雙流體模型的格子玻爾茲曼模擬(編輯修改稿)
2025-09-25 20:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 以下的特性：qσfσ0Dρσ?σθσξuσ2θσDdξ=qσDρσ?σθσfσ0ξuσ2θσDdξ =qσDρσ?σθσDρσ?σθσDρσ?σθσ=0 qσfσ0Dρσ?σθσξuσ2θσDξdξ=0qσfσ0Dρσ?σθσξuσ2θσDξ?ξdξ=qσ應(yīng)用查普曼恩斯科格逐次逼近法可以很容易地推導(dǎo)出流體動(dòng)力學(xué)方程，在零級(jí)的時(shí)候，fσ=fσ0；Pijσ0=ρσ?σθσδij，Siσ0=0，然后方程1820變?yōu)槿缦碌氖阶樱篸ρσ?σdt=ρσ?σ?uiσ?xi ρσ?σduiσdt=?ρσ?σθσ?xi+ρσ?σgσ dθσdt=2θσD?uiσ?xi+2Dqσρσ?σ (22)當(dāng)做一級(jí)展開時(shí)，用式子fσ=fσ0+fσ1代替方程9中的fσ，并且在方程的左邊忽略掉fσ1（這是一個(gè)連續(xù)性方程從波爾茲曼方程通過微擾展開后得到的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)簡化），我們得到：fσ1?τσ??t+ξi??xi+giσ??ξifσ0+τσqσfσ0Dρσ?σθσc2θσD (23) 為了評(píng)估這個(gè)派生出的式子，我們發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程通過變量?σ，ρσ，uσ和θσ與t和x關(guān)聯(lián)起來，并且應(yīng)用了下面的這個(gè)式子，這個(gè)式子很容易通過方程被證實(shí)：?fσ0?ρσ?σ=fσ0ρσ?σ，?fσ0?θσ=c22θσD2fσ0θσ，?fσ0?uiσ=cifσ0θσ，?fσ0?ξi=cifσ0θσ (24)然后方程23變成：fσ1?τσfσ0θσθσρσ?σDρσ?σ+c22θσD2Dθσ+2Dqσρσ?σ+ciDuiσgici+τσqσfσ0Dρσ?σθσc2θσD (25) 此處D=??t+ξi??xi=ddt+ci??xi然后應(yīng)用第零級(jí)的解（方程22）獲得Dρσ?σ=ρσ?σ?uiσ?xi+ci?ρσ?σ?xi，Duiσ=1ρσ?σ?θσρσ?σ?xi+giα+cj?uiσ?xj，Dθσ=2θσD?uiσ?xi+ci?θσ?xi (26)結(jié)合方程25和26，fσ1?τσfσ0θσc22θσD+22ci?θσ?xi+cicjc2Dδij?uiσ?xij (27)把這個(gè)方程帶入方程21中，我們可以得到對(duì)壓力張量和能量波動(dòng)通量的一階校正。方程27的右邊第一項(xiàng)中帶c總是奇數(shù)，所以此項(xiàng)對(duì)壓力張量沒有影響；右邊第二項(xiàng)中帶c總是偶數(shù)，所以對(duì)能量通量沒有影響。運(yùn)用較早提到的方程式（方程1417），我們可以得到以下的關(guān)于壓力張量和能量通量的方程：Pijσ1=τσθσ?ukσ?xlfσ0ckclc2Dδklcicjdc=2τσρσ?σθσΛijσδijD?ujσ?xi (28)Siσ1=τσθσ?θσ?xjfσ0c22θσD+22δklc2cicjdc=D+2τσρσ?σθσ?θσ?xi (29)此處，Λijσ=12?uiσ?xj+?ujσ?xi將Λijσ?guī)敕匠?820，并且重新加上矢量符號(hào)，我們得到以下的守恒方程（通常我們用σ=1表示離散相，用σ=2表示連續(xù)相）：?ρd?d?t+??ρd?dud=0 (30)?ρc?c?t+??ρc?cuc=0 (31)ρd?d?ud?t+ud??ud=??ρd?dθdI+μd?ud+?udT2ID??ud+?dρdgd (32)ρc?c?uc?t+uc??uc=???cπc+?cρcgc (33)D2ρd?d?θd?t+ud??θd=??Qd+πd:?ud+qd (34)D2ρc?c?θc?t+uc??θc=??Qc+πc:?uc+qc (35)此處的πc與方程6中的一樣，pc=ρcθc。 μc=ρcτcθc。 μd=ρd?dτdθd。Qσ=D+22μσ?θσ，σ=c,d (36)我們定義gd=g+1?dρdF+?d??πc+???dρdθdpd+μbd??udI (37)gc=g1?cρcF+πc???c (38)和qc=0。 qd=ΓslipJcollJvis (39)此處F, pd, μbd, Γslip, Jcoll和Jvis（它們的定義詳見第二部分）是由用戶提供的，正如是在第二部分中強(qiáng)調(diào)的那樣，將方程3739帶入方程3235，我們得到ρd?d?ud?t+ud??ud=?d??πc+??πd+F+?dρdg (40) ρc?c?uc?t+uc??uc=?c??πcF+?CρCg (41)D2ρd?d?θd?t+ud??θd=??Qd+πd:?ud+ΓslipJcollJvis (42)D2ρc?c?θc?t+uc??θc=??Qc+πc:?uc (43)此處的πd正如方程9中的一樣，通過將τd表述成?d（或者其他變量）的函數(shù)，我們可以調(diào)整離散相的有效粘度使之與第二部分的雙流體模型相匹配。注意到普朗特?cái)?shù)Prσ在上述模型中是個(gè)常數(shù)；所以，盡管這一限制可以通過一些模型上的改進(jìn)而部分消除，但是我們?cè)诒疚闹胁]有對(duì)這一點(diǎn)做進(jìn)一步研究。對(duì)比在這一部分推導(dǎo)出的連續(xù)介質(zhì)模型和第二部分提出的模型，我們很容易可以發(fā)現(xiàn)除了連續(xù)相的能量波動(dòng)方程(方程43)外，其他的方程是一致的。方程43這一方程通過密度，壓力和連續(xù)相的粘度θc影響了連續(xù)性方程和動(dòng)量方程；然而，變量θc可以是很小的，這樣一來方程43就幾乎變得不相關(guān)了。從上面的分析中很容易看出，方程9等號(hào)右邊第二項(xiàng)的引入在本文中是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，這一項(xiàng)使得方程9變成如同我們所感興趣的雙流體模型的形式。這一項(xiàng)的形式和qα的表達(dá)式使得方程9的低階矩和雙流體模型的質(zhì)量守恒方程，動(dòng)量守恒方程還有波動(dòng)能守恒方程一致。．格子波爾茲曼——BGK模型的推導(dǎo)計(jì)算機(jī)模擬連續(xù)波爾茲曼方程的第一步是使之離散化，在這一部分我們從連續(xù)性波爾茲曼方程中推出了離散化的波爾茲曼方程，離散化后導(dǎo)致格子玻爾茲曼BGK模型(LBMBGK)適用于規(guī)則的網(wǎng)格。我們從方程9開始，用gσ??ξfσ0對(duì)
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