20xx-20xx九年級數(shù)學-平行四邊形的專項-培優(yōu)-易錯-難題練習題(編輯修改稿)
2025-03-30 22:22 本頁面
【文章內容簡介】 行四邊形，∴AE=BD，∵AD是邊BC上的中線，∴BD=DC，∴AE=DC，又∵AE∥BC，∴四邊形ADCE是平行四邊形.(2) 證明：∵∠BAC=90176。，AD是邊BC上的中線.∴AD=CD ∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形.【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、.7．現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD（如圖），其中AB＝4cm，BC＝6cm，點E是BC的中點．將紙片沿直線AE折疊，點B落在四邊形AECD內，記為點B′，過E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置關系；（2）求線段B′C的長，并求△B′EC的面積．【答案】（1）見解析；（2）S△B′EC＝．【解析】【分析】（1）由折線法及點E是BC的中點，可證得△B39。EC是等腰三角形，再有條件證明∠AEF=90176。即可得到AE⊥EF；（2）連接BB′，通過折疊，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中點，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，從而可證△BB′C為直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可將OB，BB′的長求出，在Rt△BB′C中，根據(jù)勾股定理可將B′C的值求出.【詳解】（1）由折線法及點E是BC的中點，∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，∴△B39。EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF為∠B39。EC的角平分線，即∠B′EF＝∠FEC，∴∠AEF＝180176。﹣（∠AEB+∠CEF）＝90176。，即∠AEF＝90176。，即AE⊥EF；（2）連接BB39。交AE于點O，由折線法及點E是BC的中點，∴EB＝EB′＝EC，∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；又∵△BB39。C三內角之和為180176。，∴∠BB39。C＝90176。；∵點B′是點B關于直線AE的對稱點，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2將AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，∴AO＝ cm，∴BO＝＝cm，∴BB′＝2BO＝cm，∴在Rt△BB39。C中，B′C＝＝cm，由題意可知四邊形OEFB′是矩形，∴EF＝OB′＝，∴S△B′EC＝．【點睛】考查圖形的折疊變化及三角形的內角和定理勾股定理的和矩形的性質綜合運用．關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．8．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，在Rt△PFE中，∠EPF=90176。，點E、F分別在邊AD、AB上．（1）如圖1，若點P與點O重合：①求證：AF=DE；②若正方形的邊長為2，當∠DOE=15176。時，求線段EF的長；（2）如圖2，若Rt△PFE的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD=3BP時，證明：PE=2PF．【答案】（1）①證明見解析，②；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質和旋轉的性質即可證得：△AOF≌△DOE根據(jù)全等三角形的性質證明；②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可；（2）首先過點P作HP⊥BD交AB于點H，根據(jù)相似三角形的判定和性質求出PE與PF的數(shù)量關系．【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45176。，∠AOD=90176。，∴∠AOE+∠DOE=90176。，∵∠EPF=90176。，∴∠AOF+∠AOE=90176。，∴∠DOE=∠AOF，在△AOF和△DOE中，∴△AOF≌△DOE，∴AF=DE；②解：過點O作OG⊥AB于G，∵正方形的邊長為2，∴OG=BC=，∵∠DOE=15176。，△AOF≌△DOE，∴∠AOF=15176。，∴∠FOG=45176。15176。=30176。，∴OF==2，∴EF=；（2）證明：如圖2，過點P作HP⊥BD交AB于點H，則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90176。，∴HP=BP，∵BD=3BP，∴PD=2BP，∴PD=2HP，又∵∠HPF+∠HPE=90176。，∠DPE+∠HPE=90176。，∴∠HPF=∠DPE，又∵∠BHP=∠EDP=45176。，∴△PHF∽△PDE，∴，∴PE=2PF．【點睛】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．9．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．性質：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30176。，AB=4，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請直接寫出△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）12；探究：2或2．【解析】試題分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然
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