【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?為階梯形及標(biāo)準(zhǔn)形 , 并求出它的秩． 化矩陣 1 23 5??? ??? 為階梯形及標(biāo)準(zhǔn)形 , 并求出它的秩． 求線性方程組?????????????????14 52215 5 2 320733321321321xxxxxxxxx 的解． 求線性方程組 2 2 3 812 11 2 31 21 2 3x x xx xx x x? ? ?? ?? ? ? ?????? 的解． 矩陣 ??????????333222111cbacbacba 與矩陣 ???????????????????131313323232212121ccbbaaccbbaaccbbaa 的秩是否相等？ 矩陣 ??????????333222111cbacbacba 與矩陣 ???????????????????333323232321321221cbaccbbaacccbbbaaa 的秩相等么？ 思考題 兩個(gè)同型矩陣秩相等的充要條件是不是它們的標(biāo)準(zhǔn)形相同？ 假設(shè)矩陣 A 不可能通過初等變換化為同型矩陣 B，則 A 與 B 的秩一定不相等么？ 假設(shè)矩陣 A 不可能通過初 等行變換化為同型矩陣 B，則 A 與 B 的秩一定不相等么？ 已知同型矩陣 A、 B 為兩個(gè)線性方程組的增廣矩陣，且 r(A)=r(B)，則兩個(gè)線性方程組是否有相同的解． 矩陣 ??????????????123000123000004300520201 是否為階梯形矩陣？ 不存在其秩大于其行數(shù)或列數(shù)的矩陣么？ 已知矩陣只有 i 個(gè)非零元，那么它的秩為 i 么？ 一個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣與它自身具有相同的秩么？ 矩陣的運(yùn)算 教學(xué)要求 本節(jié)要求熟練掌握矩陣運(yùn)算的基本法則，學(xué)會(huì)用矩陣的運(yùn)算法則重新解釋線性 方程組的關(guān)系，熟練運(yùn)用矩陣的初等變換求矩陣的逆和可逆矩陣方程的解． 1. 熟練掌握矩陣的加減、數(shù)乘和乘法運(yùn)、算． 2. 熟練運(yùn)用矩陣的初等變換求矩陣的逆． 3. 熟練運(yùn)用矩陣的初等變換求解可逆矩陣方程． 知識(shí)點(diǎn) 1． 矩陣的加減和倍數(shù) 2． 矩陣的乘法 3． 逆矩陣 矩陣的加減和倍數(shù) 兩個(gè)行數(shù)相同列數(shù)也相同的矩陣稱為 同型矩陣 ，只有這樣同型的矩陣才可以做加減法．做加法時(shí)，把兩矩陣中對(duì)應(yīng)位置處的元素相加，和數(shù)放在原位置處，即得到行列數(shù)不變的新矩陣，稱為原來兩矩陣的和．對(duì)于減法即兩矩陣的差，可以類似地定義．用數(shù)學(xué)語言表 達(dá)為： 矩陣加減法 的定義． 設(shè)矩陣 Aa a aa a aa a annm m mn?????????????11 12 121 22 21 2??? ? ? ??, Bb b bb b bb b bnnm m mn?????????????11 12 121 22 21 2??? ? ? ??, 則兩 矩陣的和 為矩陣 ?????????????????????????mnmnmmmmnnnnbabaaababababababaBA???????221122222221211112121111 , 兩矩陣的差 為矩陣 ?????????????????????????mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA???????221122222221211112121111． 例 設(shè)某機(jī)械總公司下屬一個(gè)分公司 , 其職工按男女區(qū)分統(tǒng)計(jì)如下表 , 總公司 分公司 技術(shù)人員 生產(chǎn)工人 其他 技術(shù)人員 生產(chǎn)工人 其他 男 50 100 5 100 300 10 女 10 200 15 25 100 20 我們分別用矩陣 A和 B來列出總公司和分公司的職工人數(shù)情況 , 然后匯總統(tǒng)計(jì)用矩陣 A+B 表 示，即 A ? ??? ???50 100 510 200 15, B ? ??? ???100 300 1025 100 20，則匯總為A B? ? ??? ???150 400 1535 300 35, 從矩陣 A+B 中可了解該機(jī)械公司的職工總數(shù)情況：男性技術(shù)人員、生產(chǎn)工人、其他職工分別為 150、 400、 15 人，而女性職工分別為3 300、 35 人． 例 若 A ? ???? ???6 51 1 ， B ? ???? ???2 03 4 ， 則 A B? ? ? ? ?? ? ???? ??? ? ??? ???6 2 5 01 3 1 4 4 54 3( )． 例 設(shè) A = (a b c) , B = (x y z)， 則 A B = (a – x b – y c z)． 容易驗(yàn)證 , 矩陣的加法具有下列基本性質(zhì)： 1. 交換性 A + B = B + A． 2. 結(jié)合性 ( A + B ) + C = A + ( B + C )． 3. 零矩陣的單位性 A + 0 = 0 + A = A ． (零矩陣：所有元素均為 0 的矩陣 ) 4. 保持轉(zhuǎn)置性 （ A + B） ˊ = Aˊ + Bˊ ． 5. 負(fù)矩陣的存在性，即對(duì)任 意矩陣 Aa a aa a aa a annm m mn?????????????11 12 121 22 21 2??? ? ? ?? , 矩陣? ? ?? ? ?? ? ?????????????a a aa a aa a annm m mn11 12 121 22 21 2??? ? ??稱為 A 的負(fù)矩陣 , 記作 A, 且有 A + ( A) =( A)+ A = 0 ． 顯然 , 若 A 與 B 是同型矩陣 , 則 A B = A + ( B)． 例 設(shè) , A B? ??? ??? ? ? ???? ???2 3 41 0 2 2 1 13 0 3, ，則 ? ?A B? ? ? ? ? ? ? ?? ? ????????? ? ???? ?????????????????2 2 3 1 4 11 3 0 0 2 34 2 52 0 14 22 05 1( ) ( ) , 容易看出 , 還有 (A B)ˊ = Aˊ Bˊ ． 2． 矩陣的倍數(shù) 一個(gè)矩陣 A 的負(fù)矩陣 A，就是將 A 的每個(gè)元素乘以 1，我們不妨將 A寫 成（ 1） A, 稱為 A 的 1 倍．與此相仿，如果作加法運(yùn)算 A+A ， 其結(jié)果是將 A 的每個(gè)元素乘以 2，而 A+A 可以認(rèn)為是 2 倍的 A 即 2A ．由此我們推廣這種作法，引進(jìn)矩陣的倍數(shù)，或稱為矩陣與數(shù)的乘法，又叫矩陣的數(shù)乘． 矩陣數(shù)乘 的 定義 . 設(shè) k 為一實(shí)數(shù)， Aa a aa a aa a annm m mn?????????????11 12 121 22 21 2??? ? ? ??， 則 A 的 k 倍 （或稱為 A 與數(shù) k 的 數(shù)乘 ）是與 A 同型的矩陣 kAka ka kaka ka kaka ka kannm m mn?????????????11 12 121 22 21 2??? ? ? ?? ． 容易驗(yàn)證，對(duì)任意矩陣 A，我們有 0 A = 0, 1 A = A, (1) A = A ，并且矩陣與數(shù)的乘法具有下列基本性質(zhì)： 1. 對(duì)加法的分配性 k(A+B) = kA + kB， ( k+l )A = kA + lA ． 2. 結(jié)合性 k(lA) = (kl)A = l(kA) ． 3. 保持轉(zhuǎn)置性 (kA)ˊ = k Aˊ ． 例 已知 A B? ??????????? ????????????3 2 2 01 3 0 82 4 6 97 4 3 33 1 0 75 2 3 9, , 且 A + 3X = B, 求矩陣 X ． 解． 由 A + 3X = B 得 3X = B－ A，所以 ? ? ? ? ???????????????????????????????????????????032310223564319963422587003113032324373131 ABX ??? ?? ?????????????????43 253 12323 013123 1 0． 矩陣的乘法 矩陣與矩陣的乘法是一種非常重要的乘法 , 它不同于我們過去熟悉的各種乘法比如數(shù)與數(shù)的乘法和矩陣與數(shù)的乘法等 , 我們還是通過具體的例子來了解矩陣的乘法． 例 一小學(xué)生買了一打鉛筆 , 每支 元； 練習(xí)本 15 個(gè) , 每本 元； 蘭墨水一瓶 , 價(jià) 元．問共花去多少錢 ? 解 . 共花去的錢數(shù)顯然是 0 3 12 0 2 15 0 8 1. . . ,? ? ? ? ? 經(jīng)計(jì)算得 74. （元） . 此算式可用下述形式表達(dá) : ? ?0 3 0 2 0 8 121510 3 12 0 2 15 0 8 1 7 4. . . . . . .?????????? ? ? ? ? ? ? ?（元）． 這種一行與一列矩陣的運(yùn)算稱為矩陣的乘法 . 我們可以將它推廣成一般的矩陣乘法 . 若記 ? ?A B? ???????????0 3 0 2 0 812151. . . , , 則上述乘法就可記成 AB? , 或甚至省略中間的乘法記號(hào)“” , 簡(jiǎn)寫成 AB．但要注意 , 要做這樣的乘法 , 并非任何兩個(gè)矩陣都可以進(jìn)行：一個(gè)起碼的條件是 A 的列數(shù)必須與 B 的行數(shù)相同． 矩陣乘法 的定義 . 設(shè) ? ? ? ?A a B bij mn jk np? ?, 分別是 m? n, n? p矩陣 , 則 矩陣 A與 B的 乘積 是一 m? p 矩陣， 記為 C ABc c cc c cc c cppm m mp? ?????????????11 12 121 22 21 2??? ? ? ??, 其中乘積矩陣 C中第 i 行第 k 列處元素為 ? ????????????????????nkkkiniinkinkikiikbbbaaabababac ??? 21212211 , pkmi ???? 1 ,1 , 今后為簡(jiǎn)便起見 , 采用一個(gè)和式的縮寫記號(hào) ? (讀作 Sigma), 即 ??????nt tkitnkinkiki babababa 12211 ?, 其中 ? 稱為和號(hào) , 其下的 t?1 表示 ? 后面式子 abittk 中的下標(biāo) t 從 1 開始 , 順次取t t? ?1 2, , ,? 直到 t n? , 此處下標(biāo) t的最后一個(gè)數(shù)是 ? 上面標(biāo)出的 n, 然后將這 n個(gè)式子相加．于是有 ABa a aa a aa a ab b bb b bb b ba b a b a ba b annm m mnppn n npt ttnt ttnt tptnt ttn?????????