如何使飲料罐制造用材最省(編輯修改稿)
2025-06-26 04:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 π R ； V = π R H ? H =V/π R2 又由 S′ (R) = 2π (2R ?V ) = 0 ，求得 2π R R=3 V =π RH V V 3 4π 2 = 2R = d 故 H = 2 = π R π V 2 顯然，這種尺寸下的易拉罐不美觀?？梢?jiàn)，只考慮表面積而不考慮易拉罐各個(gè)部分 的 材料厚度是比較粗略的。 聯(lián)系實(shí)際對(duì)模型進(jìn)一步分析， 用手模一下罐頂蓋、底蓋與側(cè)面發(fā)覺(jué)硬度都不一樣，為了便于計(jì)算，不妨假設(shè)上下 蓋一樣厚，側(cè)面較薄，故設(shè)罐側(cè)厚為 b ，頂蓋底蓋厚度為 α b 飲料罐側(cè)面所用材料的體積為： (π ( R + b ) 2 ? π R 2 )( H + 2α b ) = (2π Rb + π b 2 )( H + 2α b ) = 2π RbH + π b 2 H + 4απ Rb 2 + 2απ Rb 3 飲料罐頂蓋、底部所用材料的體積均為： απ R 2 b 故 Vs 和 V 分別為： V s ( R , H ) = 2 π R b H + π b 2 H + 4α π R b 2 + 2α π b 3 + 2α π R 2 b V (R, H ) = π R 2H 因?yàn)? b R ,便于計(jì)算，故帶 b 2 ,b 3 的項(xiàng)可以忽略，因此 V s ( R , H ) ≈ 2 π R b H + 2α π R 2 b 令 g (R, H ) = π R 2 H ? V ，于是建立以下數(shù)學(xué)模型： R 0, H 0 min Vs ( R, H ) ( R, H ) = 0 其中 Vs 是目標(biāo)函數(shù)， g ( R, H ) = 0 是約束條件 , V 是已知的 (即罐內(nèi)體積一定 ),即要在體 積一定的條件下 ,求使罐的體積最小的 R 、 H 和 α ，這是一合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 11 頁(yè) 共 20 頁(yè) 個(gè)求條件極值的問(wèn)題。 二、模型的求解 由 g ( R, H ) = π R H ? V = 0 得 H=V /π R 2 代入 Vs ，原問(wèn)題化為：求使 Vs 最小的 R : H 值 ,即 求 R 使 Vs ( R, H ( R )) = 2π Rb V 2V + 2απ R 2b = b( + 2απ R 2 ) 的最小。 2 π R R R =3 dS V = 2 b ( 2 α π R ? 2 ) = 0 ，解得 dR R V 2 απ 由 Vs 的二階導(dǎo) V s= 2b(2V + 2 π ) 0 可知， R 為最值 R ?3 H =V = 2α π R2 V= 2α R H = 2 ,則 α = 2 可見(jiàn)，要求使 Vs 最小的 R : H 值，取決于 α 值，由測(cè)量數(shù)據(jù)可知頂蓋和底蓋的厚度是其他材料厚度的 2倍。而實(shí)際我們測(cè)量所得的數(shù)據(jù)表明頂蓋和底蓋的厚度是側(cè)面材料厚度的 3倍?？紤]到模具沖壓的牢固性，故要選用厚些的材料，這樣材料消耗會(huì)增大，故日常我們見(jiàn)到的飲料罐尺寸僅從省材角度看并非最優(yōu)，但從美觀和力學(xué)牢固程度看，卻是最優(yōu)設(shè)計(jì)。 問(wèn)題三模型的建立和求解模型的建立考慮易拉罐的形狀為圓柱加圓臺(tái) ，先假設(shè)其厚度忽略不計(jì)，體積為355ml。 易拉罐的表 面積 S ( R , H , r1 ) = π R2 + 2 π RH + π ( R + r1 ) R ? r1 + π r1 2 sin θ (π R2 ? r1 2） （ = 2 π RH + +π R 2 + r1 2） （ sin θ易拉罐的容積 V = π r 2H 建立模型： 合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 12 頁(yè) 共 20 頁(yè) H +2R 0, H 0, r1 0 R ? r1 π ( R 2 + r1 + R r1 2) 3 α 3= 3 π R ? r1 H + 3 α min S ( R, H , r1 ) . π R 3 ? r13 ?V = 0 π R H + 3 α 模型的求解 設(shè)拉格朗日乘數(shù) λ ，得拉格朗日函數(shù) F ( R , r1 , H , λ ) = 2π RH + π ( R2 ? r12 )sin θ π R 3 ? r13 2+ π ( R + r1 ) + λπ R H + ?Vα 3 π π R2 FR 39。 = 2π H + sin θ 2 R + 2π R + λ (2π RH + α ) = 0 π π ?3r12 Fr1 39。 = (?2r1 ) + 2π r1 + λ ( )=0 sinθ 3 α FH 39。 = 2π R + λπ R 2 = 0 π R 3 ? r13 2 Fλ 39。 = π R H + ?V = 0 3 α 求解得 λ = ?2 R r1 =α R ?1 sin θ 3α α 3 3α 2 R 2 3α R 3α V 3 R=( + 3α ? ? 2) R + ? ? +1 sin θ sin θ sin θ π sin 3 θ 由數(shù)學(xué)軟件解得具體的值為： R = ， r1 = ， H = ， H = ； 由前面測(cè)得的數(shù)據(jù)可知，高與半徑比值為 4時(shí)較美觀，故現(xiàn)在的結(jié)論不是最優(yōu)，須進(jìn)一步考慮厚度。模型的深入 假設(shè)罐側(cè)厚為 b ，頂蓋底蓋厚度為 α b ，θ注：除頂蓋和底蓋 外其它各個(gè)部分的 厚度為α 易拉罐圓柱側(cè)面所用材料的體積為 (π ( R + b) 2 ? π R 2 )( H + α b) = (2π Rb + π b 2 )( H + α b) = 2π RbH + π b 2 H + 2απ Rb 2 + απ b3 π R 2 ? r12） （ b 易拉罐圓臺(tái)側(cè)面所用材料 的體積為 s
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