20xx-20xx備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)培優(yōu)(含解析)之平行四邊形(編輯修改稿)
2025-04-01 22:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90176。，∴四邊形BCGD是矩形；（2）由折疊可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜邊上的中線，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等邊三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60176。，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60176。，∴∠EDF＝120176。．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度8．如圖所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E在CB的延長線上，使CE＝AC，連接AE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接BF、DF，求證：BF⊥DF．【答案】見解析.【解析】【分析】延長BF，交DA的延長線于點(diǎn)M，連接BD，進(jìn)而求證△AFM≌△EFB，得AM=BE，F(xiàn)B=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，進(jìn)而求得BD=BM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求證BF⊥DF．【詳解】延長BF，交DA的延長線于點(diǎn)M，連接BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴MD∥BC，∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，∴△AFM≌△EFB，∴AM=BE，F(xiàn)B=FM．∵矩形ABCD中，∴AC=BD，AD=BC，∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD．∵CE=AC，∴AC=CE= BD =DM．∵FB=FM，∴BF⊥DF．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，本題中求證DB=DM是解題的關(guān)鍵．9．如圖，現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．AB′與CD交于點(diǎn)E．（1）求證：△AED≌△CEB′；（2）過點(diǎn)E作EF⊥AC交AB于點(diǎn)F，連接CF，判斷四邊形AECF的形狀并給予證明．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意可得AD=BC=B39。C，∠B=∠D=∠B39。，且∠AED=∠CEB39。，利用AAS證明全等，則結(jié)論可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，則可證四邊形AECF是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊∴BC＝B39。C，∠B＝∠B39?！唷螪＝∠B39。，AD＝B39。C且∠DEA＝∠B39。EC∴△ADE≌△B39。EC（2）四邊形AECF是菱形∵△ADE≌△B39。EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四邊形AECF是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵．10．問題情境在四邊形ABCD中，BA＝BC，DC⊥AC，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長線于點(diǎn)E，M是邊AD的中點(diǎn)，連接MB，ME. 特例探究(1)如圖1，當(dāng)∠ABC＝90176。時(shí)，寫出線段MB與ME的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系； (2)如圖2，當(dāng)∠ABC＝120176。時(shí)，試探究線段MB與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； 拓展延伸(3)如圖3，當(dāng)∠ABC＝α?xí)r，請(qǐng)直接用含α的式子表示線段MB與ME之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)MB＝ME，MB⊥ME；(2)ME＝MB．證明見解析；(3)ME＝MBtan.【解析】【分析】（1）如圖1中，連接CM．只要證明△MBE是等腰直角三角形即可；（2）結(jié)論：EM=MB．只要證明△EBM是直角三角形，且∠MEB=30176。即可；（3）結(jié)論：EM=BM?tan．證明方法類似；【詳解】(1) 如圖1中，連接CM．∵∠ACD=90176。，AM=MD，∴MC=MA=MD，∵BA=BC，∴BM垂直平分AC，∵∠ABC=90176。，BA=BC，∴∠MBE=∠ABC=45176。，∠ACB=∠DCE=45176。，∵AB∥DE，∴∠ABE+∠DEC=180176。，∴∠DEC=90176。，∴∠DCE=∠CDE=45176。，∴EC=ED，∵M(jìn)C=MD，∴EM垂直平分線段CD，EM平分∠DEC，∴∠MEC=45176。，∴△BME是等腰直角三角形，∴BM=ME，BM⊥EM．故答案為BM=ME，BM⊥EM．(2)ME＝MB．證明如下：連接CM，如解圖所示．∵DC⊥AC，M是邊AD的中點(diǎn)，∴MC＝MA＝MD．∵BA＝BC，∴BM垂直平分AC．∵∠ABC＝120176。，BA＝BC，∴∠MBE＝∠ABC＝60176。，∠BAC＝∠BCA＝30176。，∠DCE＝60176。.∵AB∥DE，∴∠ABE＋∠DEC＝180176。，∴∠DEC＝60176。，∴∠DCE＝∠DEC＝60176。，∴△CDE是等邊三角形，∴EC＝ED．∵M(jìn)C＝MD，∴EM垂直平分CD，EM平分∠DEC，∴∠MEC＝∠DEC＝30176。，∴∠MBE＋∠MEB＝90176。，即∠BME＝90176。.在Rt△BME中，∵∠MEB＝30176。，∴ME＝MB．(3) 如圖3中，結(jié)論：EM=BM?tan．理由：同法可證：BM⊥EM，BM平分∠ABC，所以EM=BM?tan．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．11．如圖，拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B（，a）在拋物線上，點(diǎn)C是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接AB、BC，以AB、BC為鄰邊作□ABCD，記點(diǎn)C縱坐
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