20xx屆普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試全國i卷數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-03 01:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ．如圖，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它們的棱長都相等，其中八個為正三角形，六個為正方形，則用該小桶油漆去涂與該二十四等邊體棱長相等的正四面體魔方表面(也是涂一遍)，那么至少可以涂___________個這樣的正四面體魔方.(結(jié)果取整數(shù))【答案】【分析】設(shè)二十四等邊體的棱長為，計算其表面積，再計算正四面體魔方的表面積，即可解得.【詳解】設(shè)該二十四等邊體的棱長為，則正四面體魔方的棱長也為，則該二十四等邊體的表面積為，正四面體的表面積為，而，所以至少可以涂個這樣正四面體魔方.故答案為：5.三、解答題17．已知等差數(shù)列中，且，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)求得d，再由，成等比數(shù)列求得，寫出通項公式；（2）根據(jù)（1）得到，利用裂項相消法求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．因為等差數(shù)列中，所以公差為，因為，成等比數(shù)列，所以，得，即，解得，所以通項公式為．（2）由（1）可得，數(shù)列的前項和，則．所以數(shù)列的前項和．【點睛】方法點睛：求數(shù)列的前n項和的方法（1）公式法：①等差數(shù)列的前n項和公式，②等比數(shù)列的前n項和公式；（2）分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項．（4）倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．（5）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則這個數(shù)列的前n項和用錯位相減法求解.（6）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．18．如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，為的兩個三等分點．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷性質(zhì)，在平面AFC上找到一條與DE平行的直線即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，通過法向量的夾角求得二面角的余弦值.【詳解】（1）連接交于點，連接，則為的中點，因為，為的兩個三等分點，所以為的中點，所以，又平面，平面，所以平面．（2）設(shè)正方形的邊長為，以點為原點，以，所在的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，則，．設(shè)平面的法向量為．由，得，得，令
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