采用驗(yàn)后最小范數(shù)二次無(wú)偏估計(jì)(MINQUE 估計(jì) )得到，其中常數(shù) a、 b分別為接收機(jī)的固定誤差和比例誤差系數(shù)，s為基線長(zhǎng)度。 在 GPS 網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，由于沒(méi)有實(shí)際觀測(cè)值，采用以下的經(jīng)驗(yàn)公式作為基線向量各分量的近似精度 : ? ? 2222222 3/ izyx sbaiii ???? ????? ??? (214) 若某 GPS 網(wǎng)有 n條基線，并不考慮同一基線各坐標(biāo)分量之間的相關(guān)性，則所有基線分量的方差、協(xié)方差陣可表示為 : 18 ? ? ? ?iirr Id ia gCd ia gCj ??? ?? 2? ? ?ni ?2,1? （ 215） 其中 diag? ?ii I?2? 是一個(gè)由 n個(gè) 33? 的單位矩陣所組成的對(duì)角陣。 誤差的傳遞與轉(zhuǎn)換 GPS 網(wǎng)精度估算是指在選定的基準(zhǔn)條件下，通過(guò)誤差傳播律來(lái)近似計(jì)算待定點(diǎn)的方差和協(xié)方差、各點(diǎn)之間的相對(duì)中誤差、或邊長(zhǎng)、方位角誤差等。若以 xxQ 表示 GPS 網(wǎng)中所有點(diǎn)的協(xié)方差陣，由于其它量 (如邊長(zhǎng)、方位角等 )均為坐標(biāo)未知數(shù)的函數(shù)，因此也可以用誤差傳播律來(lái)求坐標(biāo)未知數(shù)函數(shù)的協(xié)方差( FQFQ xxTFF ? ),因此 GPS 網(wǎng)的精度評(píng)定主要是計(jì)算 xxQ 精度估算與網(wǎng)平差的區(qū)別在于 :精度估算中作為觀側(cè)值的基線向量是一個(gè)未知量，其先驗(yàn)的協(xié)方差未知，而在網(wǎng)平差中，基線向量的協(xié)方差陣己在基線解算中獲得，其次，網(wǎng)平差中常數(shù)項(xiàng)可以準(zhǔn)確地計(jì)算出，而在設(shè)計(jì)階段，其值未知。在精度估算中，基線向量各分量的先驗(yàn)精度采用 ((314)式的計(jì)算方法獲得，在網(wǎng)形設(shè)計(jì)階段，我們最關(guān)心的是在獨(dú)立坐標(biāo)系下的精度，因此誤差要經(jīng)過(guò)以下一系列的計(jì)算和傳播過(guò)程。 1 GPS 網(wǎng)的三維平差 設(shè)任意兩點(diǎn) i, j的 GPS基線向量觀測(cè)值為 ( ijijij ZYX ??? , ),它門是 WGS84坐標(biāo)系中的空間直角坐標(biāo)差，又設(shè)待定點(diǎn)在 WGS84坐標(biāo)系中的空間直角坐標(biāo)為未知參數(shù)并記為 : ???????????????????????????????????????iiizyxiiiiiiZYXZYX???000??? （ 221） 其中， ( 000 , iii ZYX )為坐標(biāo)近似值， ( iii ZYX ?,?,? )為坐標(biāo)平差值， (ix??,iy??,iz??)為坐標(biāo)改正數(shù)，容易得出 GPS 基線向量觀測(cè)值 ( ijijij ZYX ?,?,? ??? )與未知參數(shù)存在以下關(guān)系 : ???????????????????????????????????????????????????????????iiijjjZijYijXijijijijZYXZYXVZVYVXZYXyyy???_????????? (222) 式中， ( ijijij ZYX VVV , )表示為 ( ijijij ZYX ?,?,? ??? )的改正值，從而寫成誤差方程的形式 : ????????????????????????????????????????????????????????000??????__ijijijijijijZYXZYXZYXZZYYXXVVViiijjjijijij?????? 19 （ 223） 設(shè)某 GPS網(wǎng)中共有 m 個(gè)點(diǎn)，觀測(cè)了 n條基線，則上式寫 成矩陣的形式為 : LXAV ?? ?? （ 224） V: 3n? 1階矩陣，表示基線向量的改正數(shù) A: 3n? 3m 階矩陣，稱為系數(shù)矩陣或圖形矩陣，與網(wǎng)形有關(guān) X?? :3m? 1 階矩陣，坐標(biāo)未知數(shù)的改正數(shù) : L:常數(shù)項(xiàng)向量。 (224)式是不包含基準(zhǔn)條件的誤差方程，其系數(shù)矩陣是秩虧 的，無(wú)法求解，對(duì)于三維控制網(wǎng)而言，本應(yīng)包含三個(gè)位置基準(zhǔn)，一個(gè)尺度基準(zhǔn)，三個(gè)方位基準(zhǔn)，在網(wǎng)平差時(shí)可以通過(guò)以下約束條件來(lái)獲得網(wǎng)的基準(zhǔn) : (1)固定約束 (即固定點(diǎn)的坐標(biāo)值 ): (2)條件約束 (即通過(guò)使某些未知參數(shù)之間滿足給定的條件 )。 (3)權(quán)值約束 〔通過(guò)給某些觀測(cè)量或未知量分配很大或很小的權(quán) )。 對(duì)于 GPS網(wǎng)，作為觀測(cè)值的 GPS 基線向量包含了尺度和方位信息，因此，在 WGS84 坐標(biāo)系中平差時(shí)，可以取 GPS 基線向量提供的尺度基準(zhǔn)和方位基準(zhǔn)，在此，我們?nèi)? b 點(diǎn)的單點(diǎn)定位的三維坐標(biāo)作為固定值，從而可以寫出基 準(zhǔn)方程 : ????????000???bbbZYX??? （ 225） 寫成矩陣形式為 : 0?1 ?XGT? ???????????0000000100000101??????TG （ 226） (224), (226)式聯(lián)立，即為附加基準(zhǔn)條件的 GM模型，在最小二乘準(zhǔn)則下求解得 : ? ? PLAQPLAGGPAAX TTTT 1111? ??? ?? (227) 11?? PAQA TXX ? (228) 需要說(shuō)明的是，在城市或大型工程控制網(wǎng)中，經(jīng)常采用分級(jí)布網(wǎng)的方案，對(duì)于分級(jí)布設(shè)的 GPS網(wǎng)，首級(jí)網(wǎng)一般采用只固定一個(gè)位置基準(zhǔn)的無(wú)約束條件的三維平差，而次級(jí)網(wǎng)是在固定多個(gè)首級(jí)網(wǎng)點(diǎn)的情況下的有約束條件的三維平差，很明 20 顯，次級(jí)網(wǎng)的誤差也包含首級(jí)網(wǎng)的誤差，在次級(jí)網(wǎng)點(diǎn)的精度評(píng)定時(shí)，一定要考慮首級(jí)網(wǎng)的誤差，具體的估算方法將在以后的章節(jié)中詳細(xì)述及。 2 GPS 網(wǎng)空間直角坐標(biāo)的協(xié)方差陣轉(zhuǎn)換成大地坐標(biāo)協(xié)方差陣 GPS 網(wǎng)在空間直角坐標(biāo)系下進(jìn)行三維平差之后，需要在橢球下 (WGS84橢球、國(guó)家橢球或地方區(qū)域橢球 ) 將空間直角坐標(biāo) ( X Y Z ) 轉(zhuǎn)換成大地坐標(biāo) ( B L H)，有以下熟知的公式 : ? ?? ?? ?? ?????????????NBYXHYXBNeZa r ct gBXYa r ct gLc o s//s in/22222 （ 229） 其中 e 為橢球的第一偏心率， N為卯酉面的曲率半徑，Be aWaN 22 s in1 ???對(duì) 上式微分，得出大地坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)的微分關(guān)系 : ? ?TXYZBLH RQRQ 11 ??? 3 GPS 網(wǎng)大地坐標(biāo)協(xié)方差陣轉(zhuǎn)換為高斯坐標(biāo)協(xié)方差陣 : GPS 的大地坐標(biāo)要變換成平面坐標(biāo)，要通過(guò)高斯投影來(lái)得到，而高斯投影要先選擇中央子午線，中央子午線可以按國(guó)家坐標(biāo)系的 3度、 6度帶來(lái)選擇，也可以選擇任意的中央子午線，如在城市獨(dú)立坐標(biāo)系中，一般選擇過(guò)城市中心區(qū)域的經(jīng)線做為中央子午線。通過(guò)高斯投影的正算可以得到各網(wǎng)點(diǎn)的高斯坐標(biāo)及其協(xié)方差陣。其協(xié)方差計(jì)算可以采用如下 : ????????????? dLdBRdd gyx ? ?? ? ???????????????????? ??????????? ???BlBNBlMBlBNBlMR g2222s i n2121c o ss i nc o ss i ns i n2121 其中 : M , N 分別為子午面和卯酉面的曲率半徑，經(jīng)差 0LLl ?? ( 0L 為 中 央子午線經(jīng)度 ),按誤差傳播公式，存在下式 : TgBLHgxy RQRQ ? 相對(duì)點(diǎn)位精度的合理評(píng)定 普通的 ( 絕對(duì) )點(diǎn)位精度是指控制點(diǎn)相對(duì)于一組起算數(shù)據(jù) (包括起算點(diǎn)的坐標(biāo)、起算方位角和起算邊長(zhǎng) )的精度，而傳統(tǒng)的相對(duì)點(diǎn)位精度評(píng)定方法是利用坐標(biāo)差來(lái)確定兩點(diǎn)之間的相對(duì)點(diǎn)位精度 : 21 ???????? ?? ??????????????????kjjkkjkkjjjkjjyykyyyxyxyxyxxxkxxyxyyxx DDD DDDDDDDDD DD?????????????????????? 22對(duì)稱 (231) 這種相對(duì)點(diǎn)位精度的評(píng)定方法與絕對(duì)點(diǎn)位精度相比較，僅僅是改變了起算點(diǎn)的位置，而沒(méi)有改變起算方位角和起算邊長(zhǎng)的位置，因而理論上是不嚴(yán)密的訓(xùn)，不能合理地評(píng)定兩點(diǎn)之間的相對(duì)精度，而在實(shí)際工作中，有時(shí)需要根據(jù)不同位置的起算數(shù)據(jù)來(lái)分析控制網(wǎng)的精度。例如在工程控制網(wǎng)中，為確定離起算數(shù)據(jù)較遠(yuǎn)的控制點(diǎn)是否滿足精度要求，有時(shí)并不要求這些點(diǎn)相對(duì)于原起算數(shù)據(jù)有很高的精度，而只要求它們相對(duì)于鄰近某個(gè)點(diǎn)、某個(gè)方位和邊長(zhǎng)的相對(duì)精度，為了便于合理地評(píng)定相對(duì)點(diǎn)位精度，我們把平差基準(zhǔn)分為坐標(biāo)基準(zhǔn)和方差基準(zhǔn) 。 1 坐標(biāo)基準(zhǔn) 在平差問(wèn)題中，待估的未知參數(shù)往往不是觀測(cè)值，例如在 GPS 網(wǎng)平差中，觀測(cè)值〔更準(zhǔn)確地說(shuō)應(yīng)該是偽觀測(cè)值 )為基線向量，而取點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)，如果沒(méi)有足夠的基準(zhǔn)條件，這種坐標(biāo)參數(shù)是無(wú)法確定的，這種起算數(shù)據(jù)稱為平差問(wèn)題的基準(zhǔn)。為了便于和后面提出的方差基準(zhǔn)區(qū)分，我們稱此基準(zhǔn)為坐標(biāo)基準(zhǔn)。 GPS 測(cè)量的基準(zhǔn)條件可統(tǒng)一表示成為下式 : 0?XGT? (232) 若在基準(zhǔn)條件為 1G 的條件下，則附基準(zhǔn)條 件的 GUASS