【正文】 其他的方程是一致的。 μd=ρd?dτdθd。 Pijσ=fσcicjdc，Siσ=fσc2cidc (21)在通過分析得到方程1820的過程中，我們用到了以下的特性：qσfσ0Dρσ?σθσξuσ2θσDdξ=qσDρσ?σθσfσ0ξuσ2θσDdξ =qσDρσ?σθσDρσ?σθσDρσ?σθσ=0 qσfσ0Dρσ?σθσξuσ2θσDξdξ=0qσfσ0Dρσ?σθσξuσ2θσDξ?ξdξ=qσ應(yīng)用查普曼恩斯科格逐次逼近法可以很容易地推導(dǎo)出流體動(dòng)力學(xué)方程，在零級(jí)的時(shí)候，fσ=fσ0；Pijσ0=ρσ?σθσδij，Siσ0=0，然后方程1820變?yōu)槿缦碌氖阶樱篸ρσ?σdt=ρσ?σ?uiσ?xi ρσ?σduiσdt=?ρσ?σθσ?xi+ρσ?σgσ dθσdt=2θσD?uiσ?xi+2Dqσρσ?σ (22)當(dāng)做一級(jí)展開時(shí)，用式子fσ=fσ0+fσ1代替方程9中的fσ，并且在方程的左邊忽略掉fσ1（這是一個(gè)連續(xù)性方程從波爾茲曼方程通過微擾展開后得到的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)化），我們得到：fσ1?τσ??t+ξi??xi+giσ??ξifσ0+τσqσfσ0Dρσ?σθσc2θσD (23) 為了評(píng)估這個(gè)派生出的式子，我們發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程通過變量?σ，ρσ，uσ和θσ與t和x關(guān)聯(lián)起來(lái)，并且應(yīng)用了下面的這個(gè)式子，這個(gè)式子很容易通過方程被證實(shí)：?fσ0?ρσ?σ=fσ0ρσ?σ，?fσ0?θσ=c22θσD2fσ0θσ，?fσ0?uiσ=cifσ0θσ，?fσ0?ξi=cifσ0θσ (24)然后方程23變成：fσ1?τσfσ0θσθσρσ?σDρσ?σ+c22θσD2Dθσ+2Dqσρσ?σ+ciDuiσgici+τσqσfσ0Dρσ?σθσc2θσD (25) 此處D=??t+ξi??xi=ddt+ci??xi然后應(yīng)用第零級(jí)的解（方程22）獲得Dρσ?σ=ρσ?σ?uiσ?xi+ci?ρσ?σ?xi，Duiσ=1ρσ?σ?θσρσ?σ?xi+giα+cj?uiσ?xj，Dθσ=2θσD?uiσ?xi+ci?θσ?xi (26)結(jié)合方程25和26，fσ1?τσfσ0θσc22θσD+22ci?θσ?xi+cicjc2Dδij?uiσ?xij (27)把這個(gè)方程帶入方程21中，我們可以得到對(duì)壓力張量和能量波動(dòng)通量的一階校正。我們把兩相中的一相，命名為σ（通常是離散相），我們把它的密度看做是常數(shù)，并且我們通過方程11求得離散相的體積分率，規(guī)定它的密度。（方程10中的波爾茲曼分布是方程9的平衡解）θα=m0TαmαT0是無(wú)量綱溫度。）3. 理論．連續(xù)波爾茲曼——BGK模型考慮到無(wú)量綱的波爾茲曼——BGK方程（包含改進(jìn)的撞擊相）表述了單粒子分布函數(shù)fσX,ξ,t的演化，在相空間X,ξ中，X,ξ分別表示位置和微觀速度。3847 ?D2ρd?dTd?t+?D2ρd?dTdud=?Q+πd?ud+ΓslipJcollJvis (8)此處，Td={1/D}?C）我們將在第四部分給出一個(gè)關(guān)于β的閉合關(guān)系的示例來(lái)驗(yàn)證格子玻爾茲曼方法的正確性。在大多數(shù)氣相粒子懸浮液中，界面相互作用力主要是由于拽力的存在，并且表述如下： F=βucud (7)此處的β是摩擦系數(shù)，論文中有許多的模型對(duì)摩擦系數(shù)β進(jìn)行了描述（例如參考文獻(xiàn)中1822和3437），并且這些例子可應(yīng)用我們下面提供的方案去解決。2. 氣體粒子流的雙流體模型考慮到一個(gè)離散兩相系統(tǒng)是由均勻大小的懸浮在連續(xù)氣相中的顆粒組成的，離散相和連續(xù)相的局部平均運(yùn)動(dòng)方程采用以下的形式59：?ρd?d?t+?ρd?dud=0 (1)?ρc?c?t+?ρc?cuc=0 (2)?ρd?dud?t+?ρd?dudud=?πd+?d?πc+F+ρd?dg (3)?ρc?cuc?t+?ρc?cucuc=?c?πcF+ρc?cg (4)在此，?c=1?d；ρc和ρd分別表示氣態(tài)連續(xù)相和固態(tài)分散相的密度；uc和ud分別是兩項(xiàng)的局部平均速度；πc和πd分別表示局部平均剪應(yīng)力；F表示單位體積的界面相互作用力；g表示比重力；通常，剪應(yīng)力表示如下πc=pcI+μc?uc+?ucT2D?ucI (5) πd=pdI+μbd?udI+μd?ud+?udT2D?udI (6)在此，pc和pd表示壓力；D代表系統(tǒng)的維度（D表示3維）；μc和μd是兩相的有效粘度（切向的）；μbd是離散相的體積粘度；I是張量；（盡管體積粘度可以被加到方程(5)中，但是體積粘度項(xiàng)通常不包含在連續(xù)相的應(yīng)力方程中。這個(gè)研究的目的是開發(fā)一個(gè)基于格子玻爾茲曼的數(shù)值方案解決雙流體模型方程。而Wang王和Wang等33人使用改進(jìn)的修正的格子玻爾茲曼方程求解了一個(gè)方法來(lái)解簡(jiǎn)單的雙流體模型。格子玻爾茲曼方法同時(shí)于被應(yīng)用求解到獲取特定上升的氣泡懸浮液的上升過程泡沫懸浮的液流動(dòng)的詳細(xì)流場(chǎng)特定解29,30。格子玻爾茲曼方法也已經(jīng)被應(yīng)用到于各種兩相問題的細(xì)節(jié)求解單變量的雙流體模型的特定問題了，譬如。在本文中，我們提出一個(gè)基于格子玻爾茲曼方法的替代方法來(lái)求解解決雙流體模型。例如參考文獻(xiàn)9和10。歐拉拉格朗日方法中離散相是用拉格朗日方法跟蹤，為了和歐拉拉格朗日方法區(qū)分，雙流體模型通常也叫有時(shí)候指代歐拉歐拉模型，為了和歐拉拉格朗日方法區(qū)別開來(lái)，歐拉拉格朗日方法中離散相是用拉格朗日方法跟蹤的。為了理解放大行為、理解流動(dòng)模式對(duì)不同過程特性，如傳熱和傳質(zhì)、化學(xué)反應(yīng)的選擇性和轉(zhuǎn)化率的影響，現(xiàn)在人們對(duì)在大型的工藝容器設(shè)備中建立這種分散兩相流流動(dòng)模型類型和模擬的模型和在其中模擬這種流動(dòng)類型有很大的興趣是非常有必要的。 因此。雙流體模型的格子玻爾茲曼模擬作者：Krishnan Sankaranarayanan, Sankaran Sundaresan化工學(xué)院，普林斯頓大學(xué)，普林斯頓