08代數(shù)數(shù)與超越數(shù)(編輯修改稿)
2024-09-27 23:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 || ??qp? 。 (2) 設(shè) ?的最小多項式是 f(x)，則 f(?) = 0，于是，由微分學(xué)中值定理可知 )()( )()()( ??? fqpqpffqpf ?????? ， (3) 169 其中 ?是介于 ?與qp之間的某個數(shù)，因此，由式 (2)，有 |? ? ?| ? 1。 以 M 表示 f ?(x)在區(qū)間 [?|?| ? 1, |?| + 1]中的最大值，則由式 (3)得到 |)(||| 1 qpfMqp ??? ， (4) 因為 f(x)是不可約多項式，并且 ?是無理數(shù)，所以 d ? 2，因此 f )(qp? 0，從而 dqqpf 1|)(| ?， 由此及式 (4)得到式 (1)，證畢。 推論 設(shè) ?是實無理數(shù)，若存在常數(shù) M，有理數(shù)列 }{nnqp ，以及遞增的實數(shù)列 {sn}， sn??，使得 nsnnn qMqp ?? ||? (5) 對于 n ? 1 成立，則 ?是超越數(shù)。 證明 若 ?是代數(shù)數(shù)，設(shè)它的次數(shù)是 d，由定理 1，存在常數(shù) c，使得 dnnn qcqp ?? ||? 對于所有的 n ? 1 成立，但是，由于 sn??，當(dāng) n充分大時，這與式 (5)矛盾 ， 所以 ?不能是代數(shù)數(shù)。證畢。 關(guān)于定理 1，有兩點(diǎn)說明： (ⅰ ) 定理 1 表明，若 ?是實的代數(shù)無理數(shù)，那么，它與有理數(shù)的差不能太小。 (ⅱ ) 可以證明，式 (1)右端的因數(shù) q ? d能改進(jìn)為 q ? (2 + ?)，其中 ? 0 是任意常數(shù)，但是，不能改進(jìn)為 q ?2。 事實上，在第三章第三節(jié)中我們知道：對于任何無理數(shù) ?，都有無窮多個有理數(shù)qp， 使得 170 21|| qqp ???， q 0， (p, q) = 1。 現(xiàn)在，我們來構(gòu)造具體的超越數(shù)。 設(shè) r1, r2,? , rn, ? 與 s0, s1,? , sn, ? 是嚴(yán)格增加的正整數(shù)列，滿足條件 0 = s0 ? r1s1 ? r2 ? ， ???? nnn rslim 。 (6) 又設(shè)整數(shù)列 a1, a2,? , an, ? 滿足條件 ak = 0（ rn k sn， n = 1, 2, 3, ? ）， (7) ?,3,2,100 ??? naa nn sr ， ， (8) 并且 ???? 0)( k kk xaxf的收斂半經(jīng)是 1。 定理 2 設(shè)qp是區(qū)間 (0, 1)中的有理數(shù)qp。若 )(qpf不是有理數(shù)，則必是超越數(shù)。 證明 若qp?(0, 1)，則必存在 x?(0, 1)， 使得qp x。由于 ???? 0)( k kk xaxf 收斂，所以，存在常數(shù) M，使得 |akxk| ? M， k = 0, 1, 2, ? 。 (9) 由式 (7)，對于任何正整數(shù) n，有 ??? ????? ???nnnskkkkskkkrkkk qxpxaqpaqpaqpf )()()()(0。 記 y =qxp 1， 則由上式及式 (9)得到 nnnn ssskkrkkk yMyMyyMqpaqpf ?????? ?? ??? 110 )()(， (10) 其中 M?是常數(shù) 。 由式 (6)，我們有 171 nnnn rqyss qMqMyM ??????? lo glo g， 其中 ????? nnn rsqyloglog? ， n→∞ 。 在式 (10)中， krk k qpan )(0??是一個分母 nrq? 的有理分?jǐn)?shù)，因此，利用定理 1 的推論可知，若 f(?)不是有理數(shù)，則它必是超越數(shù)。證畢。 推論 設(shè)正整數(shù)數(shù)列 {rn}滿足條件 ??????? ?? nnnn rrrrrr 1121 ，?? ， n→∞， 則對于任何整數(shù) a ? 2， ??? ?? 1n rna?是超越數(shù) 。 證明 由定理 2，只需證明 ?不是有理數(shù) 。 設(shè) ?是有理數(shù)， ? =qp，p 與 q 是互素的整數(shù)，記 nnnkr qpa k ????1， 則 nrn aq ? ， 并且 0 ?nrnnnnn aqqqqpqpqp ?????? 11||||?。 (11
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1