【文章內容簡介】 一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；（3）證明：當直線l繞點D旋轉時，均為定值，并求出該定值．【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對稱軸為x=；（2）點P的坐標為（，0）或（，﹣4）；（3）．【解析】試題分析：（1）由點C的坐標為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關于x的方程，解關于x的方程可得到點A和點B的坐標，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠CAO=60176。，依據AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30176。，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到點D的坐標．設點P的坐標為（，a）．依據兩點的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；（3）設直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點M和點N的橫坐標，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可．試題解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴點A的坐標為（﹣，0），B（，0），∴拋物線的對稱軸為x=．（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60176。．∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO=30176。，∴DO=AO=1，∴點D的坐標為（0，1）．設點P的坐標為（，a）．依據兩點間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．當AD=PA時，4=12+a2，方程無解．當AD=DP時，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴點P的坐標為（，0）．當AP=DP時，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴點P的坐標為（，﹣4）．綜上所述，點P的坐標為（，0）或（，﹣4）．（3）設直線AC的解析式為y=mx+3，將點A的坐標代入得：，解得：m=，∴直線AC的解析式為．設直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴點N的坐標為（，0），∴AN==．將與y=kx+1聯(lián)立解得：x=，∴點M的橫坐標為．過點M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=．∵∠MAG=60176。，∠AGM=90176。，∴AM=2AG==，∴= == =．點睛：本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，分類討論是解答問題（2）的關鍵，求得點M的坐標和點N的坐標是解答問題（3）的關鍵．7．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標為（﹣1，0），點O為坐標原點，OC=3OA，拋物線C1的頂點為G．（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標；（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線CC2于P、Q兩點，試探究在直線y=﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3，點G的坐標為（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由點A的坐標及OC=3OA得點C坐標，將A、C坐標代入解析式求解可得；（2）設拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x軸于點D，設BD′=m，由等邊三角形性質知點B′的坐標為（m+1，0），點G′的坐標為（1，m），代入所設解析式求解可得；（3）設M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根據PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN，延長PQ交直線y=﹣1于點H，證△OQM≌△QNH，根據對應邊相等建立關于x的方程，解之求得x的值從而進一步求解即可．【詳解】（1）∵點A的坐標為（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴點C的坐標為（0，3），將A、C坐標代入y=ax2﹣2ax+c，得：，解得：，∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以點G的坐標為（1，4）；（2）設拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，過點G′作G′D⊥x軸于點D，設BD′=m，∵△A′B′G′為等邊三角形，∴G′D=B′D=m，則點B′的坐標為（m+1，0），點G′的坐標為（1，m），將點B′、G′的坐標代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：，解得：（舍），∴k=1；（3）設M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角，∴△AOQ≌△PQN，如圖2，延長PQ交直線y=﹣1于點H，則∠QHN=∠OMQ=90176。，又∵△AOQ≌△PQN，∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，∴∠MOQ=∠HQN，∴△OQM≌△QNH（AAS），∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，解得：x=（負值舍去），當x=時，HN=QM=﹣x2+2x+2=，點M（，0），∴點N坐標為（+，﹣1），即（，﹣1）；或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；如圖3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，當x=4時，點M的坐標為（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴點N的坐標為（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；綜上點M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及到的知識有待定系數(shù)法、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質等，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、運用分類討論思想是解題的關鍵.8．在平面直角坐標系中，拋物線過點，與y軸交于點C，連接AC，BC，將沿BC所在的直線翻折，得到，連接OD．（1）用含a的代數(shù)式表示點C的坐標．（2）如圖1，若點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式．（3）設的面積為S1，的面積為S2，若，求a的值．【答案】（1）；(2) 拋物線的表達式為：；(3) 或【解析】【分析】（1）根據待定系數(shù)法，得到拋物