福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列四(三角函數(shù)典例剖析及資源推送)(編輯修改稿)
2025-04-05 06:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 分．【例16】在中，，點(diǎn)在線段上，若，則___________，___________．【解析】如圖，在中，由正弦定理有：，而，，所以；．【評析】本題主要考查解三角形問題，即正弦定理、三角恒等變換、建立方程，要注意充分利用圖形特征．【例17】在平面四邊形中，，則的取值范圍是．【解析】畫出四邊形的示意圖，觀察邊的極限位置．已知條件為及，因此可以發(fā)現(xiàn)，過上的點(diǎn)或的延長線上的點(diǎn)，作的平行線時，得到的四邊形仍然可以滿足給定的條件，如圖所示，這樣就可以發(fā)現(xiàn)的極限位置，從而得到邊的極限位置的幾何狀態(tài)．最后只需要求解在極限位置時的大小即可．在等腰三角形中，．在等腰三角形中，．所以．【評析】本題給出一個不確定的四邊形，主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查視圖、作圖能力，考查三角恒等變形的掌握情況和解三角形的運(yùn)算求解能力．在解決本問題時，首要任務(wù)是分析該四邊形是確定的還是不確定的．通過試題給出的幾何條件，可以發(fā)現(xiàn)四邊形是不確定的，因此要分析：①該四邊形是如何變化的；②在變化的過程中，是否有不變量或不變關(guān)系，有哪些不變量或不變關(guān)系；③變化的四邊形與確定的三角形之間的關(guān)系是什么．一般而言，四邊形與三角形之間是緊密聯(lián)系的，所以努力構(gòu)建題設(shè)條件下的四邊形與確定的三角形的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．經(jīng)過作圖，可以發(fā)現(xiàn)該四邊形其變化的基本規(guī)律，即所在直線沿給定的方向（）作平移變換，根據(jù)試題的目標(biāo)限定，可以發(fā)現(xiàn)平移距離是受到約束的，從而得到邊的取值范圍．（六）三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯應(yīng)用【例18】【2020湖南月考】已知函數(shù)在處有極值.（1）求的值，并判斷是的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)？（2）若不等式對于任意的恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由，得，由題意，得，即，解得.當(dāng)時，由，得，解得.當(dāng)時，；當(dāng)時，∴是的極大值點(diǎn).（2）本題等價于對于一切恒成立.記，則，.由，得，所以，即，∴.從而在上是減函數(shù)，∴，故【評析】本題第（1）小題由可得，從而判斷出是的極大值點(diǎn)；（2），條件轉(zhuǎn)化為對于一切恒成立，記，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值.【例19】已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：；（2）若函數(shù)，①求在上的最小值；②求證：函數(shù)在處取到極小值.【解析】（1）由得，當(dāng)時，顯然恒成立，所以在上單調(diào)遞減；因此；（2）因?yàn)?，所以，令，則，①當(dāng)時，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因此，即，所以在上的單調(diào)遞增，因此；②當(dāng)時，顯然單調(diào)遞增，而，又，所以存在，使得，因此存在，使，即函數(shù)單調(diào)遞增；即單調(diào)遞增；故當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又由①知，在上的單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值.【評析】第（1）題，對函數(shù)求導(dǎo)，判定其在給定區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而證明成立；第（2）題，，對其求導(dǎo)，得到，令，再對求導(dǎo)，對分區(qū)間討論，①判定，推導(dǎo)出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出最值；②當(dāng)時，判定顯然單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，得到存在，使得，因此存在，使，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減；再結(jié)合①中函數(shù)單調(diào)性，：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，則與一個為最大值，另一個為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在上的極值，再與，比較，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個極值點(diǎn)，這個極值點(diǎn)就是最大（或最小）值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.【例20】【2021江蘇鹽城】設(shè)函數(shù)，.（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值；（2）若，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由題意，函數(shù)，且函數(shù)在處的切線方程為，所以該函數(shù)過點(diǎn)，故，所以的值為；（2）對，恒成立，即，所以，①又因?yàn)椋?，故①可化簡為，②令，再令，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，故，又由②式可得，當(dāng)時，恒成立，所以，綜上所述：的取值范圍是：.【評析】第（1）題利用已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入到原函數(shù)即可得到的值；第（2）題利用已知條件，分離參數(shù)，得到，令，，得到，.（1）恒成立；成立；（2）恒成立；成立；（3）恒成立，令，則.二、資源推送（一）單選題【練習(xí)1】平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊上一點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則A． B． C． D．【解析】依題意可知在角的終邊上，所以，故選D．【練習(xí)2】在中，角的對邊分別為，若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是A． B． C． D．【解析】由已知得，化簡得,得，即，由正弦定理得，故選B.【練習(xí)3】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù) ②在區(qū)間單調(diào)遞增③在有4個零點(diǎn) ④的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【
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