20xx屆全國百強名?！邦I(lǐng)軍考試”高三下學期4月數(shù)學(文)試題(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-05 05:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 圖所示，可行域圍成一個封閉的三角形區(qū)域，易求出，．設(shè)目標函數(shù)為直線，即為，其斜率，從而知直線在軸上的截距為，當截距有最小值時有最小值．結(jié)合圖形分析可知，當直線過點時，有最小值，即．故答案為：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，涉及函數(shù)和不等式知識．考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，檢驗分析和解決問題、直觀想象、作圖論證、運算求解能力．14．已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求切點坐標，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求處切線的斜率，寫出切線方程即可.【詳解】依題意，由，得，即切點；又，知：曲線在點處切線的斜率，∴切線方程為，即．故答案為：15．已知的內(nèi)角，所對的邊分別為，，若，且，則的面積為__________．【答案】【分析】利用正弦定理的邊角互化可得，求出，再根據(jù)余弦定理可得，由三角形的面積公式即可求解.【詳解】由正弦定理及，得，又；于是得，即，且，可得；又由余弦定理得，得．則的面積為．故答案為：16．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，設(shè)和的離心率分別為和，且；若斜率為的直線與相交于，兩點，則的最大值為__________．【答案】【分析】由題知橢圓的方程為，故設(shè)，兩點的坐標分別為，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立并結(jié)合弦長公式得，進而即可得答案.【詳解】依題意，知雙曲線的兩焦點坐標為，離心率；從而知橢圓的兩焦點，得半焦距，又，得，即，則，所以橢圓的方程為．設(shè)，兩點的坐標分別為，直線的方程為；聯(lián)立方程組，消去得，解得，由韋達定理得，；由弦長公式得，故當時，．故答案為：【點睛】考查橢圓與雙曲線的標準方程及其幾何性質(zhì)，利用解析法中“設(shè)而不求”的思想，通過韋達定理及弦長公式求弦長的最大值．考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想，檢驗推理論證、運算化簡和求解能力．本題解題的關(guān)鍵在于利用弦長公式求得.三、解答題17．如圖，在正四棱柱中，點是側(cè)棱上一點且．（1）求證：平面平面；（2）若是棱的中點，且，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由側(cè)面，得到，又由，證得平面，即可證得平面平面．（2）設(shè)，求得，利用，求得，過作于，得到平面，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）在正四棱柱中，知側(cè)面，因為平面，可得，又，且，平面，所以平面，又因為平面，故平面平面．（2）如圖，在正四棱柱中，由于，兩兩互相垂直，因為是棱的中點，且，從而知正四棱柱的上、下底面是邊長為的正方形，設(shè)；由（1）知平面，可得，且，而，由勾股定理得，可得，解得，即，則側(cè)棱長，過作于，則平面，且；所以，即四棱錐的體積為．18．已知正項等比數(shù)列中，其前項和為，且滿足，．（1）求證：為一定值，并求出該定值；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求關(guān)于的表達式．【答案】（1）證明見解析；；（2）．【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件建立方程組，解之可求得等比數(shù)列的通項公式和求和公式，可得證；（2）運用錯位相減法可求得答案.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，則．由，得，即，解得，或（舍去）；又，得．則通項，得；故得為一定值，即該定值為．（2）由（1）知，則①；將①式兩邊同乘以，得
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