20xx年高三數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念總復(fù)習(xí)(編輯修改稿)
2025-03-15 03:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的θ存在．因z1z2≠0，z1z2+=0，故z1z2為純虛數(shù)．又z1z2=(1cosθ+isinθ)(a2+ai)=[a2(1cosθ)asinθ]+[a(1cosθ)+a2sinθ]i，于是，由②知a≠0．因θ∈(0，2π)，故cosθ≠1．于是，由①得a=．另一方面，因(z1z2)2∈R，故z1z2為實數(shù)或為純虛數(shù)．又z1z2=1cosθa2+(sinθa)i，于是sinθa=0，或1cosθa2=0．若sinθa=0，則由方程組得=sinθ，故cosθ=0，于是θ=或θ=．若1cosθa2=0，則由方程組得()2=1cosθ．由于sin2θ=1cos2θ=(1+cosθ)(1cosθ)，故1+cosθ=(1cosθ)2．解得cosθ=0，從而θ=或θ=． 綜上所知，在(0，2π)內(nèi)，存在θ=或θ=，使(z1z2)2為實數(shù)．【說明】①解題技巧：解題中充分使用了復(fù)數(shù)的性質(zhì)：z≠0，z+=0219。z∈{純虛數(shù)}219。以及z2∈R219。z∈R或z∈{純虛數(shù)}．（注：Re(z)，Im(z)分別表示復(fù)數(shù)z的實部與虛部）②解題規(guī)律：對于“是否型存在題型”，一般處理方法是首先假設(shè)結(jié)論成立，再進行正確的推理，若無矛盾，則結(jié)論成立；否則結(jié)論不成立．【例8】設(shè)a為實數(shù)，在復(fù)數(shù)集C中解方程： z2+2|z|=a．【分析】由于z2=a2|z|為實數(shù)，故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù)，因而需分情況進行討論．【解】設(shè)|z|=r．若a＜0，則z2=a2|z|＜0，于是z為純虛數(shù)，從而r2=2r–a．解得 r=(r=＜0，不合，舍去)．故 z=177。()i．若a≥0，對r作如下討論：（1）若r≤a，則z2=a2|z|≥0，于是z為實數(shù)．解方程r2=a2r，得r=(r=＜0，不合，舍去)．故 z=177。()．（2）若r＞a，則z2=a2|z|＜0，于是z為純虛數(shù)．解方程r2=2ra，得r=或r=(a≤1)．故 z=177。()i(a≤1)．綜上所述，原方程的解的情況如下：當(dāng)a＜0時，解為：z=177。()i；當(dāng)0≤a≤1時，解為：z=177。()，z=177。()i；當(dāng)a＞1時，解為：z=177。()．【說明】解題技巧：本題還可以令z=x+yi(x、y∈R)代入原方程后，由復(fù)數(shù)相等的條件將復(fù)數(shù)方程化歸為關(guān)于x，y的實系數(shù)的二元方程組來求解．【例9】（2004年上海市普通高校春季高考數(shù)學(xué)試卷18）已知實數(shù)滿足不等式，試判斷方程有無實根，并給出證明.【解】由，解得，.方程的判別式.，，由此得方程無實根.【例10】給定實數(shù)a，b，c．已知復(fù)數(shù)zzz3滿足求｜az1+bz2+cz3｜的值．【分析】注意到條件(1)，不難想到用復(fù)數(shù)的三角形式；注意到條件（2），可聯(lián)想使用復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件進行求解．【解】解
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