【文章內(nèi)容簡介】 =90176。，∴四邊形EFPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90176。，∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90176。，∴△AEF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四邊形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=2，∴△APB周長的最大值=4+4．（3）如圖③中，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH=PB．∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60176。，∴∠APB=120176。，∵∠AKB=60176。，∴∠AKB+∠APB=180176。，∴A、K、B、P四點共圓，∴∠BPH=∠KAB=60176。，∵PH=PB，∴△PBH是等邊三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大時，△APB的周長最大，∴當PK是△ABK外接圓的直徑時，PK的值最大，最大值為4，∴△PAB的周長最大值=2+4．8．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖（1）四邊形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，則線段BD，AC的位置關(guān)系為　 ??；（拓展探究）（2）如圖（2）在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；（解決問題）（3）如圖（3）在正方形ABCD中，AB=2，以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)60176。，得到正方形AB39。C39。D39。，請直接寫出BD39。平方的值．【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四邊形FMAN是矩形，理由見解析；（3）16+8或16﹣8【解析】【分析】（1）依據(jù)點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，即可得出AC垂直平分BD；（2）根據(jù)Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，可得AF=CF=BF，再根據(jù)等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，進而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90176。，即可判定四邊形AMFN是矩形；（3）分兩種情況：①以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)60176。，②以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60176。，分別依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵AB=AD，CB=CD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，∴AC垂直平分BD，故答案為：AC垂直平分BD；（2）四邊形FMAN是矩形．理由：如圖2，連接AF，∵Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，∴AD=DB，AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90176。，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90176。，∴四邊形AMFN是矩形；（3）BD′的平方為16+8或16﹣8．分兩種情況：①以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)60176。，如圖所示：過D39。作D39。E⊥AB，交BA的延長線于E，由旋轉(zhuǎn)可得，∠DAD39。=60176。，∴∠EAD39。=30176。，∵AB=2=AD39。，∴D39。E=AD39。=，AE=，∴BE=2+，∴Rt△BD39。E中，BD39。2=D39。E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60176。，如圖所示：過B作BF⊥AD39。于F，旋轉(zhuǎn)可得，∠DAD39。=60176。，∴∠BAD39。=30176。，∵AB=2=AD39。，∴BF=AB=，AF=，∴D39。F=2﹣，∴Rt△BD39。F中，BD39。2=BF2+D39。F2=（）2+（2）2=16﹣8綜上所述，BD′平方的長度為16+8或16﹣8．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，依據(jù)勾股定理進行計算求解．解題時注意：有三個角是直角的四邊形是矩形．9．如圖，拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點，與x軸交于另一點B．（1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的解析式；（2）過點C作CE∥x軸交拋物線于點E，寫出點E的坐標，并求AC、BE的交點F的坐標（3）若拋物線的頂點為D，連結(jié)DC、DE，四邊形CDEF是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由．【答案】（1）y=x2+x﹣；（2）F點坐標為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明見解析【解析】【分析】將A、C點的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組求得該拋物線的解析式；根據(jù)（1）題所得的拋物線的解析式，可確定拋物線的對稱軸方程以及B、C點的坐標，由CE∥x軸，可知C、E關(guān)于對稱軸對稱。根據(jù)A、C點求得直線AC的解析式，根據(jù)B、E點求出直線BE的解析式，聯(lián)立方程求得的解，即為F點的坐標；由E、C、F、D的坐標可知DF和EC互相垂直平分，則可判定四邊形CDEF為菱形．【詳解】（1）∵拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點，∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2+x﹣；（2）∵y=x2+x﹣，∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1，∵CE∥x軸，∴C、E關(guān)于對稱軸對稱，∵C（0，﹣），∴E（﹣2，﹣），∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴B（1，0），設(shè)直線AC、BE解析式分別為y=kx+b，y=k′x+b′，則由題意可得，解得，∴直線AC、BE解析式分別為y=﹣x﹣，y=x﹣，聯(lián)立兩直線解析式可得，解得，∴F點坐標為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明：∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，∴D（﹣1，﹣2），∵F（﹣1，﹣1），∴DF⊥x軸，且CE∥x軸，∴DF⊥CE，∵C（0，﹣），且F（﹣1，﹣1），D（﹣1，﹣2），∴DF和CE互相平分，∴四邊形CDEF是菱形．【點睛】本題考查菱形的判定方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)與二元一次方程組．10．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，在等邊三角形ABC中，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，NC與AB的位置關(guān)系為　 ?。唬?）深入探究：如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC，點M為BC邊上異于B、C的