線性代數(shù)課件ch1-3華東理工大學(xué)(編輯修改稿)
2024-08-28 16:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 初等列變換 與 初等行變換 統(tǒng)稱為初等變換． 初等變換的逆變換仍為初等變換 , 且變換類型相同． 同理可定義矩陣的初等列變換 (所用記號(hào)是把“ r”換成“ c”)． ijr)(?ir逆變換 逆變換 。)1(?ir)(krij 逆變換 .)( krij ?ijr等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)： ；反身性）（ A~ A 1A。~B , B~ A 2 則若對(duì)稱性）（C.~ AC,~BB,~ A 3 則若）傳遞性（．等價(jià)，記作與就稱矩陣，矩陣經(jīng)有限次初等變換變成如果矩陣BABABA~具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系． 例如，兩個(gè)線性方程組同解， 就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià) 3定義定義 由單位矩陣 經(jīng)過(guò) 一次 初等變換得到的方陣稱為初等矩陣 . I三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣 . 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛 . 三、初等矩陣的概念 ??????行（列）上去．乘某行（列）加到另一以數(shù)乘某行或某列；以數(shù)對(duì)調(diào)兩行或兩列；.1?行（列）矩陣，得初等兩行（列），即中第對(duì)調(diào) )(, ijij crjiI對(duì)調(diào)兩行或兩列、1????????????????????????????????????1101111011???????ijijCR行第 i?行第 j?列第 i 列第 j).( ijij CR，得左乘階初等行矩陣用 nmijij aARm ?? )(???????????????????????mnmminiijnjjnijaaaaaaaaaaaaAR?????????????21212111211行第 i?行第 j?).( ijrjiAA行對(duì)調(diào)行與第的第把：施行第一種初等行變換相當(dāng)于對(duì)矩陣，右乘矩陣階初等列矩陣以類似地，ACn ij???????????????mnmimjmnijnijijaaaaaaaaaaaaAC?????????????12222111111).( ijcjiAA列對(duì)調(diào)列與第的第把：施行第一種初等列變換相當(dāng)于對(duì)矩陣 02 乘某行或某列、以數(shù) ??陣），得初等行（列）矩（即列第行乘單位矩陣的第以數(shù))()()(0 ???iicrji?????????????????????????1111)()(?????iiCR行第 i?第 i 列 )).(()( ?? ii CR；行的第乘相當(dāng)于以數(shù) ))(( ?? iriA?????????????????mnmminiiniaaaaaaaaaAR?????????212111211)( ????行第 i?類似地，得左乘矩陣以 AR i )( ? )).(( )(???iiciAAC列的第乘以相當(dāng)于以數(shù)，其結(jié)果矩陣右乘以上去列加到另一行列乘某行、以數(shù) )()(3 k))](([))(( kcijIkkrjiIkjiij列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以????????????????????????1111)()(?????kkCkRjiij行第 i?行第 j?，得左乘矩陣以 AkR ij )(??????????????????????????mnmminjnijijiniinijaaakaakaakaaaaaaaaAkR?????????????2122112111211)()).(( krjkiA ij行上加到第行乘的第等價(jià)于把 )).(()(kcikjAAkCjiji列上加到第列乘以的第把，其結(jié)果相當(dāng)于右乘矩陣類似地，以??????????????????mnmjmjmimnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakAC?????????????1222221111111)( 定理 1 設(shè) 是一個(gè) 矩陣，對(duì) 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣 . nm?mnAAAAA綜合得初等變換 初等矩陣 初等逆變換 初等逆矩陣 推論 初等矩陣都可逆，且其逆矩陣仍為同類初等矩陣。 1 ；的逆變換是其本身，則變換ijijijRRr??)。1()()1()(1????iiiiRRrr??，則的逆變換為變換. )()()()(1 kRkRkrkrijijijij????，則的逆變換為變換，設(shè)???????????333231232221131211aaaaaaaaaA ，??????????????333332311313121123232221aaaaaaaaaaaaB,1000010101???????????P，若有 BAPP ?21 ).(2 ?P則。1
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