【文章內容簡介】 BD取得最大值2，S四邊形BOAD有最大值．此時點D的坐標是（1，4）．【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．7．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E，連結DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6；（2）當t=3時，△PAB的面積有最大值；（3）點P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系數法進行求解即可得；（2）作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM，先求出直線AB解析式為y=﹣x+6，設P（t，﹣t2+2t+6），則N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?OB列出關于t的函數表達式，利用二次函數的性質求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，據此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45176。，結合∠DPE=90176。知若△PDE為等腰直角三角形，則∠EDP=45176。，從而得出點E與點A重合，求出y=6時x的值即可得出答案．【詳解】（1）∵拋物線過點B（6，0）、C（﹣2，0），∴設拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2），將點A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如圖1，過點P作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM于點G，設直線AB解析式為y=kx+b，將點A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，則直線AB解析式為y=﹣x+6，設P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，則N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?（AG+BM）=PN?OB=（﹣t2+3t）6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴當t=3時，△PAB的面積有最大值；（3）如圖2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90176。，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45176。，∵PE∥x軸、PD⊥x軸，∴∠DPE=90176。，若△PDE為等腰直角三角形，則∠EDP=45176。，∴∠EDP與∠BDH互為對頂角，即點E與點A重合，則當y=6時，﹣x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即點P（4，6）．【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，涉及到待定系數法、二次函數的最值、等腰直角三角形的判定與性質等，熟練掌握和靈活運用待定系數法求函數解析式、二次函數的性質、等腰直角三角形的判定與性質等是解題的關鍵.8．在平面直角坐標系中，我們定義直線y=axa為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的“衍生直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“衍生三角形”．已知拋物線與其“衍生直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側），與x軸負半軸交于點C．（1）填空：該拋物線的“衍生直線”的解析式為 ，點A的坐標為 ，點B的坐標為 ；（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，求點N的坐標；（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“衍生直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2，）；（1,0）；（2）N點的坐標為（0，），（0，）；（3）E（1，）、F（0，）或E（1，），F（4，）【解析】【分析】（1）由拋物線的“衍生直線”知道二次函數解析式的a即可；（2）過A作AD⊥y軸于點D，則可知AN=AC，結合A點坐標，則可求出ON的長，可求出N點的坐標；（3）分別討論當AC為平行四邊形的邊時，當AC為平行四邊形的對角線時，求出滿足條件的E、F坐標即可【詳解】（1）∵，a=，則拋物線的“衍生直線”的解析式為；聯立兩解析式求交點，解得或，∴A（2，），B（1,0）；（2）如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，在中，令y=0可求得x= 3或x=1，∴C（3,0），且A（2，），∴AC=由翻折的性質可知AN=AC=，∵△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，∴N在y軸上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，∵OD=，∴ON=或ON=，∴N點的坐標為（0，），（0，）；（3）①當AC為平行四邊形的邊時，如圖2 ，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=，∵拋物線的對稱軸為x=1，∴ F點的橫坐標為0或2，∵點F在直線AB上，∴當F點的橫坐標為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，∴E到y(tǒng)軸的距離為EHOF==，即E的縱坐標為，∴ E（1，）；當F點的橫坐標為2時，則F與A重合，不合題意，舍去；②當AC為平行四邊形的對角線時，∵ C（3,0），且A（2，），∴線段AC的中點坐標為（， ），設E（1，t），F（x，y），則x1=2（），y+t=，∴x= 4，y=t，t=（4）+，解得t=，∴E（1，），F（4，）；綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（1，）、（0，）或E（1，），F（4，）【點睛】本題是對二次函數的綜合知識考查，熟練掌握二次函數，幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關鍵，屬于壓軸題9．如圖，對稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點，其中A點的坐標為（－3，0）．（1）求點B的坐標；（2）已知，C為拋物線與y軸的交點．①若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．【答案】（1）點B的坐標為（1，0）.（2）①點P的坐標為（4，21）或（－4，5）.②線段QD長度的最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線的對稱性直接得點B的坐標．（2）①用待定系數法求出拋物線的解析式，從而可得點C的坐標，得到，設出點P 的坐標，根據列式求解即可求得點P的坐標．②用待定系數法求出直線AC的解析式，由點Q在線段AC上，可設點Q的坐標為(q,q3)，從而由QD⊥x軸交拋物線于點D，得點D的坐標為(q,q2+2q3)，從而線段QD等于兩點縱坐標之差，列出函數關系式應用二次函數最值原理求解.【詳解】解：（1）∵A、B兩點關于對稱軸對稱 ，且A點的坐標為（－3，0），∴點B的坐標為（1，0）.（2）①∵拋物線，對稱軸為，經過點A（－3，0），∴，解得.∴拋物線的解析式為.∴B點的坐標為（0，－3）.∴OB=1，