【文章內(nèi)容簡介】 76。=+90=176。，綜上所述：若△AON是等腰三角形時，176?；?5176。176?；?35176。176。．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運用，有一定的綜合性，分類討論當△AON是等腰三角形時，求α的度數(shù)是本題的難點．8．如圖1，在正方形ABCD中，AD=6，點P是對角線BD上任意一點，連接PA，PC過點P作PE⊥PC交直線AB于E．（1） 求證：PC=PE。（2） 延長AP交直線CD于點F.①如圖2，若點F是CD的中點，求△APE的面積；②若ΔAPE的面積是，則DF的長為 （3） 如圖3，點E在邊AB上，連接EC交BD于點M,作點E關于BD的對稱點Q，連接PQ，MQ，過點P作PN∥CD交EC于點N，連接QN，若PQ=5，MN=，則△MNQ的面積是 【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）【解析】【分析】（1）利用正方形每個角都是90176。，對角線平分對角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，等角對等邊等性質(zhì)容易得證。（2）作出△ADP和△DFP的高，△PAE的底和高，通過面積法列出方程求解即可。（3）根據(jù)已經(jīng)條件證出△MNQ是直角三角形，計算直角邊乘積的一半可得其面積.【詳解】(1) 證明：∵點P在對角線BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90176。,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45176。+90176?！螧PC=135176?！螧PC,∵∠PAE=90176?！螪AP＝90176。∠DCP,∠DCP=∠BPC∠PDC=∠BPC45176。,∴∠PAE=90176。(∠BPC45176。)= 135176。∠BPC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE。（2）①如圖2，過點P分別作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分別為H、.∵四邊形ABCD是正方形，P在對角線上，∴四邊形HPGD是正方形，∴PH=PG,PM⊥AB,設PH=PG=a,∵F是CD中點，AD＝6，則FD=3,=9,∵==,∴,解得a=2,∴AM=HP=2,MP=MGPG=62=4,又∵PA=PE, ∴AM=EM,AE=4,∵=,②設HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6b,∴=,解得b=,∵==,∴,∴當b=，DF=4；當b＝，DF＝9,即DF的長為4或9。（3）如圖，∵E、Q關于BP對稱，PN∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45176。,∴∠1+∠4=45176。,∴∠3=∠4,易證△PEM≌△PQM, △PNQ≌△PNC,∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90176。,∴△MNQ是直角三角形,設EM=a,NC=b列方程組,可得ab=,∴,【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，.9．在平面直角坐標系中，O為原點，點A（﹣6，0）、點C（0，6），若正方形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OA′B′C′，記旋轉(zhuǎn)角為α：（1）如圖①，當α＝45176。時，求BC與A′B′的交點D的坐標；（2）如圖②，當α＝60176。時，求點B′的坐標；（3）若P為線段BC′的中點，求AP長的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）當α＝45176。時，延長OA′經(jīng)過點B，在Rt△BA′D中，∠OBC＝45176。，A′B＝，可求得BD的長，進而求得CD的長，即可得出點D的坐標；（2）過點C′作x軸垂線MN，交x軸于點M，過點B′作MN的垂線，垂足為N，證明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝，B′N＝C′M＝3，即可得出點B′的坐標；（3）連接OB，AC相交于點K，則K是OB的中點，因為P為線段BC′的中點，所以PK＝OC′＝3，即點P在以K為圓心，3為半徑的圓上運動，即可得出AP長的取值范圍．【詳解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四邊形OABC是邊長為6的正方形，當α＝45176。時，如圖①，延長OA′經(jīng)過點B，∵OB＝6，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45176。，∴A′B＝，∴BD＝（），∴CD＝6﹣（）=，∴BC與A′B′的交點D的坐標為（，6）；（2）如圖②，過點C′作x軸垂線MN，交x軸于點M，過點B′作MN的垂線，垂足為N，∵∠OC′B′＝90176。，∴∠OC′M＝90176。﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90176。，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），當α＝60176。時，∵∠A′OC′＝90176。，OC′＝6，∴∠C′OM＝30176。，∴C′N＝OM＝，B′N＝C′M＝3，∴點B′的坐標為；（3）如圖③，連接OB，AC相交于點K，則K是OB的中點，∵P為線段BC′的中點，∴PK＝OC′＝3，∴P在以K為圓心，3為半徑的圓上運動，∵AK＝3，∴AP最大值為，AP的最小值為，∴AP長的取值范圍為.【點睛】本題考查正方形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，三角形中位線定理．（3）問解題的關鍵是利用中位線定理得出點P的軌跡．10．如圖，現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿其對角線AC折疊，使點B落在點B′處．AB′與CD交于點E．（1）求證：△AED≌△CEB′；（2）過點E作EF⊥AC交AB于點F，連接CF，判斷四邊形AECF的形狀并給予證明．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意可得AD=BC=B39。C，∠B=∠D=∠B39。，且∠AED=∠CEB39。，利用AAS證明全等，則結(jié)論可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，則可證四邊形AECF是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四邊形ABCD沿其對角線AC折疊∴BC＝B39。C，∠B＝∠B39?！唷螪＝∠B39。，AD＝B39。C且∠DEA＝∠B39。EC∴△ADE≌△B39。EC（2）四邊形AECF是菱形∵△ADE≌△B39。EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四邊形AECF是菱形【點睛】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解決問題的關鍵．11．點P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A，C重合），分別過點A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，